1、42 圆锥曲线的共同特征圆锥曲线的共同特征 43 直线与圆锥曲线的交点直线与圆锥曲线的交点 一、选择题 1过点(2,4)作直线与抛物线 y28x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线的公共点个数问题 答案 B 解析 点(2,4)在抛物线 y28x 上，从而这样的直线有两条，一条为切线，一条与 x 轴平行 2方程 x12y12|xy2|表示的曲线是( ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D线段 考点 圆锥曲线定义的应用 题点 用定义判断曲线类型或求方程 答案 B 解析 因为 x12y12|xy2|， 所以
2、 x12y12 |xy2| 2 21. 所以由圆锥曲线的共同特征知该方程表示双曲线 3已知椭圆 C：y 2 9x 21，直线 l：9xy50 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，点 P 为弦 AB 的中点，则点 P 的坐标为( ) A. 1 2， 1 2 B. 1 2， 19 2 C(1，4) D(1,14) 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线相交与弦有关的问题 答案 A 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，把 y59x 代入y 2 9x 21，整理得 45x245x8 0， 所以 x1x21，y1y259x159x21. 故 xx1x2 2 1 2
3、，y y1y2 2 1 2， 因此点 P 的坐标为 1 2， 1 2 . 4若椭圆上的点 P 到一个焦点的距离最小，则点 P 是( ) A椭圆短轴的一个端点 B椭圆长轴的一个端点 C不是椭圆的顶点 D以上都不对 考点 有关圆锥曲线的性质的应用 题点 圆锥曲线性质的简单应用 答案 B 5直线 l：yx3 与曲线y 2 9 x|x| 4 1 交点的个数为( ) A0 B1 C2 D3 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线的公共点个数问题 答案 D 解析 当 x0 时，曲线方程可化为x 2 4 y2 91，即椭圆在 y 轴左侧的部分；当 x0 时，曲线 方程可化为y 2 9 x2
4、 41，即双曲线在 y 轴右侧的部分，如图可知直线 yx3 与曲线有三个交 点 二、填空题 6曲线 y 1x2和 yx 2有_个公共点 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线的公共点个数问题 答案 1 解析 y 1x2可化为 x2y21(y0)， 其图形为上半圆， 在同一坐标系中画出两曲线的图 形，直线与半圆相切 7已知斜率为 1 的直线过椭圆x 2 4y 21 的右焦点，交椭圆于 A，B 两点，则弦 AB 的长是 _ 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线相交与弦有关的问题 答案 8 5 解析 由 yx 3， x2 4y 21， 得 5x28 3x80.
5、设 A()x1，y1，B(x2，y2)， 所以 x1x28 3 5 ，x1x28 5. |AB| 112|x1x2| 2 x1x224x1x2 2 643 25 32 5 8 5. 8直线 ykx1 与曲线 mx25y25m(m0)恒有公共点，则 m 的取值范围是_ 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线的公共点个数问题 答案 1，) 解析 将 ykx1 代入 mx25y25m， 得(m5k2)x210kx5(1m)0 对 kR，总有实数解 所以 20m(m15k2)0 对 kR 恒成立 因为 m0，所以 m15k2恒成立，所以 m1. 即 m 的取值范围为1，) 9已知抛物
6、线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M(2，y0)，若点 M 到该 抛物线焦点的距离是 3，则|OM|_. 考点 有关圆锥曲线的性质的应用 题点 圆锥曲线性质的简单应用 答案 2 3 解析 由题意知该抛物线为开口向右的抛物线，设其方程为 y22px(p0) 点 M 到焦点的距离为 2p 23，p2. 故抛物线方程为 y24x， M 的坐标为(2， 2 2)， 所以|OM|22 2 222 3. 10将双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的实轴、虚轴互换，所得双曲线方程为 x2 b2 y2 a21(a0， b0)， 我们称这两个双曲线是互为共轭的双曲线， 若两个共轭
7、双曲线的离心率分别为 e1， e2， 则 1 e21 1 e22_. 考点 有关圆锥曲线的性质的应用 题点 圆锥曲线性质的简单应用 答案 1 解析 因为 e1c a，e2 c b， 所以 e21c 2 a2，e 2 2c 2 b2. 故 1 e21 1 e22 a2b2 c2 1. 三、解答题 11已知双曲线 x2y 2 31 上存在关于直线 l：ykx4 对称的点，求实数 k 的取值范围 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线的公共点个数问题 解 当 k0 时，显然不成立 当 k0 时，设 A，B 为双曲线上关于直线 l 对称的两点，如图 由 lAB，可设直线 AB 的方程
