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2.6 距离的计算 课时对点练(含答案)

1、6 距离的计算距离的计算 一、选择题 1.若 A(3cos ,3sin ,1),B(2cos ,2sin ,1),则|AB |的取值范围是( ) A.0,5 B.1,5 C.(1,5) D.1,25 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求两点间的距离 答案 B 解析 |AB |2cos 3cos 22sin 3sin 29412cos cos 12sin sin 1312cos, 因为1cos()1,所以 1|AB |5. 2.在正方体 ABCDA1B1C1D1中,棱长为 2,则异面直线 AC 与 A1D 的距离为( ) A.2 3 3 B. 3 3 C. 2 D.1 考点 向量法求空间距离

2、题点 向量法求两线间的距离 答案 A 解析 以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐 标系 Dxyz,连接 B1C,AB1, 因为 A1D平面 AB1C,所以异面直线 AC 与 A1D 的距离为 A1到平面 AB1C 的距离. D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),A1(2,0,2),AC (2,2,0), AB1 (0,2,2),AA1 (0,0,2). 设 n(x,y,z)为平面 AB1C 的法向量,由 n AC 0, n AB1 0,得 xyz,可取 n(1,1,1), 故 A1到平面 ACB1的距离

3、为 AA1 n |n| 2 3 3 . 3.若正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长为 1,AB1与底面 ABCD 成 60 角,则 A1C1到底面 ABCD 的距离为( ) A. 3 3 B.1 C. 2 D. 3 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求直线到平面的距离 答案 D 解析 以 D 为坐标原点,DA ,DC ,DD1 为 x,y,z 轴正向建立空间直角坐标系 Dxyz,C(0, 1,0),C1(0,1, 3),A(1,0,0),CC1 (0,0, 3),AC1 (1,1, 3), 易知C1C 平面 ABCD,可取CC1 为平面 ABCD 的法向量, 故 A1C1到平面 AB

4、CD 的距离为 CC1 AC1 |CC1 | 3. 4.已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2,点 E 是 A1B1的中点,则点 A 到直线 BE 的距离 是( ) A.6 5 5 B.4 5 5 C.2 5 5 D. 5 5 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到直线的距离 答案 B 解析 以 B 为坐标原点,BC,BA,BB1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标 系 Bxyz, 则BA (0,2,0),BE(0,1,2), 设ABE, 则 cos |BA BE| |BA |BE| 2 2 5 5 5 , sin 1cos22 5 5 . 故 A 到直线 BE

5、 的距离 d|AB |sin 22 5 5 4 5 5 . 5.若正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a,则平面 AB1D1与平面 BDC1的距离为( ) A. 2a B. 3a C. 2 3 a D. 3 3 a 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求平面间的距离 答案 D 解析 由正方体的性质易得平面 AB1D1平面 BDC1,则两平面间的距离可转化为点 B 到平 面 AB1D1的距离.显然 A1C平面 AB1D1,以 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DD1所在直线 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz, 则平面 AB1D1的一个法向量为 n(1,1,1).又

6、A(a,0,0),B(a,a,0), BA (0,a,0),则两平面间的距离为 d|BA n| |n| a 3 3 3 a. 6.如图,直三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱 AA1 3.在底面ABC 中,ACB90 ,ACBC 1,则点 B1到平面 A1BC 的距离为( ) A. 3 2 B. 2 2 C.1 2 D.1 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 答案 A 解析 以 C 为坐标原点,分别以 CA,CB,CC1所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的 空间直角坐标系 Cxyz, 则 C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0), A1(1,0, 3),B

7、1(0,1, 3),C1(0,0, 3), A1B (1,1, 3), A1C (1,0, 3),A1B1 (1,1,0). 设平面 A1BC 的一个法向量为 n(x,y,z), 则 n A1B 0, n A1C 0, xy 3z0, x 3z0, 令 x 3,得 y0,z1,n( 3,0,1). 故点 B1到平面 A1BC 的距离为 d|n A1B1 | |n| 3 2 . 7.(2018 安徽六安高二检测)如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,ACB90 ,2ACAA1 BC2,若平面 B1DC 与平面 DCC1夹角的大小为 60 ,则 AD 的长为( ) A. 2 B. 3 C.2 D

8、. 2 2 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求两点间的距离 答案 A 解析 如图,分别以 CA,CB,CC1为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则 C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2), 设 ADa,则点 D 的坐标为(1,0,a), CD (1,0,a),CB1 (0,2,2). 设平面 B1CD 的法向量为 n(x,y,z), 则 n CB1 0, n CD 0, 得 2y2z0, xaz0, 令 z1, 得 n(a,1,1). 又平面 C1DC 的一个法向量为 m(0,1,0), cos 60 |m n| |m|n|,即 1 a22

9、1 2, a 2,即 AD 2. 二、填空题 8.已知平面 的一个法向量为 n(2,2,1),点 A(1,3,0)在 内,则 P(2,1,4) 到 的距离为_. 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 答案 10 3 解析 因为PA (1,2,4),又平面 的一个法向量为 n(2,2,1),所以点 P 到 的距离为|PA n| |n| |244| 3 10 3 . 9.在长方体 ABCDA1B1C1D1中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,高 AA1为 4,则点 A1到 平面 AB1D1的距离是_. 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 答案 4 3 解析

