1、 4 用向量讨论垂直与平行用向量讨论垂直与平行 第第 1 课时课时 用空间向量解决立体几何中的平行问题用空间向量解决立体几何中的平行问题 一、选择题 1.若直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 ，则能使 l 的是( ) A.a(1，0，0)，(2，0，0) B.a(1，3，5)，(1，0，1) C.a(0，2，1)，(1，0，1) D.a(1，1，3)，(0，3，1) 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 D 解析 由 l，故 a，即 a 0，故选 D. 2.已知直线 l1的方向向量 a(2， 3， 5)， 直线 l2的方向向量 b(4， x， y)， 若两
2、直线 l1l2， 则 x，y 的值分别是( ) A.6 和10 B.6 和 10 C.6 和10 D.6 和 10 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 A 解析 由两直线 l1l2，得两向量 a，b 平行，即 2 4 3 x 5 y，所以 x，y 的值分别是 6 和 10. 3.设直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 b，若 a b0，则( ) A.l B.l C.l D.l 或 l 考点 题点 答案 D 解析 当 a b0 时，l 或 l. 4.已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面 ABC 的一个单位法向量是( ) A. 3
3、 3 ， 3 3 ， 3 3 B. 3 3 ， 3 3 ， 3 3 C. 3 3 ， 3 3 ， 3 3 D. 3 3 ， 3 3 ， 3 3 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 D 解析 AB (1，1，0)，AC(1，0，1). 设平面 ABC 的一个法向量为 n(x，y，z). AB n0 AC n0 xy0， xz0. 令 x1，则 y1，z1，n(1，1，1)， 单位法向量为n |n| 3 3 ， 3 3 ， 3 3 . 5.直线 l 的方向向量 s(1， 1， 1)， 平面 的一个法向量为 n(2， x2x， x)， 若直线 l， 则 x 的值为( )
4、A.2 B. 2 C. 2 D. 2 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 D 解析 依题意得，121(x2x)1(x)0， 解得 x 2. 6.已知平面 的法向量是(2，3，1)，平面 的法向量是(4，2)，若 ，则 的值是 ( ) A.10 3 B.6 C.6 D.10 3 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 B 解析 ， 的法向量与 的法向量也互相平行. 2 4 3 1 2，6. 7.已知平面 内两向量 a(1，1，1)，b(0，2，1)且 cmanb(4，4，1).若 c 为平 面 的法向量，则 m，n 的值分别为( ) A.1，2
5、 B.1，2 C.1，2 D.1，2 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 A 解析 cmanb(4，4，1)(m，m，m)(0，2n，n)(4，4，1)(m4，m2n 4，mn1)， 由 c 为平面 的法向量，得 c a0， c b0， 即 3mn10， m5n90， 解得 m1， n2. 二、填空题 8.已知 l， 且 l 的方向向量为 m(2， 8， 1)， 平面 的法向量为 n(1， y，2)， 则 y_. 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 1 2 解析 l，l 的方向向量 m(2，8，1)与平面 的法向量 n(1，y，2)垂直，
6、21 8y20，y1 2. 9.若 A 0，2，19 8 ，B 1，1，5 8 ，C 2，1，5 8 是平面 内三点，设平面 的法向量为 a (x，y，z)，则 xyz_. 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 23(4) 解析 由已知得，AB 1，3，7 4 ， AC 2，1，7 4 ， a 是平面 的一个法向量， a AB 0，a AC0， 即 x3y7 4z0， 2xy7 4z0， 解得 x2 3y， z4 3y， xyz2 3yy 4 3y 23(4). 10.设平面 的法向量为 m(1，2，2)，平面 的法向量为 n(2，4，k)，若 ， 则 k_. 考点
7、直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 4 解析 由 得 1 2 2 4 2 k ，解得 k4. 三、解答题 11.已知平面 经过点 A(1，2，3)，B(2，0，1)，C(3，2，0)，试求平面 的一个法向量. 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 解 A(1，2，3)，B(2，0，1)，C(3，2，0)， AB (1，2，4)，AC(2，4，3). 设平面 的法向量是 n(x，y，z)， 依题意有 n AC 0， n AB 0， 即 2x4y3z0， x2y4z0， 解得 z0， x2y， 令 y1，则 x2， 平面 的一个法向量是 n(2，1，0).
8、 12.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点.AB AP1，AD 3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面 ACE 的一个法向量. 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 解 因为 PA平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形， 所以 AB，AD，AP 两两垂直. 如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标 系 Axyz， 则 D(0， 3，0)，A(0，0，0)，E 0， 3 2 ，1 2 ，B(1，0，0)，C(1， 3，0)， 于是AE 0， 3 2 ，1
9、2 ，AC (1， 3，0). 设 n(x，y，z)为平面 ACE 的法向量， 则 n AC 0， n AE 0， 即 x 3y0， 3 2 y1 2z0， 所以 x 3y， z 3y， 令 y1，则 xz 3. 所以平面 ACE 的一个法向量为 n( 3，1， 3). 13.已知空间四边形 ABCD，P，Q 分别是ABC 和BCD 的重心，求证：PQ平面 ACD. 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 向量法求解线面平行 证明 如图，连接 AP 并延长交 BC 于点 E，连接 ED，易知 Q 在线段 ED 上， P，Q 分别是ABC 和BCD 的重心， PQ EQ EP 1 3ED 1
10、3EA 1 3(ED EA )1 3AD ， PQ AD ，即 PQAD， 又 AD平面 ACD，PQ平面 ACD， PQ平面 ACD. 14.已知直线 l 过点 P(1，0，1)且平行于向量 a(2，1，1)，平面 过直线 l 与点 M(1，2， 3)，则平面 的法向量不可能是( ) A.(1，4，2) B. 1 4，1， 1 2 C. 1 4，1， 1 2 D.(0，1，1) 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 D 解析 因为PM (0，2，4)，直线 l 平行于向量 a，若 n 是平面 的一个法向量，则必须满足 n a0 n PM 0， 把选项代入验证，只有选
11、项 D 不满足，故选 D. 15.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB3，AA14，AD5.求证：平面 A1BD平面 B1D1C. 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 向量法求解面面平行 证明 如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系 Dxyz， 则 D(0，0，0)，A1(5，0，4)， B(5，3，0)，D1(0，0，4)， B1(5，3，4)，C(0，3，0)， A1D (5，0，4)， A1B (0，3，4)， D1C (0，3，4)，B1C (5，0，4). 设平面 A1BD 的一个法向量为 m(x，y，z)， 则 mA1D ， mA1B ， 即 m A1D 5x4z0， m A1B 3y4z0. 取 z1，得 x4 5，y 4 3，则 m 4 5， 4 3，1 . 设平面 B1D1C 的一个法向量为 n(a，b，c)， 则 n D1C 0， n B1C 0， 得 n 4 5， 4 3，1 . mn，即 mn，平面 A1BD平面 B1D1C.