1、2020 年高考数学（年高考数学（3 月份）模拟试卷（理科）月份）模拟试卷（理科） 一、选择题 1已知集合 Mx|log2（x1）1，集合 Nx|x2+x60，则 MN（ ） Ax|3x3 Bx|1x2 Cx|x3 Dx|2x3 2已知纯虚数 z 满足（12i）z2+ai，其中 i 为虚数单位，则实数 a 等于（ ） A1 B1 C2 D2 3如图是国家统计局公布的 20132018 年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列 结论错误的是（ ） A2014 年我国入境游客万人次最少 B后 4 年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势 C这 6 年我国入境游客万人次的中位数大于 13340 万人次
2、 D前 3 年我国入境游客万人次数据的方差小于后 3 年我国入境游客万人次数据的方差 4 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知角 的顶点与原点 O 重合， 始边与 x 轴的非负半轴重合， 终边落在直线 y2x 上，则（ ） A B C D 5已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 7S24S4，则公比 q 的值为（ ） A1 B C D 6已知 alog0.080.04，blog0.30.2，c0.30.04，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Acba Bbac Cbca Dabc 7已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，点 M 为棱 DD1的中点，则平面 ACM 截该正
3、 方体的内切球所得截面面积为（ ） A B C D 8已知双曲线 C：0），O 为坐标原点，F1F2为其左、右焦点， 点 G 在 C 的渐近线上， F2GOG， 则该双曲线的渐近线方程为 （ ） A B Cyx D 9易系辞上有“河出图，洛出书“之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源， 其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背 中如图，白圈为阳数，黑点为阴数若从这 10 个数中任取 3 个数，则这 3 个数中至少 有 2 个阳数且能构成等差数列的概率为（ ） A B C D 10如图所示，为了测量 A、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置 C 出发，已知
4、A 在 C 的北偏西 45的方向上，B 在 C 的北偏东 15的方向上，现在船往东开 2 百海里到达 E 处，此时测得 B 在 E 的北偏西 30的方向上，再开回 C 处，由 C 向西开百海里到 达 D 处，测得 A 在 D 的北偏东 22.5的方向上，则 A、B 两座岛屿间的距离为（ ） A3 B3 C4 D4 11已知直线 l：kxy3k+10 与椭圆交于 A、B 两点，与 圆 C2：（x3）2+（y1）21 交于 C、D 两点若存在 k2，1，使得 ， 则椭圆 C1的离心率的取值范围为（ ） A B C D 12数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为
5、 （x2+y2）3x2y2给出下列四个结论： 曲线 C 有四条对称轴； 曲线 C 上的点到原点的最大距离为； 曲线 C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴 围成的矩形面积最大值为； 四叶草面积小于 其中，所有正确结论的序号是（ ） A B C D 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错 位置，书写不清，模棱两可均不得分. 13的展开式中的常数项为 14如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为 1，若向量 、满足（2 +t ） 0，则实数 t 的值为 15设函数 f（x）lnx+ln（2x）+ax（a0），若 f（x）在（0，
