1、6 距离的计算距离的计算 一、选择题 1.若 A(3cos ，3sin ，1)，B(2cos ，2sin ，1)，则|AB |的取值范围是( ) A.0，5 B.1，5 C.(1，5) D.1，25 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求两点间的距离 答案 B 解析 |AB |2cos 3cos 22sin 3sin 29412cos cos 12sin sin 1312cos， 因为1cos()1，所以 1|AB |5. 2.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱长为 2，则异面直线 AC 与 A1D 的距离为( ) A.2 3 3 B. 3 3 C. 2 D.1 考点 向量法求空间距离
2、题点 向量法求两线间的距离 答案 A 解析 以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐 标系 Dxyz，连接 B1C，AB1， 因为 A1D平面 AB1C，所以异面直线 AC 与 A1D 的距离为 A1到平面 AB1C 的距离. D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，A1(2，0，2)，AC (2，2，0)， AB1 (0，2，2)，AA1 (0，0，2). 设 n(x，y，z)为平面 AB1C 的法向量，由 n AC 0， n AB1 0，得 xyz，可取 n(1，1，1)， 故 A1到平面 ACB1的距离
3、为 AA1 n |n| 2 3 3 . 3.若正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长为 1，AB1与底面 ABCD 成 60 角，则 A1C1到底面 ABCD 的距离为( ) A. 3 3 B.1 C. 2 D. 3 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求直线到平面的距离 答案 D 解析 以 D 为坐标原点，DA ，DC ，DD1 为 x，y，z 轴正向建立空间直角坐标系 Dxyz，C(0， 1，0)，C1(0，1， 3)，A(1，0，0)，CC1 (0，0， 3)，AC1 (1，1， 3)， 易知C1C 平面 ABCD，可取CC1 为平面 ABCD 的法向量， 故 A1C1到平面 AB
4、CD 的距离为 CC1 AC1 |CC1 | 3. 4.已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，点 E 是 A1B1的中点，则点 A 到直线 BE 的距离 是( ) A.6 5 5 B.4 5 5 C.2 5 5 D. 5 5 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到直线的距离 答案 B 解析 以 B 为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标 系 Bxyz， 则BA (0，2，0)，BE(0，1，2)， 设ABE， 则 cos |BA BE| |BA |BE| 2 2 5 5 5 ， sin 1cos22 5 5 . 故 A 到直线 BE
5、 的距离 d|AB |sin 22 5 5 4 5 5 . 5.若正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，则平面 AB1D1与平面 BDC1的距离为( ) A. 2a B. 3a C. 2 3 a D. 3 3 a 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求平面间的距离 答案 D 解析 由正方体的性质易得平面 AB1D1平面 BDC1，则两平面间的距离可转化为点 B 到平 面 AB1D1的距离.显然 A1C平面 AB1D1，以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz， 则平面 AB1D1的一个法向量为 n(1，1，1).又
6、A(a，0，0)，B(a，a，0)， BA (0，a，0)，则两平面间的距离为 d|BA n| |n| a 3 3 3 a. 6.如图，直三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱 AA1 3.在底面ABC 中，ACB90 ，ACBC 1，则点 B1到平面 A1BC 的距离为( ) A. 3 2 B. 2 2 C.1 2 D.1 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 答案 A 解析 以 C 为坐标原点，分别以 CA，CB，CC1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的 空间直角坐标系 Cxyz， 则 C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)， A1(1，0， 3)，B
7、1(0，1， 3)，C1(0，0， 3)， A1B (1，1， 3)， A1C (1，0， 3)，A1B1 (1，1，0). 设平面 A1BC 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则 n A1B 0， n A1C 0， xy 3z0， x 3z0， 令 x 3，得 y0，z1，n( 3，0，1). 故点 B1到平面 A1BC 的距离为 d|n A1B1 | |n| 3 2 . 7.(2018 安徽六安高二检测)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB90 ，2ACAA1 BC2，若平面 B1DC 与平面 DCC1夹角的大小为 60 ，则 AD 的长为( ) A. 2 B. 3 C.2 D
8、. 2 2 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求两点间的距离 答案 A 解析 如图，分别以 CA，CB，CC1为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则 C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)， 设 ADa，则点 D 的坐标为(1，0，a)， CD (1，0，a)，CB1 (0，2，2). 设平面 B1CD 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n CB1 0， n CD 0， 得 2y2z0， xaz0， 令 z1， 得 n(a，1，1). 又平面 C1DC 的一个法向量为 m(0，1，0)， cos 60 |m n| |m|n|，即 1 a22
9、1 2， a 2，即 AD 2. 二、填空题 8.已知平面 的一个法向量为 n(2，2，1)，点 A(1，3，0)在 内，则 P(2，1，4) 到 的距离为_. 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 答案 10 3 解析 因为PA (1，2，4)，又平面 的一个法向量为 n(2，2，1)，所以点 P 到 的距离为|PA n| |n| |244| 3 10 3 . 9.在长方体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，高 AA1为 4，则点 A1到 平面 AB1D1的距离是_. 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 答案 4 3 解析
