1、3 向量的坐标表示和空间向量基本定理向量的坐标表示和空间向量基本定理 3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量的标准正交分解与坐标表示 3.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 一、选择题 1.下列说法中不正确的是( ) A.只要空间的三个向量的模为 1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底 B.竖坐标为 0 的向量平行于 x 轴与 y 轴所确定的平面 C.纵坐标为 0 的向量都共面 D.横坐标为 0 的向量都与 x 轴上的基向量垂直 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 A 解析 单位正交基底除要求模为 1 外，还要求三个向量两两垂直. 2.在空间直角坐标系 O
2、xyz 中，下列说法中正确的是( ) A.向量AB 的坐标与点 B 的坐标相同 B.向量AB 的坐标与点 A 的坐标相同 C.向量AB 的坐标与向量OB 的坐标相同 D.向量AB 的坐标与OB OA 的坐标相同 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 D 3.已知点 O，A，B，C 为空间不共面的四点，且向量 aOA OB OC ，向量 bOA OB OC ，则与 a，b 不能构成空间基底的向量是( ) A.OA B.OB C.OC D.OA 或OB 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 C 解析 OC 1 2a 1 2b 且 a，b 不共线， a，b，OC 共面
3、，OC 与 a，b 不能构成一组空间基底. 4.已知 A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若OC 2 5AB ，则 C 的坐标是( ) A. 6 5， 4 5， 8 5 B. 6 5， 4 5， 8 5 C. 6 5， 4 5， 8 5 D. 6 5， 4 5， 8 5 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 A 解析 设点 C 坐标为(x，y，z)，则OC (x，y，z). 又AB (3，2，4)，OC 2 5AB ， x6 5，y 4 5，z 8 5. 5.a，b，c为空间的一个基底，且存在实数 x，y，z 使得 xaybzc0，则 x，y，z 的值分 别为(
4、) A.0，0，1 B.0，0，0 C.1，0，1 D.0，1，0 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 B 解析 若 x，y，z 中存在一个不为 0 的数，不妨设 x0，则 ay xb z xc，a，b，c 共面. 这与a，b，c是基底矛盾，故 xyz0. 6.设 a，b，c 是三个不共面向量，现从ab，abc 中选出一个使其与 a，b 构成空间 的一个基底，则可以选择的是( ) A.仅 B.仅 C. D.不确定 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 B 解析 对于，ab 与 a，b 共面， ab 与 a，b 不能构成空间的一个基底. 对于，abc 与
5、 a，b 不共面，abc 与 a，b 构成空间的一个基底. 7.设 OABC 是四面体，G1是ABC 的重心，G 是 OG1上的一点，且 OG3GG1，若OG xOA yOB zOC ，则(x，y，z)为( ) A. 1 4， 1 4， 1 4 B. 3 4， 3 4， 3 4 C. 1 3， 1 3， 1 3 D. 2 3， 2 3， 2 3 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 A 解析 如图所示，连接 AG1交 BC 于点 E，则点 E 为 BC 的中点， AE 1 2(AB AC)1 2(OB 2OA OC )， AG1 2 3AE 1 3(OB 2OA OC )， OG
6、3GG1 3(OG1 OG )， OG 3 4OG1 3 4(OA AG1 ) 3 4 OA 1 3OB 2 3OA 1 3OC 1 4OA 1 4OB 1 4OC ，故选 A. 二、填空题 8.设i，j，k是空间的一个单位正交基底，若 a2i4j5k，bi2j3k，则向量 a，b 的 坐标分别是_. 考点 空间向量的正交分解 题点 向量在单位正交基底下的坐标 答案 (2，4，5)，(1，2，3) 9.在四面体 OABC 中，OA a，OB b，OC c，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，则OE _.(用 a，b，c 表示) 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 答案 1
7、 2a 1 4b 1 4c 解析 OE OA 1 2AD OA 1 2 1 2(AB AC) OA 1 4(OB OA OC OA ) 1 2OA 1 4OB 1 4OC 1 2a 1 4b 1 4c. 10.如图， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 用AC ， AB 1 ， AD1 作为基向量， 则AC1 _. 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 答案 1 2(AD1 AB1 AC ) 解析 2AC1 2AA1 2AD 2AB (AA 1 AD )(AA1 AB )(AD AB )AD 1 AB1 AC ， AC1 1 2(AD1 AB1 AC ). 三、解答题 11.如
8、图所示，在正方体 OABCOABC中，OA a，OC b，OO c. (1)用 a，b，c 表示向量OB ，AC ； (2)设 G，H 分别是侧面 BBCC 和 OABC的中心，用 a，b，c 表示GH . 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 解 (1)OB OB BB OA OC OO abc. AC AC CC AB AO AA OC OO OA bca. (2)GH GO OH OG OH 1 2(OB OC )1 2(OB OO ) 1 2(OO OC )1 2(cb). 12.已知 ABCDA1B1C1D1是棱长为 2 的正方体，E，F 分别为 BB1和 DC 的中点，
9、建立如图 所示的空间直角坐标系，试写出DB1 ，DE ，DF 的坐标. 考点 空间向量的正交分解 题点 空间向量的坐标 解 设 x，y，z 轴的单位向量分别为 e1，e2，e3， 其方向与各轴的正方向相同， 则DB1 DA AB BB 1 2e12e22e3， DB1 (2，2，2). DE DA AB BE2e 12e2e3， DE (2，2，1).DF e2，DF (0，1，0). 13.在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别在 B1B 和 D1D 上， 且 BE1 3BB1， DF 2 3DD1. (1)证明：A，E，C1，F 四点共面； (2)若EF xAByAD
10、zAA1 ，求 xyz 的值. 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 (1)证明 因为AC1 AB AD AA1 AB AD 1 3AA1 2 3AA1 AB 1 3AA1 AD 2 3AA1 (AB BE)(AD DF )AE AF， 所以 A，E，C1，F 四点共面. (2)解 因为EF AFAEAD DF (AB BE) AD 2 3DD1 AB 1 3BB1 AB AD 1 3AA1 ， 所以 x1，y1，z1 3，所以 xyz 1 3. 14.已知在四面体 ABCD 中，AB a2c，CD 5a6b8c，AC，BD 的中点分别为 E，F， 则EF _. 考点 空间向量基底
11、的概念 题点 空间向量基本定理 答案 3a3b5c 解析 如图所示，取 BC 的中点 G， 连接 EG，FG， 则EF GF GE 1 2CD 1 2BA 1 2CD 1 2AB 1 2(5a6b8c) 1 2(a2c)3a3b5c. 15.在棱长为 1 的正方体 ABCDABCD中，E，F，G 分别为棱 DD，DC，BC 的中点，以AB ，AD ，AA 为基底，求下列向量的坐标. (1)AE ，AG ，AF ； (2)EF ，EG ，DG . 考点 空间向量的正交分解 题点 空间向量的坐标 解 (1)AE AD DE AD 1 2DD AD 1 2AA 0，1，1 2 ，AG AB BG AB 1 2AD 1，1 2，0 ， AF AA AD DF AA AD 1 2AB 1 2，1，1 . (2)EF AFAE AA AD 1 2AB AD 1 2AA 1 2AA 1 2AB 1 2，0， 1 2 ， EG AG AE AB 1 2AD AD 1 2AA AB 1 2AD 1 2AA 1，1 2， 1 2 ， DG AG AD AB 1 2AD AD AB 1 2AD 1，1 2，0 .