6、1上的最大值为，则 a 16 已 知 函 数 f （在 0 ， 上 仅 有 2 个 零 点 ， 设 ，则 g（x）的在区间0，上的取值范围为 三、解答题：共 5 小题，共计 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17如图，在四棱锥 MABCD 中，ABAD，ABAMAD2，MBMD2 （1）证明：AM平面 ABCD； （2）若 CDAB，2CDAB，E 为线段 BM 上一点，且 BE2EM，求直线 EC 与平面 BDM 所成角的正弦值 18已知数列an为公差不为零的等差数列，Sn是数列an的前 n 项和，且 a1、a2、a5成等 比数列，S749设数列bn的前 n 项和为 Tn，
7、且满足 （1）求数列an、bn的通项公式； （2）令，证明：c1+c2+cn3 19已知抛物线 C：y22px（p0），点 F 为抛物线的焦点，焦点 F 到直线 3x4y+20 的距离为 d1，焦点 F 到抛物线 C 的准线的距离为 d2，且 （1）求抛物线 C 的标准方程； （2） 若x轴上存在点M， 过点M的直线l与抛物线C相交于P、 Q两点， 且 为定值，求点 M 的坐标 20某地在每周六的晚上 8 点到 10 点半举行灯光展，灯光展涉及到 10000 盏灯，每盏灯在 某一时刻亮灯的概率均为 p（0p1），并且是否亮灯彼此相互独立现统计了其中 100 盏灯在一场灯光展中亮灯的时长（单位：
8、min），得到下面的频数表： 亮灯时长/min 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 频数 10 20 40 20 10 以样本中 100 盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长 （1）试估计 p 的值； （2）设 X 表示这 10000 盏灯在某一时刻亮灯的数目 求 X 的数学期望 E（X）和方差 D（X）； 若随机变量 Z 满足，则认为 ZN（0，1）假设当 4900X5000 时， 灯光展处于最佳灯光亮度试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长（结 果保留为整数） 附： 某盏灯在某一时刻亮灯的概率 p 等于亮灯时长与灯光展总时长的商； 若 ZN
9、（0， 1） ， 则 P （X+） 0.6827， P （2X+2） 0.9545， P（3X+3）0.9973 21已知函数，mR （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）已知 f（x）在 x1 处的切线与 y 轴垂直，若方程 f（x）t 有三个实数解 x1、x2、 x3（x1x2x3），求证：x1+2x3 （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的 第一题计分.选修 4-4：参数方程与极坐标选讲 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数，aR）在 以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C
10、的极坐标方程为 3 2cos2+42sin23 （1）若点 A（2，0）在直线 l 上，求直线 l 的极坐标方程； （2）已知 a0，若点 P 在直线 l 上，点 Q 在曲线 C 上，且|PQ|的最小值为，求 a 的 值 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）|x+2|2x2| （1）解不等式 f（x）2x1； （2）记 f（x）的最大值为 M，若实数 a、b、c 满足 a+b+cM，求证： 参考答案 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项 1已知集合 Mx|log2（x1）1，集合 Nx|x2+x60，则 MN（ ）
11、 Ax|3x3 Bx|1x2 Cx|x3 Dx|2x3 【分析】求出集合 A，B，再求出并集 解：合 Mx|log2（x1）1（1，3）， 集合 Nx|x2+x60（3，2）， 则 MN（3，3）， 故选：A 2已知纯虚数 z 满足（12i）z2+ai，其中 i 为虚数单位，则实数 a 等于（ ） A1 B1 C2 D2 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解 a 值 解：由（12i）z2+ai，得 z， z 为纯虚数，即 a2 故选：D 3如图是国家统计局公布的 20132018 年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列 结论错误的
