1、第第 2 课时课时 用空间向量解决立体几何中的垂直问题用空间向量解决立体几何中的垂直问题 一、选择题 1.设直线 l1，l2的方向向量分别为 a(2， 2，1)，b(3， 2， m)， 若 l1l2， 则 m 等于( ) A.2 B.2 C.6 D.10 考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 方向向量与线线垂直 答案 D 解析 因为 ab，故 a b0， 即232(2)m0，解得 m10. 2.若平面 ， 的法向量分别为 a(1，2，4)，b(x，1，2)，并且 ，则 x 的值为 ( ) A.10 B.10 C.1 2 D. 1 2 考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决
2、面面垂直 答案 B 解析 因为 ，所以它们的法向量也互相垂直， 所以 a b(1，2，4) (x，1，2)0， 解得 x10. 3.已知点 A(0，1，0)，B(1，0，1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若 PA平面 ABC，则点 P 的坐标为( ) A.(1，0，2) B.(1，0，2) C.(1，0，2) D.(2，0，1) 考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直 答案 C 解析 由题意知AB (1，1，1)，AC(2，0，1)，AP(x，1，z)，又 PA平面 ABC， 所以有AB AP(1，1，1) (x，1，z)0，得x1z0， AC AP(2，0，1
3、) (x，1，z)0，得 2xz0， 联立得 x1，z2，故点 P 的坐标为(1，0，2). 4.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，若 E 为 A1C1的中点，则直线 CE 垂直于( ) A.AC B.BD C.A1D D.A1A 考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 方向向量与线线垂直 答案 B 解析 以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐 标系 Dxyz.设正方体的棱长为 1. 则 C(0，1，0)，B(1，1，0)，A(1，0，0)，D(0，0，0)，C1(0，1，1)，A1(1，0，1)，E 1 2， 1 2，1 ， CE
4、 1 2， 1 2，1 ，AC (1，1，0)， BD (1，1，0)，A1D (1，0，1)，A1A (0，0，1)， CE BD (1)1 2(1) 1 2 010， CEBD. 5.已知平面 内有一个点 A(2，1，2)， 的一个法向量为 n(3，1，2)，则下列点 P 中， 在平面 内的是( ) A.(1，1，1) B. 1，3，3 2 C. 1，3，3 2 D. 1，3，3 2 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 法向量求解线面垂直 答案 B 解析 要判断点 P 是否在平面 内，只需判断向量PA 与平面 的法向量 n 是否垂直，即PA n 是否为 0， 因此，要对各个选项进行检
5、验.对于选项 A，PA (1， 0，1)，则PA n(1，0，1) (3， 1，2)50，故排除 A；对于选项 B，PA 1，4，1 2 ，则PA n 1，4，1 2 (3，1，2) 0，故 B 正确；同理可排除 C，D.故选 B. 6.在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别在 A1D， AC 上， 且 A1E2 3A1D， AF 1 3AC， 则( ) A.EF 至多与 A1D，AC 中的一个垂直 B.EFA1D，EFAC C.EF 与 BD1相交 D.EF 与 BD1异面 考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 向量法解决线线垂直或平行 答案 B 解析 以 D 为坐标原
6、点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角 坐标系 Dxyz，设正方体的棱长为 1， 则 A1(1，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E 1 3，0， 1 3 ，F 2 3， 1 3，0 ，B(1，1， 0)，D1(0，0，1)， A1D (1，0，1)，AC (1，1，0)，EF 1 3， 1 3， 1 3 ，BD1 (1，1，1)， EF 1 3BD1 ，A1D EF 0，AC EF0， 从而 EFBD1，EFA1D，EFAC，故选 B. 7.两平面 ， 的法向量分别为 (3，1，z)，v(2，y，1)，若 ，则 yz 的值
7、是 ( ) A.3 B.6 C.6 D.12 考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法求解面面垂直 答案 B 解析 ， v0，即6yz0，即 yz6. 二、填空题 8.如图所示，在三棱锥 ABCD 中，DA，DB，DC 两两垂直，且 DBDC，E 为 BC 的中点， 则AE BC_. 考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 方向向量与线线垂直 答案 0 解析 因为 BEEC，故AE DE DA 1 2(DB DC )DA ，在三棱锥 ABCD 中， DA，DB，DC 两两垂直，且 DBDC， 故AE BC错误 错误! ! (错误错误! !错误错误! !) 1 2(DC 2DB2)
8、0. 9.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果AB (2，1，4)，AD (4，2， 0)，AP (1，2，1).对于结论：APAB；APAD；AP是平面 ABCD 的法向量. 其中正确的是_.(填序号) 考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 向量法解决线线垂直 答案 解析 AP AB(1，2，1) (2，1，4) 122(1)(1)(4)0， APAB，即正确. AP AD (1，2，1) (4，2，0) 1422(1)00. APAD，即正确. 又ABADA，AB，AD平面 ABCD， AP平面 ABCD， 即AP 是平面 ABCD 的一个法向量，正确. 10.
