1、2 抛物线抛物线 2.1 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 一、选择题 1.抛物线 y2x2的焦点到准线的距离是( ) A.2 B.1 C.1 4 D. 1 2 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 C 解析 抛物线 y2x2可化为 x21 2y， 焦点到准线的距离为1 4. 2.若动点 P 与定点 F(1，1)和直线 l：3xy40 的距离相等，则动点 P 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 D 解析 方法一 设动点 P 的坐标为(x，y). 则 x12y12|3xy4| 10 . 整理，得 x
2、29y24x12y6xy40， 即(x3y2)20，x3y20. 所以动点 P 的轨迹为直线. 方法二 显然定点 F(1，1)在直线 l：3xy40 上，则与定点 F 和直线 l 距离相等的动点 P 的轨迹是过 F 点且与直线 l 垂直的一条直线. 3.已知抛物线 y22px(p0)的准线经过点(1，1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A.(1，0) B.(1，0) C.(0，1) D.(0，1) 考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程 题点 求抛物线的焦点坐标 答案 B 解析 抛物线 y22px(p0)的准线方程为 xp 2， 由题设知p 21，即 p2， 故焦点坐标为()1，0 .故选 B. 4
3、.经过点 P(4，2)的抛物线的标准方程为( ) A.y2x 或 x28y B.y2x 或 y28x C.y28x D.x28y 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程 答案 A 解析 因为点 P 在第四象限，所以抛物线开口向右或向下. 当开口向右时，设抛物线方程为 y22p1x(p10)， 则(2)28p1，所以 p11 2， 所以抛物线方程为 y2x. 当开口向下时，设抛物线方程为 x22p2y(p20)， 则 424p2，p24， 所以抛物线方程为 x28y. 5.已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|5 4x0，则 x0等于( ) A.4
4、B.2 C.1 D.8 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 C 解析 如图，F 1 4，0 ， 过 A 作 AA准线 l， |AF|AA|， 5 4x0x0 p 2x0 1 4， x01. 6.设动圆 C 与圆 x2(y3)21 外切，与直线 y0 相切，则 C 的圆心轨迹为( ) A.抛物线 B.线段 C.椭圆 D.圆 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 A 解析 设圆 C 的半径为 r，则圆心 C 到直线 y0 的距离为 r，由两圆外切可得，圆心 C 到点 (0，3)的距离为 r1，所以点 C 到点(0，3)的距离和它到直线 y1 的距离相等，符合抛物
5、线的特征，故点 C 的轨迹是抛物线. 7.已知抛物线 y24x 上一点 P 到焦点 F 的距离为 5，则PFO 的面积为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义与其它知识结合的应用 答案 B 解析 由题意，知抛物线的焦点坐标为 F(1，0)，准线方程为 x1.因为抛物线 y24x 上的 一点 P 到焦点的距离为 5，由抛物线的定义可知，点 P 到准线 x1 的距离是 5，则点 P 到 y 轴的距离是 4，所以 P(4， 4)，所以PFO 的面积为1 2142. 8.已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1
6、和直线 l2的距离之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.11 5 D.37 16 考点 求抛物线的最值问题 题点 根据抛物线定义转换求最值 答案 A 解析 如图所示，动点 P 到 l2：x1 的距离可转化为到点 F 的距离， 由图可知，距离和的最小值，即 F 到直线 l1的距离 d |46| 32422. 二、填空题 9.抛物线 y2x2的焦点坐标为_. 考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程 题点 求抛物线的焦点坐标 答案 0，1 8 解析 抛物线 y2x2的标准方程为 x21 2y，p 1 4，故焦点坐标为 0，1 8 . 10.若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M