12、是 （ ） A2014 年我国入境游客万人次最少 B后 4 年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势 C这 6 年我国入境游客万人次的中位数大于 13340 万人次 D前 3 年我国入境游客万人次数据的方差小于后 3 年我国入境游客万人次数据的方差 【分析】利用柱形图的性质直接求解 解：由国家统计局公布的 20132018 年入境游客（单位：万人次）的变化情况柱形图， 得： 在 A 中，2014 年我国入境游客万人次最少，故 A 正确； 在 B 中，后 4 年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故 B 正确； 在 C 中，这 6 年我国入境游客万人次的中位数为 2015 年和 2016 年入境游客万人
13、次的平 均数， 从而这 6 年我国入境游客万人次的中位数大于 13340 万人次，故 C 正确； 在 D 中，前 3 年我国入境游客万人次数据的方差大于后 3 年我国入境游客万人次数据的 方差，故 D 错误 故选：D 4 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知角 的顶点与原点 O 重合， 始边与 x 轴的非负半轴重合， 终边落在直线 y2x 上，则（ ） A B C D 【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义可求 tan 的值，进而利用诱导公式，二倍 角的三角函数公式即可求值得解 解：因为角 终边落在直线 y2x 上， 所以 tan2，可得 cos2， 所以 sin（+2）cos2（2cos2
14、1）（21） 故选：C 5已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 7S24S4，则公比 q 的值为（ ） A1 B C D 【分析】利用等比数列的求和公式即可得出 解：q1 时不成立，q0，联立解得 q 故选：C 6已知 alog0.080.04，blog0.30.2，c0.30.04，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Acba Bbac Cbca Dabc 【分析】由 alog0.080.04，blog0.30.2log0.090.04，根据对数函数的图象，所以 ba log0.040.041，c0.30.041，得出结论 解：alog0.080.04，blog0.30.2log0
15、.090.04， 根据对数函数的图象，所以 balog0.040.041， c0.30.041， 故选：B 7已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，点 M 为棱 DD1的中点，则平面 ACM 截该正 方体的内切球所得截面面积为（ ） A B C D 【分析】 设圆心到截面距离为 d， 截面半径为 r， 由 VOACMVMAOC， 求出 d， 再利用 d2+r2 1，求出 r，代入求出结果 解：设圆心到截面距离为 d，截面半径为 r， 由 VOACMVMAOC，即 ， d， ， 故 d，又 d2+r21， r， 所以截面的面积为 r2， 故选：A 8已知双曲线 C：0），O 为坐标原
16、点，F1F2为其左、右焦点， 点 G 在 C 的渐近线上， F2GOG， 则该双曲线的渐近线方程为 （ ） A B Cyx D 【分析】由题意设 G 的坐标，再由 F2GOG 可得数量积为 0 可得 G 的坐标，再由 可得 a，c，b 的关系式，再由双曲线中的 a，b，c 之间的关系求出 a， b 的关系，进而可得双曲线的渐近线的方程 解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：yx，焦点 F1（c，0），F2（c，0）， 设 G 在第一象限，坐标为（x0，x0）， 因为 F2GOG，所以 0，即（x0c，x0） （x0，x0）0， 整理可得：（1+）x02cx00，解得：x0 ，所以 G（，），
17、因为，可得， 整理可得：2a4+a2b2b40，可得 2a2b2，a0，b0，所以 b 所以双曲线的渐近线的方程为：yx， 故选：D 9易系辞上有“河出图，洛出书“之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源， 其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背 中如图，白圈为阳数，黑点为阴数若从这 10 个数中任取 3 个数，则这 3 个数中至少 有 2 个阳数且能构成等差数列的概率为（ ） A B C D 【分析】从这 10 个数中任取 3 个数，基本事件总数 n120，利用列举法求出这 3 个数中至少有 2 个阳数且能构成等差数列包含的基本事件有 10 个， 由此能
