1、2.2 抛物线的简单性质抛物线的简单性质 一、选择题 1.设抛物线的焦点到顶点的距离为 3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( ) A.(6，) B.6，) C.(3，) D.3，) 考点 抛物线的简单性质 题点 焦点、准线、对称性的简单应用 答案 D 解析 抛物线的焦点到顶点的距离为 3， p 23，即 p6. 又抛物线上的点到准线距离的最小值为p 2， 抛物线上的点到准线距离的取值范围是3，). 2.若抛物线 y24x 上一点 P 到 x 轴的距离为 2 3，则点 P 到抛物线的焦点 F 的距离为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用
2、答案 A 解析 由题意，知抛物线 y24x 的准线方程为 x1， 抛物线 y24x 上一点 P 到 x 轴的距离为 2 3， 则 P(3， 2 3)， 点 P 到抛物线的准线的距离为 314， 点 P 到抛物线的焦点 F 的距离为 4.故选 A. 3.P 为抛物线 y22px 的焦点弦 AB 的中点，A，B，P 三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|， |BB1|，|PP1|，则有( ) A.|PP1|AA1|BB1| B.|PP1|1 2|AB| C.|PP1|1 2|AB| D.|PP1|0)，则( ) A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两
3、个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题 答案 C 解析 直线 ykxkk(x1)， 直线过点(1，0)， 又点(1，0)在抛物线 y22px 的内部， 当 k0 时，直线与抛物线有一个公共点；当 k0 时，直线与抛物线有两个公共点. 5.抛物线 y24x 的焦点为 F，点 P 为抛物线上的动点，点 M 为其准线上的动点，当FPM 为等边三角形时，其面积为( ) A.2 3 B.4 C.6 D.4 3 考点 抛物线的简单性质 题点 抛物线性质的综合问题 答案 D 解析 由题意知，FPM 为等边三角形， |PF|PM|FM|， PM
4、抛物线的准线. 设 P m2 4 ，m ，则 M(1，m)， 等边三角形边长为 1m 2 4 ， 又由 F(1，0)，|PM|FM|， 得 1m 2 4 112m2，得 m 2 3， 等边三角形的边长为 4，其面积为 4 3，故选 D. 6.已知抛物线 y22px(p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( ) A.x1 B.x1 C.x2 D.x2 考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 与弦长有关的其他问题 答案 B 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线的焦点为 F p 2，0 ， 所以过焦点且斜
5、率为 1 的直线方程为 yxp 2， 即 xyp 2，代入 y 22px 消去 x， 得 y22pyp2，即 y22pyp20， 由根与系数的关系得y1y2 2 p2， 所以抛物线方程为 y24x，准线方程为 x1. 7.已知点(x，y)在抛物线 y24x 上，则 zx21 2y 23 的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.0 考点 抛物线的简单性质 题点 抛物线性质的综合问题 答案 B 解析 因为点(x，y)在抛物线 y24x 上，所以 x0， 因为 zx21 2y 23x22x3(x1)22， 所以当 x0 时，z 最小，其值为 3. 8.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与
6、C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|12， P 为 C 的准线上的一点，则ABP 的面积为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 考点 抛物线的简单性质 题点 抛物线性质的综合问题 答案 C 解析 不妨设抛物线方程为 y22px(p0)， 依题意，lx 轴，且焦点 F p 2，0 ， 当 xp 2时，|y|p， |AB|2p12，p6， 又点 P 到直线 AB 的距离为p 2 p 2p6， 故 SABP1 2|AB| p 1 212636. 二、填空题 9(2018 北京)已知直线 l 过点(1,0)且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 y24ax 截得的线段长为