10、如图,以 A 为坐标原点,分别以 AB,AD,AA1所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间 直角坐标系 Axyz, 则 A(0,0,0),A1(0,0,4),B1(2,0,4),D1(0,2,4),AA1 (0,0,4). AB1 (2,0,4),AD1 (0,2,4), 设平面 AB1D1的一个法向量为 n(x,y,z), 则 AB1 n0, AD1 n0, 2x4z0, 2y4z0, 令 z1,得 n(2,2,1), 点 A1到平面 AB1D1的距离为 d|AA1 n| |n| 4 3. 10.在四棱锥 OABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,ABC 4,OA底面 ABC

11、D, OA2,则点 B 到平面 OCD 的距离为_. 考点 题点 答案 2 3 解析 在平面 ABCD 内作 APCD,交 CD 于点 P,以点 A 为坐标原点,以 AB,AP,AO 所 在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,如图, 则 A(0,0,0),B(1,0,0),P 0, 2 2 ,0 ,D 2 2 , 2 2 ,0 ,O(0,0,2), 所以OP 0, 2 2 ,2 ,OD 2 2 , 2 2 ,2 ,OB (1,0,2). 设平面 OCD 的法向量为 n(x,y,z), 则 n OP 0, n OD 0, 得 2 2 y2z0, 2 2 x 2 2 y2z0, 解得 x

12、0, y2 2z, 取 z1,则 n(0,2 2,1). 设点 B 到平面 OCD 的距离为 d,则 d|OB n| |n| 2 3, 所以点 B 到平面 OCD 的距离为2 3. 三、解答题 11.在如图所示的空间直角坐标系中,长方体 ABCDABCD的棱 ABAD1,BB 2,M,N 分别为 AD,DC的中点,求直线 AC 与直线 MN 的距离. 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求两直线间的距离 解 依据长方体的性质可知 ACMN,故两直线间的距离为点 M 到直线 AC 的距离. 由题意得AC (1,1,0),AM 0,1 2,2 . 所以点 M 到直线 AC 的距离 d|AM |2

13、AM AC |AC | 2 17 4 1 8 66 4 . 12.如图,多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截而得到的,其中 AB4,BC 2,CC13,BE1. (1)求 BF 的长; (2)求点 C 到平面 AEC1F 的距离. 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 解 (1)以 D 为坐标原点,DA,DC,DF 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的 空间直角坐标系 Dxyz, 则 D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3). 设点 F(0,0,z). 四边形 AEC1

14、F 为平行四边形, AF EC 1 ,(2,0,z)(2,0,2), z2,F(0,0,2), BF (2,4,2),|BF|2 6. 即 BF 的长为 2 6. (2)设平面 AEC1F 的一个法向量为 n1(x,y,1), 由 n1 AE 0, n1 AF 0, 得 0 x4 y10, 2 x0 y20, 即 4y10, 2x20, x1, y1 4, n1 1,1 4,1 . 又CC1 (0,0,3), 点 C 到平面 AEC1F 的距离为 d|CC1, n 1| |n1| 3 1 1 161 4 33 11 . 13.如图,在四棱锥 SABCD 中,ADBC 且 ADCD,平面 CSD

15、平面 ABCD,CSDS, CS2AD2,E 为 BS 的中点,CE 2,AS 3.求点 A 到平面 BCS 的距离. 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 解 如图,以 S(O)为坐标原点,OD,OC 所在直线分别为 x 轴,y 轴,建立空间直角坐标系 Sxyz.设 A(xA, yA, zA), 因为平面 CSD平面 ABCD, 平面 CSD平面 ABCDCD, ADCD, 故 AD平面 CSD,即点 A 在 xSz 平面上,因此 yA0,zA|AD |1. 又 x2A12|AS |23,x A0,解得 xA 2. 从而 A( 2,0,1). 因为 ADBC,故 BC平面 C

16、SD,即平面 BCS 与平面 ySz 重合,从而点 A 到平面 BCS 的距 离为 xA 2. 14.空间直角坐标系中(O 为坐标原点),在坐标平面 xOy 上到点 A(3,2,5),B(3,5,1)距离 相等的点有( ) A.1 个 B.2 个 C.不存在 D.无数个 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求两点间的距离 答案 D 解析 过 AB 的中点 3,7 2,3 且以AB (0,3,4)为法向量的平面上的点到 A,B 的距离相 等. 15.已知在斜三棱柱 ABCA1B1C1中,BCA90 ,ACBC2,A1在底面 ABC 上的射影恰 为 AC 的中点 D,又知 BA1AC1. (1)求

17、证:AC1平面 A1BC; (2)求点 C1到平面 A1AB 的距离. 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 (1)证明 如图,取 AB 的中点 E,连接 DE,则 DEBC,因为 BCAC,所以 DEAC,且 A1D平面 ABC,以 D 为坐标原点,射线 DE,DC,DA1分别为 x,y,z 轴的正半轴建立空 间直角坐标系, 则 A(0,1,0),C(0,1,0),B(2,1,0), 设 A1(0,0,t),C1(0,2,t),其中 t0, 则AC1 (0,3,t),BA1 (2,1,t),CB (2,0,0), 因为AC1 CB 0,所以 AC 1CB, 又因为 BA1AC1,且 BCBA1B,BC,BA1平面 A1BC,所以 AC1平面 A1BC. (2)解 由(1)知 AC1平面 A1BC, 所以AC1 BA1 3t20,t0,得 t 3. 设平面 A1AB 的法向量为 n(x,y,z),AA1 (0,1, 3),AB (2,2,0), 所以 n AA1 y 3z0, n AB 2x2y0, 设 z1,则 n( 3, 3,1). 所以点 C1到平面 A1AB 的距离 d|AC1 n| |n| 2 21 7 .