18、求出这 3 个数 中至少有 2 个阳数且能构成等差数列的概率 解：河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背 中如图， 白圈为阳数，黑点为阴数 若从这 10 个数中任取 3 个数，基本事件总数 n120， 这 3 个数中至少有 2 个阳数且能构成等差数列包含的基本事件有 10 个，分别为： （1，3，5），（3，5，7），（5，7，9），（1，5，9），（1，2，3），（1，4，7）， （3，4，5），（3，6，9），（5，6，7），（7，8，9）， 则这 3 个数中至少有 2 个阳数且能构成等差数列的概率为 p 故选：C 10如图所示，为了测量 A、B 两座岛屿
19、间的距离，小船从初始位置 C 出发，已知 A 在 C 的北偏西 45的方向上，B 在 C 的北偏东 15的方向上，现在船往东开 2 百海里到达 E 处，此时测得 B 在 E 的北偏西 30的方向上，再开回 C 处，由 C 向西开百海里到 达 D 处，测得 A 在 D 的北偏东 22.5的方向上，则 A、B 两座岛屿间的距离为（ ） A3 B3 C4 D4 【分析】首先利用方向角求出三角形中各个角的大小，进一步利用正弦定理的应用求出 AC 和 BC，最后利用余弦定理的应用求出结果 解：如图所示， 根据题意知： ADCDAC67.5， ACB60， DC2， CE2， BCE75， CBE45，C
20、EB60 所以：在BCE 中，利用正弦定理， 解得：， 在ADC 中，：ADCDAC67.5， 所以 DCAC2， 则在ACB 中，利用余弦定理 AB2AC2+CB22AC CB cos60， 解得 AB3 故选：B 11已知直线 l：kxy3k+10 与椭圆交于 A、B 两点，与 圆 C2：（x3）2+（y1）21 交于 C、D 两点若存在 k2，1，使得 ， 则椭圆 C1的离心率的取值范围为（ ） A B C D 【分析】易求直线 l 过定点（3，1），即直线 l 恒过圆 C2的圆心，所以 C2是线段 AB 的 中点， 设 A（x1，y1）， B（x2，y2），则 x1+x26，y1+y2
21、2，再利用点差法得到 k ，因为 k2，1，所以，从而求出离心率 e 的取值范围 解：直线 l 的方程可化为：k（x3）y1，直线 l 过定点（3，1），即直线 l 恒过圆 C2的圆心， 又，C2是线段 AB 的中点，如图所示：， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x26，y1+y22， 由，两式相减得：， ， 化简得：k， k2，1，2， 又e， 故选：A 12数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为 （x2+y2）3x2y2给出下列四个结论： 曲线 C 有四条对称轴； 曲线 C 上的点到原点的最大距离为； 曲线 C 第一象限上任意一点作两
22、坐标轴的垂线与两坐标轴 围成的矩形面积最大值为； 四叶草面积小于 其中，所有正确结论的序号是（ ） A B C D 【分析】通过方程中的 x，y 的变换，求得四叶草曲线的对称轴，可判断；由 yx 与 （x2+y2）3x2y2联立，解方程，结合两点的距离公式计算可判断；设出第一象限的一 点，运用基本不等式即可得到最大值可判断；由四叶草曲线在以原点为圆心，为半 径的圆内，计算可判断 解：四叶草曲线方程为（x2+y2）3x2y2， 将 x 换为x，y 不变，可得方程不变，则曲线关于 y 轴对称；将 y 换为y，x 不变，可 得方程不变，则曲线关于 x 轴对称； 将 x 换为 y，y 换为 x，可得方
23、程不变，则曲线关于直线 yx 对称；将 x 换为y，y 换为 x，可得方程不变，则曲线关于直线 yx 对称； 曲线 C 有四条对称轴，故正确； 由 yx 与（x2+y2）3x2y2联立，可得 yx 或 yx，即有曲线 C 上的点到 原点的最大距离为，故错误； 设曲线 C 第一象限上任意一点为（x，y）， （x0，y0），可得围成的矩形面积为 xy， 由 x2+y22xy， 则（x2+y2）3x2y28（xy）3，即 xy ，当且仅当 xy 取得最大值，故正确； 易得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内，故四叶草面积小于，则正确 故选：C 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
