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2020北师大版高中数学选修2-1《第三章 圆锥曲线与方程》章末检测试卷(含答案)

1、章末检测试卷章末检测试卷(三三) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.在平面直角坐标系中,“点 M 的坐标满足方程 4 xy0”是“点 M 在曲线 y216x 上” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点 曲线与方程的意义 题点 方程是否表示同一曲线 答案 A 解析 点 M 的坐标满足方程 4 xy0 化为 y216x(y0), “点 M 的坐标满足方程 4 xy0”是“点 M 在曲线 y216x 上”的充分不必要条件. 2.已知椭圆 M:x2y 2 4(0)经过

2、点(1,2),则 M 上一点到两焦点的距离之和为( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 答案 D 解析 由椭圆 M:x2y 2 4 经过点(1,2)可得 2, 即椭圆方程为x 2 2 y2 81,则 a2 2, 由椭圆的定义可知 M 上一点到两焦点的距离之和为 2a4 2. 3.已知双曲线x 2 9 y2 m1(m0)的一条渐近线的方程为 y 2 3x,则双曲线的焦距为( ) A. 13 B.10 C.2 13 D.2 5 考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 以离心率或渐近线为条件下的简单问题 答案 C 解析 由题意得 m 3 2 3,m4, 则

3、双曲线的焦距为 2 9m2 13. 4.已知点 M(3,y0)是抛物线 y22px(00)的左焦点为 F,离心率为 2.若经过 F 和 P(0,4)两点的直 线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( ) A.x 2 4 y2 41 B.x 2 8 y2 81 C.x 2 4 y2 81 D.x 2 8 y2 41 考点 由双曲线的简单性质求方程 题点 渐近线为条件求双曲线的方程 答案 B 解析 设双曲线的左焦点 F(c,0),离心率 ec a 2, 则双曲线为等轴双曲线,即 ab, 双曲线的渐近线方程为 y x, 经过 F 和 P(0,4)两点的直线斜率 k40 0c 4 c1,c4,

4、则 ab2 2, 双曲线方程为x 2 8 y2 81. 7.如图所示,双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F1作倾斜角为 30 的直线交双曲线右支于点 M,连接 MF2,若 MF2垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为( ) A. 6 B. 3 C. 2 D. 5 考点 双曲线的简单性质 题点 求双曲线的离心率 答案 B 解析 将 xc 代入双曲线的方程得 y b2 a, 即 M c,b 2 a , 在MF1F2中,tan 30 b2 a 2c,即 c2a2 2ac 3 3 , 解得 ec a 3(负值舍去). 8.我们把由半椭圆x 2 a2 y2 b

5、21(x0)与半椭圆 y2 b2 x2 c21(xbc0),如图所示,其中点 F0,F1,F2是相应椭圆的焦点.若F0F1F2是边长为 1 的等边三角形,则 a,b 的值分别为( ) A. 7 2 ,1 B. 3,1 C.5,3 D.5,4 考点 由椭圆方程研究简单性质 题点 由椭圆方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 答案 A 解析 |OF2| b2c21 2, |OF0|c 3|OF2| 3 2 , b1,a2b2c27 4, 得 a 7 2 ,即 a 7 2 ,b1. 9.设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|F1F2|PF2| 432,则曲线

6、 C 的离心率等于( ) A.2 3或 3 2 B.2 3或 2 C.1 2或 3 2 D.1 2或 2 考点 有关圆锥曲线的性质的应用 题点 与离心率有关的问题 答案 C 解析 设圆锥曲线的离心率为 e, 由|PF1|F1F2|PF2|432, 知若圆锥曲线为椭圆, 则由椭圆的定义,得 e |F1F2| |PF1|PF2| 3 42 1 2; 若圆锥曲线为双曲线,则由双曲线的定义, 得 e |F1F2| |PF1|PF2| 3 42 3 2. 综上,所求的离心率为1 2或 3 2.故选 C. 10.AB 为过椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则AF

7、B 面积的最大值 为( ) A.b2 B.ab C.ac D.bc 考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 答案 D 解析 由椭圆的对称性知,A,B 两点关于原点 O 对称, 因此 SAFB2SOFBc |yB|, 故当|yB|b 时,AFB 面积最大,最大面积为 bc. 11.已知直线 yk(x2)(k0)与抛物线 C:y28x 相交于 A,B 两点,F 为 C 的焦点,若|FA| 2|FB|,则 k 等于( ) A.1 3 B.2 2 3 C.2 3 D. 2 3 考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 与弦长有关的其他问题 答案 B 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 易知