9、在ABC 中，A(1，2，1)，B(0，3，1)，C(2，2，1).若向量 n 与平面 ABC 垂直， 且|n| 21，则 n 的坐标为_. 考点 向量法求解线面垂直问题 题点 向量法求解线面垂直 答案 (2，4，1)或(2，4，1) 解析 据题意，得AB (1，1，2)，AC(1，0，2). 设 n(x，y，z)，n 与平面 ABC 垂直， n AB，0， n AC，0， 即 xy2z0， x2z0， 可得 y4z， x2z. |n| 21， x2y2z2 21， 解得 z1 或 z1. 当 z1 时，y4，x2；当 z1 时，y4，x2， 故 n(2，4，1)或(2，4，1). 三、解答题
10、 11.如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC 90 ，E 是 CD 的中点.证明：CD平面 PAE. 考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直 证明 如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角 坐标系 Axyz. 设 PAh，则 A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，5，0)，E(2，4，0)，P(0，0，h). 所以CD (4，2，0)，AE (2，4，0)，AP(0，0，h). 因为CD AE 8800，CD AP 0， 所以 CDAE，CD
11、AP， 而 AP，AE 是平面 PAE 内的两条相交直线， 所以 CD平面 PAE. 12.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABCD，PAAB1，AD 3， 点 F 是 PB 的中点， 点 E 在边 BC 上移动.求证： 无论点 E 在 BC 边的何处， 都有 PEAF. 考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 方向向量与线线垂直 证明 以 A 为坐标原点，AD，AB，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间 直角坐标系 Axyz， 则 A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，F 0，1 2， 1 2 ，D()3，0，0
12、 ， 设 BEx(0x 3)， 则 E(x，1，0)，PE AF(x，1，1) 0，1 2， 1 2 0， 所以当 x0， 3 时都有 PEAF，即无论点 E 在 BC 边的何处，都有 PEAF. 13.如图，在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 中，ABAC，PA平面 ABCD，且 PA AB，点 E 是 PD 的中点. 求证：(1)ACPB； (2)PB平面 AEC. 考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 方向向量与线线垂直 证明 (1)如图，以 A 为坐标原点，AC，AB，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系 Axyz， 设 ACa，PAb. 则有
13、A(0，0，0)，B(0，b，0)，C(a，0，0)，P(0，0，b)， AC (a，0，0)，PB(0，b，b). 从而AC PB0，ACPB. (2)由已知得 D(a，b，0)， E a 2， b 2， b 2 ，AE a 2， b 2， b 2 . 设平面 AEC 的一个法向量为 n， 则 nAC 且 nAE，可得 n(0，1，1). n PB 0，nPB. 又 PB平面 AEC，PB平面 AEC. 14.如图，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，E 是 CD 的中点，F 是 AD 上一点，当 BFPE 时，AFFD 等于( ) A.12 B.11 C.31 D.21 考点
14、向量法求解直线与直线的位置关系 题点 向量法解决线线垂直 答案 B 解析 解析 以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图 所示的空间直角坐标系 Axyz， 设正方形边长为 1，PAa， 则 B(1，0，0)，E 1 2，1，0 ，P(0，0，a) 设点 F 的坐标为(0，y，0)， 则BF (1，y，0)，PE 1 2，1，a . 因为 BFPE，所以BF PE0， 解得 y1 2，即点 F 的坐标为 0，1 2，0 ， 所以 F 为 AD 的中点，所以 AFFD11. 15.如图，已知 ABCDA1B1C1D1是棱长为 3 的正方体，点 E 在
15、 AA1上，点 F 在 CC1上，且 AEFC11. (1)求证：E，B，F，D1四点共面； (2)若点 G 在 BC 上， BG2 3， 点 M 在 BB1上， GMBF， 垂足为 H， 求证： ME平面 BCC1B1. 考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直 证明 (1)以 B 为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系 Bxyz， 则 B(0，0，0)， E(3，0，1)，F(0，3，2)，D1(3，3，3) 则BE (3，0，1)，BF(0，3，2)，BD 1 (3，3，3)， BD1 BE BF，故BD 1 ，BE ，BF共面. 又它们有公共点 B，E，B，F，D1四点共面. (2)设 M(0，0，z)，则GM 0，2 3，z ，而BF (0，3，2)， 由题设得GM BF 2 3 3z 20，得 z1. M(0，0，1)，E(3，0，1)，ME (3，0，0)， 又BB1 (0，0，3)，BC (0，3，0) ME BB1 0，ME BC 0， 从而 MEBB1，MEBC. 又 BB1BCB，BB1，BC平面 BCC1B1， 故 ME平面 BCC1B1.