24、.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错 位置，书写不清，模棱两可均不得分. 13的展开式中的常数项为 135 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求 得结论 解：二项式的展开式的通项公式为 Tr+1 x12 2r （ ） r xr（ ）rx12 3r， 令 123r0，解得 r4， 故二项式的展开式中的常数项为：（）4135， 故答案为：135 14如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为 1，若向量 、满足（2 +t ） 0，则实数 t 的值为 【分析】由题意用坐标表示向量，再利用数量积列方程求出 t 的值 解：由题意知，向量 （1，2
25、）， （3，1）， （4，4）； 又（2 +t ）0，即 2 +t 0， 所以 2（14+24）+t（34+14）0， 解得 t 故答案为： 15设函数 f（x）lnx+ln（2x）+ax（a0），若 f（x）在（0，1上的最大值为，则 a 【分析】对函数求导，根据题意，yax2+（22a）20，的两个根为 x1，x2，由 ，所以 x10x2，由 x21，得到最大值为 f（1），解出即可 解：f（x）lnx+ln（2x）+ax（a0），f（x） ，0x2， 根据题意，yax2+（22a）20，的两个根为 x1，x2，由 ，所以 x1 0x2，x， 所以 f（x）在（0，1单调递增；f（x）的最
26、大值为 f（1）a， 故答案为： 16 已 知 函 数 f （在 0 ， 上 仅 有 2 个 零 点 ， 设 ， 则 g （x） 的在区间0， 上的取值范围为 ， 1+ 【分析】根据函数零点性质，求出 的值，然后求出 g（x）的解析式，利用换元法转化 为一元二次函数，结合一元二次函数的单调性和对称性的关系进行转化求解即可 解：0x，0x，x+， f（x）在0，上仅有 2 个零点， 2+3， 得， N，2， 即 f（x）sin（2x+）， sin（x+）+sin2xsinx+cosx+2sinxcosx， 设 tsinx+cosx，则 2sinxcosxt21， 则 g（x）h（t）t21+t，
27、 tsinx+cosxsin（x+）， 当 0x 时，x+， 即 sinsin（x+ ）sin， 即sin（x+）1， 则1sin（x+）， 即1t， h（t）t21+t 的对称轴为 t， 当 t时，h（t）取得最小值，为 h（）， 当 t时，h（t）取得最大值，为 h（）1+， 即 h（t）的取值范围是，1+， 即 g（x）的在区间0，上的取值范围为，1+， 故答案为：，1+ 三、解答题：共 5 小题，共计 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17如图，在四棱锥 MABCD 中，ABAD，ABAMAD2，MBMD2 （1）证明：AM平面 ABCD； （2）若 CDAB，2CD
28、AB，E 为线段 BM 上一点，且 BE2EM，求直线 EC 与平面 BDM 所成角的正弦值 【分析】（1）推导出 ABAM，ADAM，由此能证明 AM平面 ABCD （2）由 ABAD，AM平面 ABCD，以 A 为原点，AD 为 x 轴，AM 为 y 轴，AB 为 z 轴， 建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 EC 与平面 BDM 所成角的正弦值 【解答】（1）证明：在四棱锥 MABCD 中，ABAD，ABAMAD2，MBMD 2 AB2+AM2BM2，AD2+AM2DM2， ABAM，ADAM， ADABA，AM平面 ABCD （2）解：ABAD，AM平面 ABCD， 以 A 为原
29、点，AD 为 x 轴，AM 为 y 轴，AB 为 z 轴，建立空间直角坐标系， CDAB，2CDAB，E 为线段 BM 上一点，且 BE2EM，ABAMAD2，MB MD2 E（0，），C（2，0，1），D（2，0，0），B（0，0，2），M（0，2，0）， （2，），（2，0，2），（0，2，2）， 设平面 BDM 的法向量 （x，y，z）， 则，取 x1，得 （1，1，1）， 设直线 EC 与平面 BDM 所成角为 ， 则直线 EC 与平面 BDM 所成角的正弦值为： sin 18已知数列an为公差不为零的等差数列，Sn是数列an的前 n 项和，且 a1、a2、a5成等 比数列，S749设