8、 x10,x20,y10,y20. 由 ykx2, y28x, 得 k2x2(4k28)x4k20, 所以 x1x24, 根据抛物线的定义得, |FA|x1p 2x12,|FB|x22. 因为|FA|2|FB|,所以 x12x22, 由得 x21(x22 舍去), 所以 B(1,2 2),代入 yk(x2)得 k2 2 3 . 12.已知椭圆 C1:x 2 a2 y2 b21(ab0)与双曲线 C2:x 2y 2 41 有公共的焦点,C2 的一条渐近线 与以 C1的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1恰好将线段 AB 三等分,则( ) A.a213 2 B.a213 C.b21 2 D

9、.b22 考点 有关圆锥曲线的性质的应用 题点 圆锥曲线性质的简单应用 答案 C 解析 由题意,知 a2b25, 因此椭圆方程为(a25)x2a2y25a2a40, 双曲线的一条渐近线方程为 y2x, 联立方程消去 y,得(5a25)x25a2a40, 所以直线截椭圆的弦长 d 52 a45a2 5a25 2 3a, 解得 a211 2 ,b21 2. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.抛物线 y22px(p0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1,则 p_. 考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 求抛物线的焦点弦长 答案 2 解析 依题意,设抛物线的焦

10、点为 F,点 Q 的横坐标是 x0(x00), 则|QF|x0p 2的最小值是 p 21,则 p2. 14.过点 M(1,1)作斜率为1 3的直线 l,l 与椭圆 x2 a2 y2 b21(ab0)相交于 A,B 两点,若AM MB ,则椭圆的离心率为_. 考点 椭圆的离心率 题点 由 a 与 c 的关系式得离心率 答案 6 3 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2), AM MB , 则 x1x22,y1y22,y1y2 x1x2 1 3, 由x 2 1 a2 y21 b21, x22 a2 y22 b21 相减, 可得x1x2x1x2 a2 y1y2y1y2 b2 0, 可得 2 a

11、2 2 b2 1 3 0, a23b2,则 ec a 1 b a 2 6 3 . 15.已知动圆 P 与定圆 C:(x2)2y21 外切,又与定直线 l:x1 相切,那么动圆的圆心 P 的轨迹方程是_. 考点 与圆锥曲线有关的轨迹问题 题点 与圆锥曲线有关的轨迹问题 答案 y28x 解析 设 P(x,y),则动圆 P 在直线 x1 的左侧, 其半径等于 1x,则|PC|1x1, 即 x22y22x, y28x. 16.若等轴双曲线 C 的左顶点 A、右顶点 B 分别为椭圆 x2 a21y 21(a0)的左、右焦点,点 P 是双曲线上异于 A,B 的点,直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2

12、,则 k1k2_. 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线的综合问题 答案 1 解析 依题意,椭圆 x2 a21y 21(a0)的左、右焦点分别为 A(a,0),B(a,0), 所以分别以 A,B 为左、右顶点的等轴双曲线 C 的方程为 x2y2a2. 设双曲线上异于 A,B 的点 P 的坐标为(x,y), 则直线 PA,PB 的斜率分别为 k1 y xa,k2 y xa, 所以 k1k2 y xa y xa y2 x2a21. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)中心在原点,焦点在 x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1,F2,且|F1

13、F2| 2 13,椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为 4,离心率之比为 37,求这两条曲线的方 程. 考点 圆锥曲线的简单性质 题点 求圆锥曲线的方程 解 设椭圆的方程为x 2 a21 y2 b211(a1b10), 双曲线的方程为x 2 a22 y2 b221(a20,b20), 半焦距 c 13, 由已知,得 a1a24, c a1 c a237, 解得 a17,a23, 所以 b2136,b224, 所以两条曲线的方程分别为 x2 49 y2 361, x2 9 y2 41. 18.(12 分)已知椭圆x 2 4 y2 31 的左、 右焦点分别为 F1, F2, 一条直线 l 经过点 F

14、1与椭圆交于 A, B 两点. (1)求ABF2的周长; (2)若 l 的倾斜角为 4,求|AB|. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积 解 (1)由椭圆方程为x 2 4 y2 31, 可得 a2,b 3,c1. 由椭圆的定义,得|AF1|AF2|2a4, |BF1|BF2|2a4, 又|AF1|BF1|AB|, ABF2的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a8, ABF2的周长为 8. (2)由题意可知,F1(1,0), 直线 AB 的倾斜角为 4, 直线 AB 的斜率为 1, 故直线 AB 的方程为 yx1, 由 yx1, x2 4 y2 31, 整