8、为 y1 kxb，代入 3x 2y23 中，得 (3k21)x22kbx(b23)k20. 显然 3k210， (2kb)24(3k21) (b23)k20， 即 k2b23k210. 由根与系数的关系，得线段 AB 的中点 M 的坐标为 kb 3k21， 3k2b 3k21 . 点 M 在直线 l 上， 3k2b 3k21 k2b 3k214，即 k 2b3k21. 把代入，得 k2b2bk20，解得 b0 或 b1， 3k 21 k2 0 或3k 21 k2 1， 即|k| 3 3 或1 2k 1 2且 k0. 综上，k 的取值范围是 ， 3 3 3 3 ， 1 2，0 0，1 2 . 1
9、2已知直线 l：yxt 与椭圆 C：x22y22 交于 A，B 两点 (1)求椭圆 C 的长轴长和焦点坐标； (2)若|AB|4 2 3 ，求 t 的值 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线相交与弦有关的问题 解 (1)因为 x22y22，所以x 2 2y 21. 所以 a 2，b1，所以 c1， 所以长轴长 2a2 2，焦点坐标分别为 F1(1,0)，F2(1,0) (2)设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 因为 x22y220， yxt， 消元化简得 3x24tx2t220， 所以 16t2122t22248t20， x1x24t 3， x1x22t 22 3 ，
10、 所以|AB| 112|x1x2| 2 3 248t2， 又因为|AB|4 2 3 ， 所以 2 3 248t24 2 3 ，解得 t 1，满足 0. 所以 t 1. 13设 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线 y2x2上，l 是 AB 的垂直平分线 (1)当且仅当 x1x2取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点 F？证明你的结论； (2)当直线 l 的斜率为 2 时，求 l 在 y 轴上的截距的取值范围 考点 有关圆锥曲线的性质的应用 题点 圆锥曲线性质的简单应用 解 (1)由点 F 在直线 l 上，得|FA|FB|， 得 A，B 两点到抛物线的准线的距离相等， 因为抛物线的准线与
11、 x 轴平行， 所以上述条件等价于 y1y2，即 x21x22， 所以(x1x2)(x1x2)0， 因为 x1x2，所以当且仅当 x1x20 时，直线 l 经过抛物线的焦点 F. (2)设 l 在 y 轴上的截距为 b，依题意，得 l 的方程为 y2xb. 则过点 A，B 的直线方程可设为 y1 2xm， 由 y2x2， y1 2xm， 化简得 2x21 2xm0， 所以 x1x21 4. 因为 A，B 为抛物线上不同的两点， 所以上述方程的判别式 1 48m0， 即 m 1 32. 设 AB 的中点 N 的坐标为(x0，y0)， 则 x01 8，y0 1 2x0m 1 16m. 又点 N 在
12、直线 l 上，所以 1 16m 1 4b， 于是 b 5 16m 5 16 1 32 9 32， 所以 l 在 y 轴上的截距的取值范围为 9 32， . 四、探究与拓展 14从一块短轴长为 2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是 3b2,4b2，则该椭圆离心率 e 的取值范围是( ) A. 0， 3 2 B. 0， 5 3 C. 5 3 ， 3 2 D. 3 2 ，1 考点 有关圆锥曲线的性质的应用 题点 圆锥曲线性质的简单应用 答案 C 解析 设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)由对称性知矩形中心在原点，且两组对边平行于 x 轴，y 轴，设矩形在第一象
13、限的顶点坐标为(x，y)(x0，y0)， S矩形4xy2ab 2x a y b 2ab x2 a2 y2 b2 2ab3b2,4b2， 所以 3b22ab4b2，即1 2 b a 2 3， 所以 e2c 2 a21 b a 2 5 9， 3 4 ， 故 e 5 3 ， 3 2 . 15如图，设椭圆x 2 a2y 21(a1) (1)求直线 ykx1 被椭圆截得的线段长(用 a，k 表示)； (2)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线的公共点个数问题 解 (1)设直线 ykx1 被椭圆截得的
14、线段为 AP， 由 ykx1， x2 a2y 21， 得(1a2k2)x22a2kx0， 故 x10，x2 2a2k 1a2k2. 因此|AP| 1k2|x1x2| 2a2|k| 1a2k2 1k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P，Q， 满足|AP|AQ|. 记直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2，且 k1，k20，k1k2. 由(1)知，|AP|2a 2|k 1| 1k21 1a2k21 ， |AQ|2a 2|k 2| 1k22 1a2k22 ， 故2a 2|k 1| 1k 2 1 1a2k21 2a 2|k 2| 1k 2 2 1a2k22 ， 所以(k21k22)1k21k22a2(2a2)k21k220. 因为 k1k2，k1，k20， 所以 1k21k22a2(2a2)k21k220， 所以 1 k211 1 k221 1a 2(a22) 因为式关于 k1，k2的方程有解的充要条件是 1a2(a22)1，所以 a22，又 a1，所以 a 2. 因此，任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1a 2. 由 ec a a21 a ， 得所求离心率的取值范围为 0e 2 2 .