1、专题突破四专题突破四 焦点弦的性质焦点弦的性质 一、选择题 1.过抛物线 y24x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A，B 两点，若它们的横坐标之和等于 5， 则这样的直线( ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 与弦长有关的其它问题 答案 B 解析 由抛物线性质知|AB|527，当 AB 与 x 轴垂直时，|AB|min4，这样的直线有 两条. 2.过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为60 的直线l交抛物线于A， B两点， 且|AF|BF|， 则|AF| |BF|的值为( ) A.3 B.2 C.3 2 D. 4 3
2、考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 与弦长有关的其它问题 答案 A 解析 由抛物线的性质可知， |AF| p 1cos 60 ，|BF| p 1cos 60 ， |AF| |BF| 1cos 60 1cos 60 3. 3.已知 AB 是过抛物线 y2x2的焦点的弦，若|AB|4，则 AB 的中点的纵坐标是( ) A.1 B.2 C.5 8 D. 15 8 考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 与弦长有关的其它问题 答案 D 解析 如图所示，设 AB 的中点为 P(x0，y0)，分别过 A，P，B 三点作准线 l 的垂线，垂足分 别为 A，Q，B， 由题意得|AA|BB|AB|4，|PQ|A
3、A|BB| 2 2， 又|PQ|y01 8，y0 1 82，y0 15 8 . 4.若抛物线 y22px(p0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列， 那么这三个点到抛物线焦点 F 的距离的关系是( ) A.成等差数列 B.既成等差数列又成等比数列 C.成等比数列 D.既不成等比数列也不成等差数列 考点 题点 答案 A 解析 设三点为 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)， 则 y212px1，y222px2，y232px3， 因为 2y22y21y23， 所以 x1x32x2， 即|P1F|p 2|P3F| p 22 |P2F|p 2 ， 所以|P1F|P3F|2|P2F|
4、. 5.已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过焦点 F 的直线与抛物线交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y21y22的最小值为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 与弦长有关的其它问题 答案 C 解析 由焦点弦的性质知， y1y24，即|y1| |y2|4， 则 y21y222|y1| |y2|8， 当且仅当|y1|y2|2 时，取等号. 故 y21y22的最小值为 8. 6.抛物线 x24y 的焦点为 F，过点 F 作斜率为 3 3 的直线 l 与抛物线在 y 轴右侧的部分相交于 点 A，过点 A 作抛物线准线的垂线，垂足为 H，则AH
5、F 的面积是( ) A.4 B.3 3 C.4 3 D.8 答案 C 解析 由抛物线的定义可得|AF|AH|，AF 的斜率为 3 3 ，AF 的倾斜角为 30 ，AH 垂 直于准线， FAH60 ， 故AHF为等边三角形.设A m，m 2 4 ， m0， 过F作FMAH于M， 则在FAM 中，|AM|1 2|AF|， m2 4 11 2 m2 4 1 ，解得 m2 3，故等边三角形 AHF 的边长|AH|4， AHF 的面积是1 244sin 60 4 3.故选 C. 7.如图， 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A， B， 交其准线于点 C， 若|BC| 3|
6、BF|，且|AF|4，则 p 的值为( ) A.4 3 B.2 C.8 3 D.16 3 考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 与弦长有关的其它问题 答案 C 解析 设直线 l 的倾斜角为 ， 由焦点弦的性质知，|BF| p 1cos ，|AF| p 1cos ， p cos 1cos 3p 1cos ， p 1cos 4， 解得 cos 1 3， p8 3. 8.设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于 A，B 两点.若|AF|3|BF|，则 l 的 方程为( ) A.yx1 或 yx1 B.y 3 3 (x1)或 y 3 3 (x1) C.y 3(x1)或 y
7、 3(x1) D.y 2 2 (x1)或 y 2 2 (x1) 考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 与弦长有关的其它问题 答案 C 解析 当 cos 0 时，|AF| p 1cos ，|BF| p 1cos . 由|AF|3|BF|， p 1cos 3p 1cos ， 即 cos 1 2，此时 tan 3， 当 cos 0)上一动点，A(a，0)(a0)为其对称轴上一点，直线 MA 与抛 物线的另一个交点为 N.当 A 为抛物线的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时，OMN 的面积 为9 2. (1)求抛物线的标准方程； (2)记 t 1 |AM| 1 |AN|，若 t 的值与 M 点位置无关
8、，则称此时的点 A 为“稳定点”，试求出所有 “稳定点”，若没有，请说明理由. 考点 题点 解 (1)由题意知，当直线 MA 与抛物线对称轴垂直时， SMON1 2|OA|MN| 1 2 p 22p p2 2 9 2， p3， 故抛物线 C 的标准方程为 y26x. (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 直线 MN 的方程为 xmya， 联立 xmya， y26x， 得 y26my6a0， 所以 36m224a0， y1y26m，y1y26a， 由对称性，不妨设 m0， 因为 a0，所以 y1y26a0， 所以 y1，y2异号， 又 t 1 |AM| 1 |AN| 1 1m2|y1| 1 1m2|y2| 1 1m2 1 y1 1 y2 t2 1 1m2 y1y22 y1y22 1 1m2 y1y224y1y2 y1y22 1 1m2 36m224a 36a2 1 a2 1 2 3a1 1m2 .所以，当且仅 当2a 3 10 即 a3 2时，t 与 m 无关，A 3 2，0 为稳定点.