10、如图，以 A 为坐标原点，分别以 AB，AD，AA1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间 直角坐标系 Axyz， 则 A(0，0，0)，A1(0，0，4)，B1(2，0，4)，D1(0，2，4)，AA1 (0，0，4). AB1 (2，0，4)，AD1 (0，2，4)， 设平面 AB1D1的一个法向量为 n(x，y，z)， 则 AB1 n0， AD1 n0， 2x4z0， 2y4z0， 令 z1，得 n(2，2，1)， 点 A1到平面 AB1D1的距离为 d|AA1 n| |n| 4 3. 10.在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，ABC 4，OA底面 ABC
11、D， OA2，则点 B 到平面 OCD 的距离为_. 考点 题点 答案 2 3 解析 在平面 ABCD 内作 APCD，交 CD 于点 P，以点 A 为坐标原点，以 AB，AP，AO 所 在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图， 则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，P 0， 2 2 ，0 ，D 2 2 ， 2 2 ，0 ，O(0，0，2)， 所以OP 0， 2 2 ，2 ，OD 2 2 ， 2 2 ，2 ，OB (1，0，2). 设平面 OCD 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n OP 0， n OD 0， 得 2 2 y2z0， 2 2 x 2 2 y2z0， 解得 x
12、0， y2 2z， 取 z1，则 n(0，2 2，1). 设点 B 到平面 OCD 的距离为 d，则 d|OB n| |n| 2 3， 所以点 B 到平面 OCD 的距离为2 3. 三、解答题 11.在如图所示的空间直角坐标系中，长方体 ABCDABCD的棱 ABAD1，BB 2，M，N 分别为 AD，DC的中点，求直线 AC 与直线 MN 的距离. 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求两直线间的距离 解 依据长方体的性质可知 ACMN，故两直线间的距离为点 M 到直线 AC 的距离. 由题意得AC (1，1，0)，AM 0，1 2，2 . 所以点 M 到直线 AC 的距离 d|AM |2
13、AM AC |AC | 2 17 4 1 8 66 4 . 12.如图，多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截而得到的，其中 AB4，BC 2，CC13，BE1. (1)求 BF 的长； (2)求点 C 到平面 AEC1F 的距离. 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 解 (1)以 D 为坐标原点，DA，DC，DF 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的 空间直角坐标系 Dxyz， 则 D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3). 设点 F(0，0，z). 四边形 AEC1
14、F 为平行四边形， AF EC 1 ，(2，0，z)(2，0，2)， z2，F(0，0，2)， BF (2，4，2)，|BF|2 6. 即 BF 的长为 2 6. (2)设平面 AEC1F 的一个法向量为 n1(x，y，1)， 由 n1 AE 0， n1 AF 0， 得 0 x4 y10， 2 x0 y20， 即 4y10， 2x20， x1， y1 4， n1 1，1 4，1 . 又CC1 (0，0，3)， 点 C 到平面 AEC1F 的距离为 d|CC1， n 1| |n1| 3 1 1 161 4 33 11 . 13.如图，在四棱锥 SABCD 中，ADBC 且 ADCD，平面 CSD
15、平面 ABCD，CSDS， CS2AD2，E 为 BS 的中点，CE 2，AS 3.求点 A 到平面 BCS 的距离. 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 解 如图，以 S(O)为坐标原点，OD，OC 所在直线分别为 x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系 Sxyz.设 A(xA， yA， zA)， 因为平面 CSD平面 ABCD， 平面 CSD平面 ABCDCD， ADCD， 故 AD平面 CSD，即点 A 在 xSz 平面上，因此 yA0，zA|AD |1. 又 x2A12|AS |23，x A0，解得 xA 2. 从而 A( 2，0，1). 因为 ADBC，故 BC平面 C
16、SD，即平面 BCS 与平面 ySz 重合，从而点 A 到平面 BCS 的距 离为 xA 2. 14.空间直角坐标系中(O 为坐标原点)，在坐标平面 xOy 上到点 A(3，2，5)，B(3，5，1)距离 相等的点有( ) A.1 个 B.2 个 C.不存在 D.无数个 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求两点间的距离 答案 D 解析 过 AB 的中点 3，7 2，3 且以AB (0，3，4)为法向量的平面上的点到 A，B 的距离相 等. 15.已知在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，BCA90 ，ACBC2，A1在底面 ABC 上的射影恰 为 AC 的中点 D，又知 BA1AC1. (1)求
17、证：AC1平面 A1BC； (2)求点 C1到平面 A1AB 的距离. 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 (1)证明 如图，取 AB 的中点 E，连接 DE，则 DEBC，因为 BCAC，所以 DEAC，且 A1D平面 ABC，以 D 为坐标原点，射线 DE，DC，DA1分别为 x，y，z 轴的正半轴建立空 间直角坐标系， 则 A(0，1，0)，C(0，1，0)，B(2，1，0)， 设 A1(0，0，t)，C1(0，2，t)，其中 t0， 则AC1 (0，3，t)，BA1 (2，1，t)，CB (2，0，0)， 因为AC1 CB 0，所以 AC 1CB， 又因为 BA1AC1，且 BCBA1B，BC，BA1平面 A1BC，所以 AC1平面 A1BC. (2)解 由(1)知 AC1平面 A1BC， 所以AC1 BA1 3t20，t0，得 t 3. 设平面 A1AB 的法向量为 n(x，y，z)，AA1 (0，1， 3)，AB (2，2，0)， 所以 n AA1 y 3z0， n AB 2x2y0， 设 z1，则 n( 3， 3，1). 所以点 C1到平面 A1AB 的距离 d|AC1 n| |n| 2 21 7 .