1、专题突破三专题突破三 空间直角坐标系的构建策略空间直角坐标系的构建策略 一、选择题 1.在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1 3，则异面直线 AD1与 DB1所成角的 余弦值为( ) A.1 5 B. 5 6 C. 5 5 D. 2 2 考点 题点 答案 C 解析 以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 D(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(1，1， 3)，D1(0，0， 3)， 所以AD1 (1，0， 3)，DB1 (1，1， 3)， 因为 cosAD1 ，DB1 AD1 DB1 |AD1 |DB1 | 13 2 5
2、 5 5 . 2.如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F 分别为 PQ，AB，BC 的中点，则异面直线 EM 与 AF 所成角的余弦值是( ) A. 30 30 B.2 5 C. 30 30 D.1 5 考点 题点 答案 A 解析 由题设易知，AB，AD，AQ 两两垂直.以 A 为原点，AB，AD，AQ 所在直线分别为 x， y，z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方形边长为 2， 则 A(0，0，0)，E(1，0，0)，M(0，1，2)，F(2，1，0)， EM (1，1，2)，AF (2，1，0)， cosEM ，AF EM AF |EM | |
3、AF | 1 30 30 30 ， 则异面直线 EM 与 AF 所成角的余弦值为 30 30 . 3.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，BD 与平面 A1C1D 所成角的正弦值是( ) A. 3 3 B. 6 3 C. 2 2 D.1 考点 题点 答案 B 解析 以 D1为坐标原点，D1A1 ，D 1C1 ，D 1D 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立 空间直角坐标系. 设正方体的棱长为 2，则 A1(2，0，0)，C1(0，2，0)，D(0，0，2)，B(2，2，2)， 且 n(1，1，1)是平面 A1C1D 的一个法向量， 因为DB (2，2，0)， 所以 cosn，D
4、B DB n |DB |n| 4 2 2 3 6 3 . 设 DB 与平面 A1C1D 所成的角为 ，则 sin cosn，DB 6 3 . 4.在正三棱柱 ABCA1B1C1中，若 AB 2BB1，则 AB1与 C1B 所成角的大小为( ) A.60 B.75 C.105 D.90 考点 向量法求直线与直线所成的角 题点 向量法求直线与直线所成的角 答案 D 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设 BB11， 则 A(0，0，1)，B1 6 2 ， 2 2 ，0 ，C1(0， 2，0)，B 6 2 ， 2 2 ，1 . AB1 6 2 ， 2 2 ，1 ，C1B 6 2 ， 2 2 ，1 ，
5、 AB1 C1B 6 4 2 410， 即 AB1与 C1B 所成角的大小为 90 . 5.(2018 贵州贵阳高二检测)如图，四棱锥 PABCD 中，PB平面 ABCD，底面 ABCD 为直 角梯形，ADBC，ABBC，ABADPB3，点 E 在棱 PA 上，且 PE2EA，则平面 ABE 与平面 BED 的夹角的余弦值为( ) A. 2 3 B. 6 6 C. 3 3 D. 6 3 考点 向量法求平面与平面所成的角 题点 向量法求平面与平面所成的角 答案 B 解析 如图，以 B 为坐标原点，分别以 BC，BA，BP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系， 则 B(0，0
6、，0)，A(0，3，0)，P(0，0，3)，D(3，3，0)，E(0，2，1)， BE (0，2，1)，BD (3，3，0). 设平面 BED 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n BE 2yz0， n BD 3x3y0， 取 z1，得 n 1 2， 1 2，1 . 又平面 ABE 的法向量为 m(1，0，0)， cosn，m m n |n|m| 1 2 6 2 1 6 6 . 平面 ABE 与平面 BED 的夹角的余弦值为 6 6 . 6.如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，AB1，ACAA1 3，ABC60 ，则平面 AA1C 与 平面 A1CB 夹角的余弦值是( ) A. 5 5 B
7、. 10 5 C. 15 5 D. 2 2 考点 题点 答案 C 解析 由题意知 ABAC，以 A 为坐标原点，AB ，AC，AA 1 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系， 则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0， 3，0)，A1(0，0， 3). 设平面 A1BC 的法向量为 n(x，y，z)， 则BC n0，A 1C n0. 又因为BC (1， 3，0)，A 1C (0， 3， 3)， 所以 x 3y0， 3y 3z0， 令 y1，则 n( 3，1，1). 取 mAB (1，0，0)为平面 AA 1C 的一个法向量， 所以 cosm，n m n |m|
