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3.2.1 抛物线及其标准方程 课时对点练(含答案)

1、2 抛物线抛物线 2.1 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 一、选择题 1.抛物线 y2x2的焦点到准线的距离是( ) A.2 B.1 C.1 4 D. 1 2 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 C 解析 抛物线 y2x2可化为 x21 2y, 焦点到准线的距离为1 4. 2.若动点 P 与定点 F(1,1)和直线 l:3xy40 的距离相等,则动点 P 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 D 解析 方法一 设动点 P 的坐标为(x,y). 则 x12y12|3xy4| 10 . 整理,得 x

2、29y24x12y6xy40, 即(x3y2)20,x3y20. 所以动点 P 的轨迹为直线. 方法二 显然定点 F(1,1)在直线 l:3xy40 上,则与定点 F 和直线 l 距离相等的动点 P 的轨迹是过 F 点且与直线 l 垂直的一条直线. 3.已知抛物线 y22px(p0)的准线经过点(1,1),则该抛物线焦点坐标为( ) A.(1,0) B.(1,0) C.(0,1) D.(0,1) 考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程 题点 求抛物线的焦点坐标 答案 B 解析 抛物线 y22px(p0)的准线方程为 xp 2, 由题设知p 21,即 p2, 故焦点坐标为()1,0 .故选 B. 4

3、.经过点 P(4,2)的抛物线的标准方程为( ) A.y2x 或 x28y B.y2x 或 y28x C.y28x D.x28y 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程 答案 A 解析 因为点 P 在第四象限,所以抛物线开口向右或向下. 当开口向右时,设抛物线方程为 y22p1x(p10), 则(2)28p1,所以 p11 2, 所以抛物线方程为 y2x. 当开口向下时,设抛物线方程为 x22p2y(p20), 则 424p2,p24, 所以抛物线方程为 x28y. 5.已知抛物线 C:y2x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C 上一点,|AF|5 4x0,则 x0等于( ) A.4

4、B.2 C.1 D.8 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 C 解析 如图,F 1 4,0 , 过 A 作 AA准线 l, |AF|AA|, 5 4x0x0 p 2x0 1 4, x01. 6.设动圆 C 与圆 x2(y3)21 外切,与直线 y0 相切,则 C 的圆心轨迹为( ) A.抛物线 B.线段 C.椭圆 D.圆 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 A 解析 设圆 C 的半径为 r,则圆心 C 到直线 y0 的距离为 r,由两圆外切可得,圆心 C 到点 (0,3)的距离为 r1,所以点 C 到点(0,3)的距离和它到直线 y1 的距离相等,符合抛物

5、线的特征,故点 C 的轨迹是抛物线. 7.已知抛物线 y24x 上一点 P 到焦点 F 的距离为 5,则PFO 的面积为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义与其它知识结合的应用 答案 B 解析 由题意,知抛物线的焦点坐标为 F(1,0),准线方程为 x1.因为抛物线 y24x 上的 一点 P 到焦点的距离为 5,由抛物线的定义可知,点 P 到准线 x1 的距离是 5,则点 P 到 y 轴的距离是 4,所以 P(4, 4),所以PFO 的面积为1 2142. 8.已知直线 l1:4x3y60 和直线 l2:x1,抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1

6、和直线 l2的距离之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.11 5 D.37 16 考点 求抛物线的最值问题 题点 根据抛物线定义转换求最值 答案 A 解析 如图所示,动点 P 到 l2:x1 的距离可转化为到点 F 的距离, 由图可知,距离和的最小值,即 F 到直线 l1的距离 d |46| 32422. 二、填空题 9.抛物线 y2x2的焦点坐标为_. 考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程 题点 求抛物线的焦点坐标 答案 0,1 8 解析 抛物线 y2x2的标准方程为 x21 2y,p 1 4,故焦点坐标为 0,1 8 . 10.若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M