30、数列bn的前 n 项和为 Tn，且满足 （1）求数列an、bn的通项公式； （2）令，证明：c1+c2+cn3 【分析】（1）设数列an为公差 d 不为零的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和 公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到 an；再由对数的运 算性质和数列的递推式，可得所求 bn； （2）求得 cn（2n1） （）n，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和 公式，以及不等式的性质，即可得证 解：（1）设数列an为公差 d 不为零的等差数列，由 a1、a2、a5成等比数列， 可得 a22a1a5，即（a1+d）2a1（a1+4d），化为 d2a1， 由 S
31、749，可得 7a1+21d49，即有 49a149，解得 a11，d2， 可得 an1+2（n1）2n1，nN*； 又 Snn（1+2n1）n2， 由数列bn的前 n 项和为 Tn，且 n+1， 可得 2+Tn2n+1，即 Tn2n+12， 当 n1 时，b1T12；n2 时，bnTnTn12n+122n+22n，对 n1 也成立， 则 bn2n，nN*； （2）证明：由，可得 cn（2n1） （）n， 设 Rnc1+c2+cn1 +3 （）2+（2n1） （ ）n， Rn1 （）2+3 （）3+（2n1） （）n+1， 上面两式相减可得Rn1+2（）2+（）n（2n1） （）n+1 +2（
32、2n1） （）n+1， 化简可得 Rn3（2n+3） （ ）n， 由（2n+3） （）n0，可得 c1+c2+cn3 19已知抛物线 C：y22px（p0），点 F 为抛物线的焦点，焦点 F 到直线 3x4y+20 的距离为 d1，焦点 F 到抛物线 C 的准线的距离为 d2，且 （1）求抛物线 C 的标准方程； （2） 若x轴上存在点M， 过点M的直线l与抛物线C相交于P、 Q两点， 且 为定值，求点 M 的坐标 【分析】 （1） 求得抛物线的焦点坐标和准线方程， 运用点到直线的距离公式， 结合条件， 解方程可得 p，进而得到抛物线的方程； （2）设 M（t，0），设点 M，P（x1，y2）
33、，Q（x2，y2），显然直线 l 的斜率不为 0，设 直线 l 的方程为 xmy+t联立抛物线方程，消去 x，可得 y 的方程，运用韦达定理和弦 长公式，结合定值，可得 t 的方程，解方程可得所求 M 的坐标 解：（1）抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F（，0），准线方程为 x ， 可得 d1 ，d2p， 则，解得 p2， 则抛物线的方程为 y24x； （2）设 M（t，0），设点 M，P（x1，y2），Q（x2，y2），显然直线 l 的斜率不为 0， 设直线 l 的方程为 xmy+t 联立方程，整理可得 y24my4t0 16（m2+t）0，y1+y24m，y1y24t， |PM|y1
34、|， |QM|y2|， + ， 要使为定值，必有，解得 t2， 且为定值时，点 M 的坐标为（2，0） 20某地在每周六的晚上 8 点到 10 点半举行灯光展，灯光展涉及到 10000 盏灯，每盏灯在 某一时刻亮灯的概率均为 p（0p1），并且是否亮灯彼此相互独立现统计了其中 100 盏灯在一场灯光展中亮灯的时长（单位：min），得到下面的频数表： 亮灯时长/min 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 频数 10 20 40 20 10 以样本中 100 盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长 （1）试估计 p 的值； （2）设 X 表示这 10000 盏灯在
35、某一时刻亮灯的数目 求 X 的数学期望 E（X）和方差 D（X）； 若随机变量 Z 满足，则认为 ZN（0，1）假设当 4900X5000 时， 灯光展处于最佳灯光亮度试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长（结 果保留为整数） 附： 某盏灯在某一时刻亮灯的概率 p 等于亮灯时长与灯光展总时长的商； 若 ZN （0， 1） ， 则 P （X+） 0.6827， P （2X+2） 0.9545， P（3X+3）0.9973 【分析】（1）利用平均数的计算方法可得：估计 p （2）由题意可得：XB（10000，）即可得出：E（X），D（X） 随机变量 Z 满足X100，可得2Z0又 ZN