8、n| 31 32111 15 5 . 所以平面 AA1C 与平面 A1CB 夹角的余弦值为 15 5 . 二、填空题 7.如图所示，在四面体 ABCD 中，CACBCDBD2，ABAD 2，则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为_. 考点 向量法求直线与直线所成的角 题点 向量法求直线与直线所成的角 答案 2 4 解析 取 BD 的中点 O，连接 OA，OC. 由题意知 OA，OC，BD 两两垂直， 以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则 B(1，0，0)，D(1，0，0)，C(0， 3，0)，A(0，0，1)， 所以AB (1，0，1)，CD (1， 3，0)， cosA
9、B ，CD 1 22 2 4 ， 因为异面直线所成角的范围是 0， 2 ， 所以 AB 与 CD 所成角的余弦值是 2 4 . 8.如图，已知四棱锥 PABCD 的底面是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，OA4，OB3， OP4，OP底面 ABCD.设点 M 满足PM MC (0)，当 1 2时，直线 PA 与平面 BDM 所 成角的正弦值是_. 考点 题点 答案 10 10 解析 以 O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角 坐标系， 则PA (4，0，4)，DB (0，6，0)，AB (4，3，0). 当 1 2时，得 M 4 3，
10、0， 8 3 ， 所以MB 4 3，3， 8 3 . 设平面 DBM 的法向量为 n(x，y，z)， 则 DB n6y0， MB n4 3x3y 8 3z0， 解得 y0，令 x2，则 z1， 所以 n(2，0，1). 因为 cosPA ，nPA n |PA |n| 4 4 2 5 10 10 ， 所以直线 PA 与平面 BDM 所成角的正弦值为 10 10 . 9.(2018 山西太原高二检测)已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA PD 5， 平面 ABCD平面 PAD， M 是 PC 的中点， O 是 AD 的中点， 则直线 BM 与平面 PCO 所成角的
11、正弦值是_. 考点 向量法求直线与平面所成的角 题点 向量法求直线与平面所成的角 答案 8 85 85 解析 如图，以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系. 则 B(1，2，0)，C(1，2，0)，P(0，0，2)，M 1 2，1，1 . BM 3 2，1，1 . 设平面 PCO 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n OP x，y，z 0，0，20， n OC x，y，z 1，2，00， z0， x2y， 取 n(2，1，0). 因此直线 BM 与平面 PCO 所成角的正弦值是 |cosBM ，n| |31| 17 2 5 8 85 85 . 10.如图，四棱锥 FABCD 的底面 ABCD
12、是菱形，其对角线 AC2，BD 2.若 CF平面 ABCD，CF2，则平面 ABF 与平面 ADF 夹角的大小为_. 考点 题点 答案 2 解析 过点 A 作 AE平面 ABCD， 以 A 为坐标原点， BD ， AC ， AE的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图). 于是 B 2 2 ，1，0 ，D 2 2 ，1，0 ，F(0，2，2). 设平面 ABF 的法向量为 n1(x，y，z)， 则由 n1 AB 0， n1 AF 0， 得 2 2 xy0， 2y2z0， 令 z1，得 x 2， y1， 所以 n1( 2，1，1). 同理，可求得平面 ADF 的一
13、个法向量为 n2( 2，1，1). 由 n1 n20，知平面 ABF 与平面 ADF 垂直， 所以平面 ABF 与平面 ADF 夹角的大小为 2. 11.如图，在棱长为 2 的正方体 AC1中，点 P，Q 分别在棱 BC，CD 上，B1QD1P，且 PQ 2.若 P，Q 分别为 BC，CD 的中点，则平面 C1PQ 与平面 APQ 夹角的余弦值是_. 考点 题点 答案 1 3 解析 以 A 为坐标原点，AB ，AD ，AA1 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐 标系， 则 P(2，1，0)，Q(1，2，0)，C1(2，2，2). 设平面 C1PQ 的法向量为 n(a，b，
14、c). 因为PQ (1，1，0)，PC1 (0，1，2)， 又 n PQ n PC1 0， 所以 ab0， b2c0. 令 c1，则 ab2， 所以 n(2，2，1). 因为 k(0，0，2)为平面 APQ 的一个法向量， 所以 cosn，k1 3. 所以所求余弦值为1 3. 12.已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 a， 侧棱长为 2a， 则 AC1与侧面 ABB1A1所成角 的大小为_. 考点 题点 答案 30 解析 以 A 为坐标原点，AB，AA1所在直线为 y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz， 则 A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0， 2a)
15、，C1 3 2 a，a 2， 2a ， AB (0，a，0)，AA 1 (0，0， 2a)，AC1 3 2 a，a 2， 2a . 设侧面 ABB1A1的法向量为 n(x，y，z)， n AB 0 且 n AA 1 0. ay0， 2az0， yz0.故 n(x，0，0). cosAC1 ，n n AC1 |n|AC1 | x 2|x|， |cosAC1 ，n|1 2. 又直线与平面所成的角在0，90范围内， AC1与侧面 ABB1A1所成的角为 30 . 三、解答题 13.如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAA12，点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点. (1)求异面直线 B