15、理得 7y26y90. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由根与系数的关系, 可知 y1y26 7,y1 y2 9 7, |AB|1 1 k2 y1y2 24y 1y2 2 6 7 24 9 7 24 7 . 19.(12 分)已知抛物线 y22px(p0)上的点 T(3,t)到焦点 F 的距离为 4. (1)求 t,p 的值; (2)设A, B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点, 且OA OB 5(其中O为坐标原点).求证: 直线 AB 过定点,并求出该定点的坐标. 考点 抛物线中的定值、定点问题 题点 抛物线中的定点问题 解 (1)由抛物线的定义,得 3p 24,解得 p2, 所

16、以抛物线的方程为 y24x, 将点 T(3,t)代入,解得 t 2 3. (2)设直线 AB 的方程为 xmyn,A y21 4,y1 ,B y22 4,y2 , 联立 y24x, xmyn, 消去 x 得 y24my4n0, 则 y1y24m,y1y24n. 由OA OB 5,得y1y2 2 16 y1y25, 所以 y1y220 或 y1y24(舍去), 即4n20,即 n5, 所以直线 AB 的方程为 xmy5, 所以直线 AB 过定点(5,0). 20.(12 分)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ,点(2, 2)在 C 上. (1)求 C 的方程;

17、 (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A, B, 线段 AB 的中点为 M.证明: 直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 考点 题点 (1)解 由题意,得 a2b2 a 2 2 , 又点(2, 2)在 C 上,所以 4 a2 2 b21, 联立,可解得 a28,b24. 所以 C 的方程为x 2 8 y2 41. (2)证明 由题意知,直线 l 的斜率存在且不为 0. 设直线 l:ykxb(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 将 ykxb 代入x 2 8 y2 41, 得(2k21)x24kbx2b280.

18、故 xMx1x2 2 2kb 2k21,yMk xMb b 2k21. 所以直线 OM 的斜率 kOMyM xM 1 2k, 所以 kOM k1 2. 故直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 21.(12 分)已知直线 l 与抛物线 y28x 交于 A,B 两点,且线段 AB 恰好被点 P(2,2)平分. (1)求直线 l 的方程; (2)抛物线上是否存在点 C 和 D, 使得 C, D 关于直线 l 对称?若存在, 求出直线 CD 的方程; 若不存在,请说明理由. 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线的综合问题 解 (1)由题意可得直线 AB 的斜率存在,且

19、不为 0. 设直线 AB:x2m(y2), 代入抛物线方程可得 y28my16m160. 判别式 (8m)24(16m16)0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则有 y1y28m, 由 8m4,得 m1 2,代入判别式大于 0 成立. 所以直线 l 的方程为 2xy20. (2)假设 C,D 两点存在, 则可设 lCD:y1 2xn,与抛物线 y 28x 联立, 消去 y 得1 4x 2(n8)xn20, 其中 (n8)2n216n640, 则 n4.(*) 又 xCxD4(n8), 所以 CD 的中点为(2(n8),8),代入直线 l 的方程, 得 n19 2 ,不满足(*)式.

20、 所以满足题意的 C,D 两点不存在. 22.(12 分)从椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)上一点 M 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1,且它 的长轴的一个端点 A 与短轴的一个端点 B 的连线 AB 平行于 OM. (1)求椭圆的离心率; (2)设 Q 是椭圆上任一点,F2是椭圆的右焦点,求F1QF2的取值范围. 解 (1)依题意知 F1点坐标为(c,0), 设 M 点坐标为(c,y)(y0). 若 A 点坐标为(a,0),则 B 点坐标为(0,b), 则直线 AB 的斜率 kb a . A点坐标为a,0,B点坐标为0,b时,同样有kb a 则有 y c b a ,ybc

21、 a . 又点 M 在椭圆x 2 a2 y2 b21 上, c2 a2 y2 b21. 由得c 2 a2 1 2, c a 2 2 , 即椭圆的离心率为 2 2 . (2)当点 Q 与椭圆长轴的端点重合时,F1QF20. 当点 Q 与椭圆长轴的端点不重合时, 设|QF1|m,|QF2|n,F1QF2, 则 mn2a,|F1F2|2c. 在F1QF2中,cos m 2n24c2 2mn mn 22mn2a2 2mn a2 mn1 a2 mn 2 210. 故当点 Q 与椭圆长轴的端点不重合时, 当且仅当 mn 时,等号成立, 0cos 1,又(0,), 0, 2 . 综上,F1QF2的取值范围是 0, 2 .