1、阶段训练三阶段训练三(范围：范围： 1 6) 一、选择题 1.在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB BCCC 1 D1C1 等于( ) A.AD1 B.AC1 C.AD D.AB 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 A 解析 AB BCCC 1 D1C1 AC1 C1D1 AD1 . 2.已知a，b，c是空间的一个基底，若 pab，qab，则( ) A.a，p，q是空间的一个基底 B.b，p，q是空间的一个基底 C.c，p，q是空间的一个基底 D.p，q 与 a，b，c 中的任何一个都不能构成空间的一个基底 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案
2、C 解析 假设 ck1pk2q，其中 k1，k2R，即 ck1(ab)k2(ab)，得(k1k2)a(k1k2)b c0，这与a，b，c是空间的一个基底矛盾，故c，p，q是空间的一个基底，故选 C. 3.已知 a(3， 2， 3)， b(1， x1， 1)， 且 a 与 b 的夹角为钝角， 则 x 的取值范围是( ) A.(2，) B. 2，5 3 5 3， C.(，2) D. 5 3， 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 答案 B 解析 若两向量的夹角为钝角， 则 a b0， 且 a 与 b 不共线， 故 3(1)(2)(x1)( 3)10，且 x5 3，解得 x2，且 x 5
3、 3，故选 B. 4.已知向量 a(42m，m1，m1)与 b(4，22m，22m)平行，则 m 等于( ) A.0 B.1 C.1 或 3 D.3 考点 题点 答案 C 解析 当 22m0，即 m1 时，a(2，0，0)，b(4，0，0)，满足 ab； 当 22m0，即 m1 时， ab，42m 4 m1 22m，解得 m3. 综上可知，m3 或 m1. 5.已知棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1的上底面 A1B1C1D1的中心为 O1，则AO1 AC 的值 为( ) A.1 B.0 C.1 D.2 考点 空间向量数量积的概念与性质 题点 用定义求数量积 答案 C 解析 由于AO
4、1 AA1 A1O1 AA1 1 2(A1B1 A 1D1 )AA1 1 2(AB AD )，而AC ABAD ，则 AO1 AC AA1 1 2AB AD (AB AD )1 2(AB AD )21. 6.空间四边形 OABC 中，OBOC，AOBAOC 3，则 cosOA ，BC 的值为( ) A.1 2 B. 2 2 C.1 2 D.0 答案 D 解析 OBOC， cos OA ， BC OA BC |OA |BC | OA OC OB |OA | |BC | |OA |OC |cos 3|OA |OB |cos 3 |OA |BC | 0. 7.已知在三棱锥 SABC 中，底面 ABC
5、 为边长等于 2 的等边三角形，SA 垂直于底面 ABC， SA3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为( ) A. 3 4 B. 5 4 C. 7 4 D.3 4 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求线面角 答案 D 解析 如图，以 A 为坐标原点，分别以 AB，AS 所在直线为 x 轴，z 轴，建立空间直角坐标 系 Axyz， 易知 S(0，0，3)，B(2，0，0)，C(1， 3，0). 则BC (1， 3，0)，BS(2，0，3). 设平面 SBC 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n BC x，y，z 1， 3，00， n BS x，y，z 2，0，30，
6、 令 y 3， 得 n(3， 3，2)，又AB (2，0，0)， 设直线 AB 与平面 SBC 所成的角为 ， 则 sin |cosAB ，n|AB n| |AB |n| 6 2 16 3 4. 二、填空题 8.已知空间四点 A(0，3，5)，B(2，3，1)，C(4，1，5)，D(x，5，9)共面，则 x_. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共面向量定理及应用 答案 6 解析 A(0，3，5)，B(2，3，1)，C(4，1，5)，D(x，5，9)， AB (2，0，4)，AC(4，2，0)，AD (x，2，4). A，B，C，D 四点共面， 存在实数 ， 使得AD AB AC， (x，2
7、，4)(2，0，4)(4，2，0)， x24， 22， 44， 解得 x6. 9.在平行六面体(六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCDABCD中， AB1， AD2， AA3，BAD90 ，BAADAA60 ，则 AC的长为_. 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 答案 23 解析 因为AC AB AD AA ， 所以AC 2|AB|2|AD |2|AA |22AB AD 2AB AA 2AD AA 149212cos 90 213cos 60 223cos 60 23，即 |AC | 23.故 AC的长为 23. 10.(2018 安徽黄山高二检测)在空间直角坐标系 Oxy
8、z 中，A(0，1，0)，B(1，1，1)，C(0，2， 1)确定的平面记为 ，不经过点 A 的平面 的一个法向量为 n(2，2，2)，则 与 的关 系为_. 考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面平行 答案 平行 解析 由 n AB 0，n AC0， 故 n 也是平面 的一个法向量，又点 A 不在平面 内，故 . 11.已知 a(2，3，1)，b(2，1，3)，则以 a，b 为邻边的平行四边形的面积是_. 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 答案 6 5 解析 |a| 14，|b| 14，a b2(2)31(1)34，从而 cosa，b a b |a|b|
9、 4 14 2 7， sina，b 1 2 7 23 5 7 . 故以 a，b 为邻边的平行四边形的面积 S|a|b|sina，b143 5 7 6 5. 三、解答题 12.如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC90 ，BC2，CC14，点 E 在线段 BB1 上，且 EB11，D，F，G 分别为 CC1，C1B1，C1A1的中点. (1)求证：B1D平面 ABD； (2)求证：平面 EGF平面 ABD. 考点 空间向量在证明平行与垂直中的应用 题点 空间向量证明平行与垂直 证明 如图所示，以 B 为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空 间直角坐