16、P 与 AC1所成角的余弦值； (2)求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值. 考点 向量法求直线与平面与所成的角 题点 向量法求直线与平面与所成的角 解 如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中， 设 AC，A1C1的中点分别为 O，O1， 则 OBOC，OO1OC，OO1OB，以OB ，OC ，OO1 为基底，建立空间直角坐标系 Oxyz. 因为 ABAA12，所以 A(0，1，0)，B( 3，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，1，2)，B1( 3， 0，2)，C1(0，1，2). (1)因为 P 为 A1B1的中点，所以 P 3 2 ，1 2，2 ， 从而BP 3 2 ，1 2，
17、2 ，AC1 (0，2，2)， 故|cosBP ，AC 1 |BP AC 1 | |BP |AC 1 | |14| 52 2 3 10 20 . 因此，异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值为3 10 20 . (2)因为 Q 为 BC 的中点，所以 Q 3 2 ，1 2，0 ， 因此AQ 3 2 ，3 2，0 ，AC1 (0，2，2)，CC1 (0，0，2). 设 n(x，y，z)为平面 AQC1的一个法向量， 则 AQ n0， AC1 n0， 即 3 2 x3 2y0， 2y2z0. 不妨取 n( 3，1，1). 设直线 CC1与平面 AQC1所成的角为 ， 则 sin |cosCC1
18、，n|CC1 n| |CC1 |n| 2 2 5 5 5 . 所以直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值为 5 5 . 14.如图，在四棱锥 EABCD 中，平面 EAD平面 ABCD，DCAB，BCCD，EAED， AB4，BCCDEAED2. (1)证明：BD平面 AED； (2)求平面 ADE 和平面 CDE 夹角的余弦值. 考点 向量法求平面与平面所成的角 题点 向量法求平面与平面所成的角 (1)证明 因为 BCCD，BCCD2，所以 BD2 2. 又因为 EAED，EAED2，所以 AD2 2. 又因为 AB4，由勾股定理知 BDAD. 又因为平面 EAD平面 ABCD， 平面
19、EAD平面 ABCDAD，BD平面 ABCD， 所以 BD平面 AED. (2)解 如图，取 AD 的中点 O，连接 OE，则 OEAD. 因为平面 EAD平面 ABCD，平面 EAD平面 ABCDAD， 所以 OE平面 ABCD. 取 AB 的中点 F，连接 OF，则 OFBD. 因为 BDAD，所以 OFAD. 以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， 则 D( 2，0，0)，C(2 2， 2，0)，E(0，0， 2)， DC ( 2， 2，0)，DE ( 2，0， 2). 设平面 CDE 的法向量为 n1(x，y，z)， 则 DC n10， DE n10， 所以 xy0，
20、 xz0， 令 x1，可得平面 CDE 的一个法向量 n1(1，1，1). 又平面 ADE 的一个法向量为 n2(0，1，0). 因此|cosn1，n2|n1 n2| |n1|n2| 3 3 . 所以平面 ADE 和平面 CDE 夹角的余弦值为 3 3 . 15.如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ADCPAB90 ，BCCD1 2AD，E 为棱 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90 . (1)在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由； (2)若平面 PCD 与平面 ACD 夹角的大小为 45 ，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值
21、. 考点 题点 解 (1)在梯形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行. 延长 AB，DC，相交于点 M(M平面 PAB)，点 M 即为所求的一个点.理由如下： 由已知得，BCED， 且 BCED. 所以四边形 BCDE 是平行四边形. 从而 CMEB. 又 EB平面 PBE，CM平面 PBE， 所以 CM平面 PBE. (2)由已知得，CDPA，CDAD，PAADA，PA，AD平面 PAD， 所以 CD平面 PAD. 又 PD平面 PAD，所以 CDPD. 从而PDA 是平面 PCD 与平面 ACD 夹角的平面角. 所以PDA45 . 由 PAAB，PACD，ABCDM，AB，CD平面 AB
22、CD，可得 PA平面 ABCD. 设 BC1，则在 RtPAD 中，PAAD2. 作 AyAD，以 A 为坐标原点，以AD ，AP 的方向分别为 x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示 的空间直角坐标系 Axyz， 则 A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0)， 所以PE (1，0，2)，EC(1，1，0)，AP(0，0，2)， 设平面 PCE 的法向量为 n(x，y，z)， 由 n PE 0， n EC 0， 得 x2z0， xy0， 取 x2，得 n(2，2，1). 设直线 PA 与平面 PCE 所成角为 ， 则 sin |n AP | |n| |AP | 2 2 222212 1 3. 所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为1 3.