1、 1 椭椭 圆圆 1.1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 一、选择题 1.平面内，F1，F2是两个定点，“动点 M 满足|MF1 |MF2 |为常数”是“M 的轨迹是椭圆” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点 与椭圆有关的轨迹方程 题点 椭圆的定义 答案 B 解析 当|MF1 |MF2 |F1F2 |时，M 的轨迹才是椭圆. 2.已知椭圆x 2 25 y2 m21(m0)的左焦点为 F1(4，0)，则 m 的值为( ) A.9 B.4 C.3 D.2 考点 椭圆的标准方程 题点 已知椭圆焦点位置、焦距求参数 答案 C 解析 由题意可
2、知 25m216，解得 m3(舍去负值). 3.已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F(3，0)，点(0，3)在椭圆上，则椭圆的标准方程为 ( ) A.x 2 45 y2 361 B.x 2 36 y2 271 C.x 2 27 y2 181 D.x 2 18 y2 91 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 答案 D 解析 由题意可得 a2b29， 0 9 b21， 解得 a218， b29， 故椭圆的标准方程为x 2 18 y2 91. 4.“10， m13m， 所以 10)，M 为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段 MF1 的中点 P 的轨
3、迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线 考点 与椭圆有关的轨迹问题 题点 与椭圆定义有关的轨迹问题 答案 B 解析 设椭圆的右焦点为 F2， 由题意，知|PO|1 2|MF2|，|PF1| 1 2|MF1|， 又|MF1|MF2|2a， 所以|PO|PF1|a|F1O|c， 故由椭圆的定义，知 P 点的轨迹是椭圆. 8.已知椭圆x 2 4 y2 21 上有一点 P，F1，F2 是椭圆的左、右焦点，若F1PF2为直角三角形， 则这样的点 P 有( ) A.3 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 答案 C 解析 当PF1F2为直角时，根据椭
4、圆的对称性知，这样的点 P 有 2 个；同理当PF2F1为直 角时，这样的点 P 有 2 个；当 P 点为椭圆的短轴端点时，F1PF2最大，且为直角，此时这 样的点 P 有 2 个.故符合要求的点 P 有 6 个. 二、填空题 9.已知椭圆的焦点在 y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为 8，焦距为 2 15，则此椭圆 的标准方程为_. 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 答案 y2 16x 21 解析 由已知得 2a8，2c2 15， 所以 a4，c 15， 所以 b2a2c216151. 又椭圆的焦点在 y 轴上， 所以椭圆的标准方程为y 2 16x 21. 10
5、.已知椭圆x 2 25 y2 91 上的点 M 到该椭圆一个焦点 F 的距离为 2，N 是 MF 的中点，O 为坐 标原点，那么线段 ON 的长是_. 考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 答案 4 解析 设椭圆的另一个焦点为 E，则|MF|ME|10， 又|MF|2， |ME|8，又 ON 为MEF 的中位线， |ON|1 2|ME|4. 11.已知 F1，F2是椭圆x 2 9 y2 71 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且AF1F245 ，则AF1F2 的面积为_. 考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 答案 7 2 解析 如图， 由x 2 9 y2 71， 知 a29，b27，c2
6、2. 所以 a3，b 7，c 2. 所以|F1F2|2 2. 设|AF1|x，则|AF2|6x. 因为AF1F245 ， 所以(6x)2x284 2x 2 2 .所以 x7 2. 所以 1 2 AF F S1 22 2 7 2 2 2 7 2. 三、解答题 12.求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在 y 轴上，焦距是 4，且经过点 M(3，2)； (2)ca513，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为 26. 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 解 (1)由焦距是 4 可得 c2， 且焦点坐标为(0，2)，(0，2). 由椭圆的定义知，2a 32222 32222
7、8， 所以 a4，所以 b2a2c216412. 又焦点在 y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 2 16 x2 121. (2)由题意知，2a26，即 a13， 又 ca513，所以 c5， 所以 b2a2c213252144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为 x2 169 y2 1441 或 y2 169 x2 1441. 13.已知椭圆 M 与椭圆 N：x 2 16 y2 121 有相同的焦点，且椭圆 M 过点 1，2 5 5 . (1)求椭圆 M 的标准方程； (2)设椭圆 M 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆 M 上，且PF1F2的面积为 1，求点 P 的
8、坐标. 考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 解 (1)由题意，知椭圆 N 的焦点为(2，0)，(2，0)， 设椭圆 M 的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 则 a2b24， 1 a2 4 5b21， 化简并整理得 5b411b2160， 故 b21 或 b216 5 (舍)，a25， 故椭圆 M 的标准方程为x 2 5y 21. (2)由(1)知 F1(2，0)，F2(2，0)， 设 P(x0，y0)，则PF1F2的面积为1 24|y0|1， 得 y0 1 2. 又x 2 0 5y 2 01，所以 x 2 015 4 ，x0 15 2 ， 所以点 P 有 4 个，它们的坐标
9、分别为 15 2 ，1 2 ， 15 2 ，1 2 ， 15 2 ，1 2 ， 15 2 ，1 2 . 14.已知 P 为椭圆x 2 25 y2 161 上的一点，M，N 分别为圆(x3) 2y21 和圆(x3)2y24 上 的点，则|PM|PN|的最小值为( ) A.5 B.7 C.13 D.15 考点 椭圆定义及其标准方程的应用 题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用 答案 B 解析 由题意知椭圆的两个焦点 F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM| |PN|的最小值为|PF1|PF2|127. 15.一动圆与已知圆 O1：(x3)2y21 外切，与圆 O2：(x3)2y281 内切，试求动圆圆心 的轨迹方程. 考点 与椭圆有关的轨迹方程 题点 与椭圆定义有关的轨迹方程 解 两定圆的圆心和半径分别为 O1(3，0)，r11；O2(3，0)，r29. 设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R， 则由题设条件可得|MO1|1R，|MO2|9R， |MO1|MO2|10.而|O1O2|610， 故由椭圆的定义知：M 在以 O1，O2为焦点的椭圆上， 且 a5，c3，b2a2c225916， 故动圆圆心的轨迹方程为x 2 25 y2 161.