7、 到 y 轴的距离是_. 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 9 解析 抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0),准线为 x1.由 M 到焦点的距离为 10,可知 M 到 准线 x1 的距离也为 10,故 M 的横坐标满足 xM110,解得 xM9,所以点 M 到 y 轴 的距离为 9. 11.一抛物线形拱桥, 当桥顶离水面 2 米时, 水面宽 4 米, 若水面下降 2 米, 则水面宽为_ 米. 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 4 2 解析 以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为 x 轴,建立如图所示的平面直 角坐标系,设抛物线方程为 x22p

8、y(p0). 由桥顶离水面 2 米时,水面宽 4 米可得图中点 A 的坐标为(2,2), 所以 42p(2),解得 p1. 所以抛物线的方程为 x22y. 当水面下降 2 米,即当 y4 时, 可得 x22(4)8,解得 x 2 2, 因此水面宽为 4 2米. 三、解答题 12.根据下列条件分别求抛物线的标准方程. (1)抛物线的焦点是椭圆 9x216y2144 的左顶点; (2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 y3 与抛物线交于点 A,|AF|5. 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程 解 (1)椭圆方程可化为x 2 16 y2 91,左顶点为(4,0), 由题意设抛物线方程为

9、 y22px(p0)且p 2 4, p8,抛物线的标准方程为 y216x. (2)设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y22px(p0),A(m,3), 由抛物线定义得 5|AF| mp 2 . 又(3)22pm,p 1 或 p 9, 故所求抛物线的标准方程为 y2 2x 或 y2 18x. 13.如图所示,抛物线 C 的顶点为坐标原点 O,焦点 F 在 y 轴上,准线 l 与圆 x2y21 相切. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若点 A,B 都在抛物线 C 上,且FB 2OA ,求点 A 的坐标. 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程 解 (1)依题意,可设抛物线 C 的方

10、程为 x22py(p0),其准线 l 的方程为 yp 2. 准线 l 与圆 x2y21 相切, 圆心(0,0)到准线 l 的距离 d0 p 2 1, 解得 p2.故抛物线 C 的方程为 x24y. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x214y1, x224y2, 由题意得 F(0,1), FB (x 2,y21),OA (x1,y1), FB 2OA , (x2,y21)2(x1,y1)(2x1,2y1), 即 x22x1, y22y11, 代入得 4x218y14, 即 x212y11, 又 x214y1,所以 4y12y11, 解得 y11 2,x1 2, 即点 A 的坐

11、标为 2,1 2 或 2,1 2 . 14.已知点 P 是抛物线 x24y 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影是点 Q,点 A 的坐标是(8,7), 则|PA|PQ|的最小值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 考点 求抛物线的最值问题 题点 根据抛物线定义转换求最值 答案 C 解析 抛物线的焦点为 F(0,1),准线方程为 y1, 如图,设点 P 在准线上的射影是点 M, 根据抛物线的定义知,|PF|PM|PQ|1. |PA|PQ|PA|PM|1|PA|PF|1|AF|18271211019. 当且仅当 A,P,F 三点共线时,等号成立, 则|PA|PQ|的最小值为 9.故选 C.

12、15.平面上动点 P 到定点 F(1,0)的距离比点 P 到 y 轴的距离大 1,求动点 P 的轨迹方程. 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 解 方法一 由题意,动点 P 到定点 F(1,0)的距离比到 y 轴的距离大 1, 由于点 F(1,0)到 y 轴的距离为 1, 故当 x0 时,直线 y0 上的点适合条件; 当 x0 时,原命题等价于点 P 到点 F(1,0)与到直线 x1 的距离相等, 故点 P 的轨迹是以 F 为焦点,x1 为准线的抛物线,方程为 y24x. 故所求动点 P 的轨迹方程为 y2 4x,x0, 0,x0. 方法二 设点 P 的坐标为(x,y),则有 x12y2|x|1, 两边平方并化简得 y22x2|x|. y2 4x,x0, 0,x0. 即点P的轨迹方程为y 2 4x,x0, 0,x0.