1、第第 3 课时课时 椭圆中的定点椭圆中的定点、定值及定值及存在存在性问题性问题 1.已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)经过点 1， 2 2 ，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角 三角形. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右顶点 A 的两条斜率乘积为1 2的直线分别交椭圆于 M，N 两点，试问：直线 MN 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由. 考点 题点 解 (1)根据题意，得 bc， 1 a2 1 2b21， a2b2c2 a22， b21 x 2 2y 21. (2)当 MN 的斜率存在时，设 MN 的方程为 ykxm， 由 ykxm， x22y22，
2、得(12k2)x24kmx2m220， 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 82k2m210， x1x2 4km 12k2， x1x22m 22 12k2， 即 m20，y00)， 则PF1 (x0， 2y0)，PF2 (x0， 2y0)， PF1 PF2 x20(2y20)1， 点 P(x0，y0)在曲线上，则x 2 0 2 y20 41. x204y 2 0 2 ， 从而4y 2 0 2 (2y20)1，得 y0 2， 则点 P 的坐标为(1， 2). (2)证明 由(1)知 PF1x 轴，直线 PA，PB 斜率互为相反数， 设 PB 斜率为 k(k0)，则 PB 的直线方程为
3、y 2k(x1)， 由 y 2kx1， x2 2 y2 41， 得(2k2)x22k( 2k)x( 2k)240， 设 B(xB，yB)，则 xB2kk 2 2k2 1k 22 2k2 2k2 ， 同理可得 xAk 22 2k2 2k2 ， 则 xAxB4 2k 2k2， yAyBk(xA1)k(xB1) 8k 2k2， 所以直线 AB 的斜率 kAByAyB xAxB 2为定值. 3.已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ，短轴端点到焦点的距离为 2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 A，B 为椭圆 C 上任意两点，O 为坐标原点，且 OAOB.求证：原
4、点 O 到直线 AB 的距 离为定值，并求出该定值. 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线的综合问题 (1)解 由题意知，ec a 3 2 ， b2c22， 又 a2b2c2，所以 a2，c 3，b1， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4y 21. (2)证明 当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 的方程为 x 2 5 5 ， 此时，原点 O 到直线 AB 的距离为2 5 5 . 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2). 由 x2 4y 21， ykxm， 得(14k2)x28kmx4m240. 则 (8km)24
5、(14k2)(4m24)16(14k2m2)0， x1x2 8km 14k2， x1x24m 24 14k2， 则 y1y2(kx1m)(kx2m)m 24k2 14k2 ， 由 OAOB，得 x1x2y1y25m 244k2 14k2 0， 即 m24 5(1k 2)， 所以原点 O 到直线 AB 的距离为 |m| 1k2 2 5 5 ， 综上，原点 O 到直线 AB 的距离为定值2 5 5 . 4.中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有 M 1，4 2 3 ，N 3 2 2 ， 2 两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)在椭圆上是否存在点 P(x，y)到定点 A(a，0)(其中 00，mn
6、). 因为椭圆过 M，N 两点， 所以 m32 9 n1， 9 2m2n1 m1 9， n1 4， 所以椭圆方程为x 2 9 y2 41. (2)假设存在点 P(x，y)满足题设条件， 所以|AP|2(xa)2y2. 又因为x 2 9 y2 41，所以 y 24 1x 2 9 ， 所以|AP|2(xa)24 1x 2 9 5 9 x9 5a 244 5a 2. 因为|x|3，0a3，若9 5a3， 即当 03，即 5 3a3， 当 x3 时，|AP|2取得最小值，为(3a)2， 依题意(3a)21，解得 a4 或 a2， 因为 4 5 3，3 ，2 5 3，3 ，所以 a2. 此时 P 点的坐标是(3，0)， 故当 a2 时，存在这样的点 P 满足条件，P 点坐标为(3，0).