7、4， 则抛物线的焦点坐标为_ 答案 (1,0) 解析 由题意知，直线 l 的方程为 x1，则直线与抛物线的交点为(1， 2 a)(a0) 又直线被抛物线截得的线段长为 4， 所以 4 a4，即 a1. 所以抛物线的焦点坐标为(1,0) 10.直线 ykx2 与抛物线 y28x 有且只有一个公共点，则 k_. 考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题 答案 0 或 1 解析 当 k0 时，直线与抛物线有唯一交点， 当 k0 时，联立方程消去 y，得 k2x24(k2)x40， 由题意 16(k2)216k20， k1. 11.抛物线 x22py(p0)的焦点为 F，其准线与
8、双曲线x 2 3 y2 31 相交于 A，B 两点，若ABF 为等边三角形，则 p_. 考点 抛物线的简单性质 题点 抛物线与其他曲线结合的有关问题 答案 6 解析 抛物线的焦点坐标为 F 0，p 2 ， 准线方程为 yp 2.代入 x2 3 y2 31 得| | x 3p 2 4 .要使 ABF 为等边三角形，则 tan 6 |x| p 3p 2 4 p 3 3 ，解得 p236，p6. 三、解答题 12.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与 y 轴的交点，A 为抛物线上一 点，且|AM| 17，|AF|3，求此抛物线的标准方程. 考点 由抛物线的简单性质求方程 题点 由
9、其他条件求抛物线方程 解 设所求抛物线的标准方程为 x22py(p0)， 设 A(x0，y0)，由题意知 M 0，p 2 ， |AF|3，y0p 23， |AM| 17，x20 y0p 2 217， x208，代入方程 x202py0得， 82p 3p 2 ，解得 p2 或 p4. 所求抛物线的标准方程为 x24y 或 x28y. 13.已知直线 l 经过抛物线 y26x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点. (1)若直线 l 的倾斜角为 60 ，求|AB|的值； (2)若|AB|9，求线段 AB 的中点 M 到准线的距离. 考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 与弦长有关的其他问题
10、解 (1)因为直线 l 的倾斜角为 60 ， 所以其斜率 ktan 60 3， 又 F 3 2，0 ，所以直线 l 的方程为 y 3 x3 2 . 联立 y 3 x3 2 ， y26x， 消去 y 得 4x220x90，解得 x11 2，x2 9 2， 故|AB|1 32 9 2 1 2 248. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由抛物线定义，知|AB|AF|BF|x1p 2x2 p 2x1x2px1x239， 所以 x1x26， 于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3， 又准线方程是 x3 2， 所以 M 到准线的距离等于 33 2 9 2. 14.已知倾斜角为 6的直线
11、 l 过抛物线 C：y 22px(p0)的焦点 F，抛物线 C 上存在点 P 与 x 轴 上一点 Q(5，0)关于直线 l 对称，则 p 等于( ) A.1 2 B.1 C.2 D.3 考点 抛物线的简单性质 题点 焦点、准线、对称性的简单应用 答案 C 解析 由题意得，F p 2，0 ，设 P(x0，y0)， 直线 PQ 的方程为 y 3(x5)， 由 y202px0， y0 3x05， 得 3(x05)22px0， 又|FP|FQ|，即 x0p 2 5p 2 ， 由 3x0522px0， x0p 2 5p 2 ， 解得 x05， p0 (舍去)或 x03， p2. 综上，p2. 15.如图
12、，已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 P(2，0)的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，直线 AF，BF 分别与抛物线交于点 M，N. (1)求 y1y2的值； (2)连接 MN，记直线 MN 的斜率为 k1，直线 AB 的斜率为 k2，证明：k1 k2为定值. 考点 抛物线中的定值、定点问题 题点 抛物线中的定值问题 (1)解 依题意，设 AB 的方程为 xmy2， 代入 y24x，得 y24my80，从而 y1y28. (2)证明 设 M(x3，y3)，N(x4，y4)， k1 k2 y3y4 x3x4 x1x2 y1y2 y3y4 y23 4 y24 4 y21 4 y22 4 y1y2 y1y2 y3y4， 设直线 AM 的方程为 xny1， 代入 y24x，消去 x 得 y24ny40， 所以 y1y34，同理 y2y44， k1 k2 y1y2 y3y4 y1y2 4 y1 4 y2 y1y2 4， 由(1)知 y1y28，所以k1 k22 为定值.