1、3.3 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 一、选择题 1.已知 a(1，2，1)，ab(1，2，1)，则 b 等于( ) A.(2，4，2) B.(2，4，2) C.(2，0，2) D.(2，1，3) 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 B 2.已知直线l的方向向量为a， 平面内两共点向量OA ， OB ， 下列关系中能表示l的是( ) A.aOA B.akOB C.apOA OB D.以上均不能 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 D 3.已知 a(1，5，2)，b(m，2，m2)，若 ab，则 m 的值为( ) A.0 B.6
2、 C.6 D. 6 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 B 解析 ab，1m522(m2)0，解得 m6. 4.已知 a(1，0，1)，b(2，1，1)，c(3，1，0)，则|ab2c|等于( ) A.3 10 B.2 10 C. 10 D.5 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 A 解析 ab2c(9，3，0)，|ab2c|3 10 . 5.已知向量 a(3，2，1)，b(2，4，0)，则 4a2b 等于( ) A.(16，0，4) B.(8，16，4) C.(8，16，4) D.(8，0，4) 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量
3、的坐标运算 答案 D 解析 4a2b4(3，2，1)2(2，4，0) (12，8，4)(4，8，0)(8，0，4). 6.已知向量 a(2x，1，3)，b(1，2y，9)，若 a 与 b 为共线向量，则( ) A.x1，y1 B.x1 2，y 1 2 C.x1 6，y 3 2 D.x1 6，y 3 2 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 C 解析 a(2x，1，3)与 b(1，2y，9)共线， 2x 1 1 2y 3 9(y0)， x1 6，y 3 2. 7.若 A(m1， n1， 3)， B(2m， n， m2n)， C(m3， n3， 9)三点共线， 则 mn 的
4、值为( ) A.0 B.1 C.1 D.2 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 A 解析 因为AB (m1， 1， m2n3)， AC(2， 2， 6)， 由题意得ABAC， 所以m1 2 1 2 m2n3 6 ， 所以 m0，n0，所以 mn0. 二、填空题 8.已知 a(2，3，0)，b(k，0，3)， a，b120 ，则 k_. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 39 解析 a b2k，|a| 13，|b|k29，且 k0， cos 120 2k 13 k29，k 39. 9.已知向量 a(1，2，3)，b(x，x2y2，y)，并且
5、a，b 同向，则 xy 的值为_. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 4 解析 由题意知 ab， 所以x 1 x2y2 2 y 3， 即 y3x， x2y22x， 把代入得 x2x20，即(x2)(x1)0， 解得 x2 或 x1. 当 x2 时，y6； 当 x1 时，y3. 当 x2， y6 时，b(2，4，6)2a， 向量 a，b 反向，不符合题意，所以舍去. 当 x1， y3 时，b(1，2，3)a， a 与 b 同向，所以 x1， y3， 此时 xy4. 10.已知 A(1，1，2)，B(5，6，2)，C(1，3，1)，则AB 在AC上的投影为_. 考点 空
6、间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 4 解析 AB (5，6，2)(1，1，2)(4，5，0)， AC (1，3，1)(1，1，2)(0，4，3)， AB 在AC方向上的投影为AB AC |AC | 4，5，0 0，4，3 5 4. 11.已知向量 a(5，3，1)，b 2，t，2 5 ，若 a 与 b 的夹角为钝角，则实数 t 的取值范 围为_. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 ，6 5 6 5， 52 15 解析 由已知得a b5(2)3t1 2 5 3t52 5 ， 因为a与b的夹角为钝角， 所以a b0， 即 3t52 5 0，所以 t5
7、2 15. 若 a 与 b 的夹角为 180 ，则存在 0，使 ab(0)， 即(5，3，1) 2，t，2 5 ， 所以 52， 3t， 12 5， 所以 t6 5， 故 t 的取值范围是 ，6 5 6 5， 52 15 . 三、解答题 12.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，DAB60 ，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，PO平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成角为 60 . (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积； (2)若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 解 (1
8、)四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，且DAB60 ， OAOC 3，BOOD1，S菱形ABCD1 222 32 3. 在 RtPOB 中，PBO60 ， POOB tan 60 3. VPABCD1 3S 菱形ABCD PO1 32 3 32. (2)如图，以 O 为坐标原点，OB，OC，OP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐 标系 Oxyz， 则 B(1，0，0)，C(0， 3，0)，D(1，0，0)，A(0， 3，0)，P(0，0， 3). E 1 2，0， 3 2 ， DE 3 2，0， 3 2 ，PA ( )0， 3， 3 . DE PA 003 2 ( 3)
9、3 2，|DE | 3，|PA | 6. cosDE ，PA DE PA |DE |PA | 3 2 3 6 2 4 . 异面直线所成的角为锐角或直角， 异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为 2 4 . 13.已知 a(1，5，1)，b(2，3，5). (1)当(ab)(a3b)时，求实数 的值； (2)当(a3b)(ab)时，求实数 的值. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 解 a(1，5，1)，b(2，3，5)， a3b(1，5，1)3(2，3，5)(1，5，1)(6，9，15)(7，4，16)，ab (1，5，1)(2，3，5)(，5，)(2，3，5)(2，5
10、3，5). (1)(ab)(a3b)， 2 7 53 4 5 16 ，解得 1 3. (2)(a3b)(ab)， (7，4，16) (2，53，5)0， 即 7(2)4(53)16(5)0，解得 106 3 . 14.已知三角形的顶点是 A(1，1，1)，B(2，1，1)，C(1，1，2).则这个三角形的面 积为_. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 101 2 解析 由题意得AB (1，2，2)，AC(2，0，3)， |AB | 1222223， |AC | 22032 13， AB AC(1，2，2) (2，0，3)264， cos AcosAB ，ACAB AC |AB |AC| 4 3 13 4 13 39 ， sin A 1cos2A 10113 39 ， SABC1 2|AB |AC|sin A101 2 . 15.已知 a，b，c 为正数，且 abc1，求证： 13a1 13b1 13c14 3. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 证明 设 m( 13a1， 13b1， 13c1)， n(1，1，1)，则|m|4，|n| 3， 由 m n|m|n|， 得 13a1 13b1 13c14 3. 当且仅当 1 13a1 1 13b1 1 13c1， 即 abc1 3时，取“”号.