36、（0，1）即可 得出 P（2Z0）P（2X2） 解：（1）估计 p （2）由题意可得：XB（10000，） E（X）100005000，方差 D（X）10000（1）2500 随机变量 Z 满足X100， 2Z0又 ZN（0，1） P（2Z0）P（2X2）0.95450.4773 由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长0.477310047.73min 21已知函数，mR （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）已知 f（x）在 x1 处的切线与 y 轴垂直，若方程 f（x）t 有三个实数解 x1、x2、 x3（x1x2x3），求证：x1+2x3 【分析】（1）求导，分及两种情况讨
37、论得解； （2）构造函数 1（x）f（x）f（2x）（0x2），可证 x1+x22，构造函数 2 （x）f（x）f（4x）（1x4），可证 x34x2，由此即可得证 解： （1） 函数的定义域为 （0， +） ， 当时，f（x）0，故函数 f（x）在（0，+）上单调递增； 当时 ， 令f （ x ） 0得x2+mx+2 0 ， 解 得 ， 且，故 0x1x2， 当 x（0，x1）时，f（x）0，f（x）单调递增，当 x（x1，x2）时，f（x）0， f（x）单调递减，当 x（x2，+）时，f（x）0，f（x）单调递增； （2）证明：依题意，f（1）3+m0，解得 m3， 由（1）得，f（x）在
38、（0，1）单调递增，在（1，2）单调递减，在（2，+）单调递增， 方程 f（x）t 有三个实数解 x1、x2、x3（x1x2x3），则 0x11x22x3， 设 1（x）f（x）f（2x） （0x2），则， 1（x）在（0，2）单调递增， 对任意 x（0，1），1（x）1（1）0， 1（x1）f（x1）f（2x1）0（0x11），即 f（x1）f（2x1）， f（x1）f（x2）t， f（x2）f（2x1），x2（1，2），2x1（1，2）， f（x）在（1，2）单调递减， x22x1，即 x1+x22， 设 2（x）f（x）f（4x） （1x4），则， 2（x）在（1，4）单调递增， 对任意
39、 x（1，2），2（x）2（2）0， 2（x2）f（x2）f（4x2）0（1x22），即 f（x2）f（4x2）， f（x2）f（x3）t， f（x3）f（4x2），x3（2，+），4x2（2，3）， f（x）在（2，+）单调递增， x34x2， x2+x34x1+x2+2， x1+2x3 （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的 第一题计分.选修 4-4：参数方程与极坐标选讲 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数，aR）在 以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 3 2
40、cos2+42sin23 （1）若点 A（2，0）在直线 l 上，求直线 l 的极坐标方程； （2）已知 a0，若点 P 在直线 l 上，点 Q 在曲线 C 上，且|PQ|的最小值为，求 a 的 值 解：（1）直线 l 的参数方程为（t 为参数，aR）点 A（2，0）在直线 l 上， 所以把点 A（2，0）代入直线的参数方程，解得 a1 所以，转换为极坐标方程为 （2） 曲线C的极坐标方程为32cos2+42sin23 转换为直角坐标方程为： 转换为参数方程为（ 为参数）， 直线 l 的参数方程为（t 为参数）转换为直角坐标方程为， 整理得：， 所以：|PQ|， 所以当 sin（）1 时， 解
41、得：a1 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）|x+2|2x2| （1）解不等式 f（x）2x1； （2）记 f（x）的最大值为 M，若实数 a、b、c 满足 a+b+cM，求证： 解：（1）当 x2 时，不等式 f（x）2x1 化为 x42x1，解得 x3； 当2x1 时，不等式 f（x）2x1 化为 3x2x1，解得 x1，即1x1； 当 x1 时，不等式 f（x）2x1 化为x+42x1，解得 x，即 1x 综上，不等式 f（x）2x1 的解集为1，； 证明：（2）f（x）， 图象如图：由图可知，f（x）的最大值 M3 则 a+b+c3 由柯西定理得（a2+b2）（12+12）（a+b）2，则 同理， 当且仅当 abc 时取等号