7、 到 y 轴的距离是_. 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 9 解析 抛物线 y24x 的焦点为 F(1，0)，准线为 x1.由 M 到焦点的距离为 10，可知 M 到 准线 x1 的距离也为 10，故 M 的横坐标满足 xM110，解得 xM9，所以点 M 到 y 轴 的距离为 9. 11.一抛物线形拱桥， 当桥顶离水面 2 米时， 水面宽 4 米， 若水面下降 2 米， 则水面宽为_ 米. 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 4 2 解析 以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为 x 轴，建立如图所示的平面直 角坐标系，设抛物线方程为 x22p
8、y(p0). 由桥顶离水面 2 米时，水面宽 4 米可得图中点 A 的坐标为(2，2)， 所以 42p(2)，解得 p1. 所以抛物线的方程为 x22y. 当水面下降 2 米，即当 y4 时， 可得 x22(4)8，解得 x 2 2， 因此水面宽为 4 2米. 三、解答题 12.根据下列条件分别求抛物线的标准方程. (1)抛物线的焦点是椭圆 9x216y2144 的左顶点； (2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y3 与抛物线交于点 A，|AF|5. 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程 解 (1)椭圆方程可化为x 2 16 y2 91，左顶点为(4，0)， 由题意设抛物线方程为
9、 y22px(p0)且p 2 4， p8，抛物线的标准方程为 y216x. (2)设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y22px(p0)，A(m，3)， 由抛物线定义得 5|AF| mp 2 . 又(3)22pm，p 1 或 p 9， 故所求抛物线的标准方程为 y2 2x 或 y2 18x. 13.如图所示，抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，焦点 F 在 y 轴上，准线 l 与圆 x2y21 相切. (1)求抛物线 C 的方程； (2)若点 A，B 都在抛物线 C 上，且FB 2OA ，求点 A 的坐标. 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程 解 (1)依题意，可设抛物线 C 的方
10、程为 x22py(p0)，其准线 l 的方程为 yp 2. 准线 l 与圆 x2y21 相切， 圆心(0，0)到准线 l 的距离 d0 p 2 1， 解得 p2.故抛物线 C 的方程为 x24y. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x214y1， x224y2， 由题意得 F(0，1)， FB (x 2，y21)，OA (x1，y1)， FB 2OA ， (x2，y21)2(x1，y1)(2x1，2y1)， 即 x22x1， y22y11， 代入得 4x218y14， 即 x212y11， 又 x214y1，所以 4y12y11， 解得 y11 2，x1 2， 即点 A 的坐
11、标为 2，1 2 或 2，1 2 . 14.已知点 P 是抛物线 x24y 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影是点 Q，点 A 的坐标是(8，7)， 则|PA|PQ|的最小值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 考点 求抛物线的最值问题 题点 根据抛物线定义转换求最值 答案 C 解析 抛物线的焦点为 F(0，1)，准线方程为 y1， 如图，设点 P 在准线上的射影是点 M， 根据抛物线的定义知，|PF|PM|PQ|1. |PA|PQ|PA|PM|1|PA|PF|1|AF|18271211019. 当且仅当 A，P，F 三点共线时，等号成立， 则|PA|PQ|的最小值为 9.故选 C.
12、15.平面上动点 P 到定点 F(1，0)的距离比点 P 到 y 轴的距离大 1，求动点 P 的轨迹方程. 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 解 方法一 由题意，动点 P 到定点 F(1，0)的距离比到 y 轴的距离大 1， 由于点 F(1，0)到 y 轴的距离为 1， 故当 x0 时，直线 y0 上的点适合条件； 当 x0 时，原命题等价于点 P 到点 F(1，0)与到直线 x1 的距离相等， 故点 P 的轨迹是以 F 为焦点，x1 为准线的抛物线，方程为 y24x. 故所求动点 P 的轨迹方程为 y2 4x，x0， 0，x0. 方法二 设点 P 的坐标为(x，y)，则有 x12y2|x|1， 两边平方并化简得 y22x2|x|. y2 4x，x0， 0，x0. 即点P的轨迹方程为y 2 4x，x0， 0，x0.