1、3 双曲线双曲线 3.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 一、选择题 1.双曲线方程为 x22y21，则它的右焦点坐标为( ) A. 2 2 ，0 B. 6 2 ，0 C. 5 2 ，0 D.( 3，0) 考点 双曲线的标准方程 题点 由双曲线方程求参数 答案 B 解析 将双曲线方程化为标准方程为 x2y 2 1 2 1， a21，b21 2，c 2a2b23 2，c 6 2 ， 故右焦点坐标为 6 2 ，0 . 2.已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右支上，若 |PF1|PF2|b，且双曲线的焦距为 2 5，则该双曲线的
2、标准方程为( ) A.x 2 4y 21 B.x 2 3 y2 21 C.x2y 2 41 D.x 2 2 y2 31 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 答案 C 解析 由题意得 |PF1|PF2|2ab， c2a2b2， 2c2 5， 解得 a21， b24， 则该双曲线的标准方程为 x2y 2 41. 3.已知双曲线 x2 a3 y2 2a1，焦点在 y 轴上，若焦距为 4，则 a 等于( ) A.3 2 B.5 C.7 D. 1 2 考点 双曲线的标准方程 题点 由双曲线方程求参数 答案 D 解析 根据题意可知，双曲线的标准方程为 y2 2a x2 3a1
3、. 由其焦距为 4，得 c2， 则有 c22a3a4，解得 a1 2. 4.已知双曲线x 2 4 y2 51 上一点 P 到左焦点 F1的距离为 10，则 PF1 的中点 N 到坐标原点 O 的 距离为( ) A.3 或 7 B.6 或 14 C.3 D.7 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 A 解析 连接 ON，ON 是PF1F2的中位线， |ON|1 2|PF2|， |PF1|PF2|4，|PF1|10，|PF2|14 或 6， |ON|1 2|PF2|7 或 3. 5.“mn0，且 m20，解得 m2. 11.焦点在 x 轴上的双曲线经过点 P(4 2，3)，且 Q(0，
4、5)与两焦点的连线互相垂直，则此 双曲线的标准方程为_. 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 答案 x2 16 y2 91 解析 设焦点 F1(c，0)，F2(c，0)(c0)， 则由 QF1QF2，得 12 1 QFQF kk ， 5 c 5 c1，c5， 设双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)， 双曲线过点(4 2，3)，32 a2 9 b21， 又c2a2b225，a216，b29， 双曲线的标准方程为x 2 16 y2 91. 三、解答题 12.已知与双曲线x 2 16 y2 91 共焦点的双曲线过点 P 5 2 ， 6 ，求该双曲线的标准
5、方程. 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 解 已知双曲线x 2 16 y2 91， 则 c216925，c5. 设所求双曲线的标准方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0). 依题意知 b225a2， 故所求双曲线方程可写为x 2 a2 y2 25a21. 点 P 5 2 ， 6 在所求双曲线上， 5 2 2 a2 6 2 25a2 1， 化简得 4a4129a21250， 解得 a21 或 a2125 4 . 当 a2125 4 时，b225a225125 4 25 4 0， 不合题意，舍去，a21，b224， 所求双曲线的标准方程为 x2y 2 241.
6、 13.已知双曲线x 2 16 y2 41 的左、右焦点分别为 F1，F2. (1)若点 M 在双曲线上，且MF1 MF2 0，求 M 点到 x 轴的距离； (2)若双曲线 C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(3 2，2)，求双曲线 C 的标准方程. 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 解 (1)如图所示，不妨设 M 在双曲线的右支上，M 点到 x 轴的距离为 h，MF1 MF2 0， 则 MF1MF2， 设|MF1|m，|MF2|n， 由双曲线定义，知 mn2a8， 又 m2n2(2c)280， 由得 m n8， 1 2mn4 1 2|F1F2| h，h 2 5 5 . (2)设所求双曲线 C 的方程为 x2 16 y2 41(40)， Q(x1，y1)，则FQ (x1c，y1)， 所以 SOFQ1 2|OF | |y1|2 6，则 y1 4 6 c . 又OF FQ m，即(c，0) (x1c，y1) 6 4 1 c2， 解得 x1 6 4 c， 所以|OQ |x21y21 3 8c 296 c2 122 3， 当且仅当 c4 时，取等号，|OQ |最小， 这时 Q 的坐标为( 6， 6)或( 6， 6). 因为 6 a2 6 b21， a2b216， 所以 a24， b212， 于是所求双曲线的标准方程为x 2 4 y2 121.