10、标系 Bxyz，则 B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4). (1)设 BAa，则 A(a，0，0). 所以BA (a，0，0)，BD (0，2，2)，B1D (0，2，2). 所以B1D BA 0，B 1D BD 0440. 所以 B1DBA，B1DBD. 又 BABDB，BA，BD平面 ABD， 所以 B1D平面 ABD. (2)由题意及(1)，知 E(0，0，3)，G a 2，1，4 ，F(0，1，4)， 所以EG a 2，1，1 ，EF (0，1，1). 所以B1D EG 0220，B1D EF 0220. 所以 B1DEG，B1DEF. 又 EGEFE，EG，EF平面
11、 EGF， 所以 B1D平面 EGF. 由(1)，知 B1D平面 ABD， 故平面 EGF平面 ABD. 13.如图， 已知四棱锥 PABCD 的底面为直角梯形， ABDC， DAB90 ， PA底面 ABCD， 且 PAADDC1，AB2，M 是 PB 的中点. (1)证明：平面 PAD平面 PCD； (2)求 AC 与 PB 的夹角的余弦值； (3)求平面 ACM 与平面 BCM 夹角的余弦值. 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求平面与平面的夹角 (1)证明 如图，以 A 为坐标原点，以 AD，AB，AP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐 标系， 则 A(0，0，
12、0)，B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，M 0，1，1 2 . AP (0，0，1)，DC (0，1，0)， AP DC 0，APDC. 由题设知，ADDC， 又 APADA，AP，AD平面 PAD， DC平面 PAD. 又 DC平面 PCD，平面 PAD平面 PCD. (2)解 AC (1，1，0)，PB(0，2，1)， 故|AC | 2，|PB| 5，AC PB2， cosAC ，PBAC PB |AC |PB| 10 5 . 即 AC 与 PB 的夹角的余弦值为 10 5 . (3)解 在 MC 上取一点 N(x，y，z)，则存在 R， 使NC MC
13、 ，NC (1x，1y，z)，MC 1，0，1 2 ， x1，y1，z1 2. 要使 ANMC，只需NA MC 0， 即 x1 2z0，解得 4 5. 可知当 4 5时，点 N 的坐标为 1 5，1， 2 5 ，能使AN MC 0. 此时，AN 1 5，1， 2 5 ，BN 1 5，1， 2 5 ， 由BN MC 0 得 BNMC， 由AN MC 0 得 ANMC， ANB 为所求夹角的平面角. |AN |30 5 ，|BN |30 5 ，AN BN4 5， |cosAN ，BN|AN BN| |AN |BN| 2 3. 故平面 ACM 与平面 BCM 夹角的余弦值为2 3. 14.已知 P
14、为正方体 ABCDA1B1C1D1对角线 BD1上的一点，且 BPBD1(0，1). 下面结论： A1DC1P； 若 BD1平面 PAC，则 1 3； 若PAC 为钝角三角形，则 0，1 2 ； 若 2 3，1 ，则PAC 为锐角三角形. 其中正确的为_.(写出所有正确结论的序号) 考点 空间向量数量积的应用 题点 空间向量数量积的综合应用 答案 解析 如图所示， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 分别以 D1A1， D1C1， D1D 所在直线为 x， y， z 轴， 建立空间直角坐标系 D1xyz，设正方体的棱长为 1，P(x，y，z)， 则 A1(1，0，0)，B(1，1，1)，D
15、1(0，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1)，C(0，1， 1)， BPBD1(0，1)， BP BD 1 ， 易求 P(1，1，1). A1D (1，0，1)，C1P (1，1)， A1D C1P 0，正确； D1B (1，1，1)，AP (，1，)，若 BD 1平面 PAC，则AP D 1B (1)( )01 3，正确； 若PAC 为钝角三角形，则PA PC0(，1，) (1，)0，故正确. 15.如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，侧棱 A1A底面 ABCD，ABAC，AB1，ACAA1 2，ADCD 5，且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D
16、的中点. (1)求证：MN平面 ABCD； (2)求平面 ACD1与平面 ACB1夹角的正弦值； (3)设 E 为棱 A1B1上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为1 3，求线段 A1E 的长. 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求平面与平面的夹角 (1)证明 如图，以 A 为坐标原点，分别以 AC，AB，AA1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立 空间直角坐标系， 依题意可得 A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1， 2)，C1(2，0，2)，D1(1，2，2)， 又因为 M，N 分别为 B
17、1C 和 D1D 的中点， 得 M 1，1 2，1 ，N(1，2，1). 可得 n(0，0，1)为平面 ABCD 的一个法向量，MN 0，5 2，0 ，由此可得MN n0， 又因为直线 MN平面 ABCD，所以 MN平面 ABCD. (2)解 AD1 (1，2，2)，AC (2，0，0)， 设 n1(x，y，z)为平面 ACD1的一个法向量，则 n1 AD1 0， n1 AC 0， 即 x2y2z0， 2x0. 不妨设 z1，可得 n1(0，1，1). 设 n2(x，y，z)为平面 ACB1的一个法向量， 则 n2 AB1 0， n2 AC 0， 又AB1 (0，1，2)， 得 y2z0， 2x0， 不妨设 z1，可得 n2(0，2，1). 因此有 cosn1，n2 n1 n2 |n1|n2| 10 10 ， 于是 sinn1，n23 10 10 . 所以，平面 ACD1与平面 ACB1夹角的正弦值为3 10 10 . (3)解 依题意，可设A1E A1B1 ，其中 0，1， 则 E(0，2)，从而NE (1，2，1)，又 n(0，0，1)为平面 ABCD 的一个法向量， 由已知，得|cosNE ，n|NE n| |NE | |n| 1 122212 1 3， 整理得 2430， 又因为 0，1，解得 72， 所以线段 A1E 的长为 72.