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2020北师大版高中数学选修2-1《第二章 空间向量与立体几何》章末检测试卷(含答案)

1、章末检测试卷章末检测试卷(二二) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.与向量 a(1,3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A. 1 3,1,1 B. 1 2, 3 2,1 C. 1 2, 3 2,1 D.( 2,3,2 2) 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 B 2.已知 A(1,0,1),B(0,0,1),C(2,2,2),D(0,0,3),则 sinAB ,CD 等于( ) A.2 3 B.2 3 C. 5 3 D. 5 3 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案

2、 C 解析 因为AB (1,0,0),CD (2,2,1), 所以 cosAB ,CD 2 3, 所以AB ,CD 2, , 所以 sinAB ,CD 5 3 . 3.在正方体 ABCDA1B1C1D1中,底面 ABCD 的对角线交于点 O,且OA a,OB b,则BC 等 于( ) A.ab B.ab C.1 2ab D.2(ab) 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 A 解析 BC BO OC BO OA OA OB ab. 4.若向量 a 与 b 不共线,且 mab,nab,pa,则( ) A.m,n,p 共线 B.m 与 p 共线 C.n 与 p 共线 D.m,n

3、,p 共面 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 D 解析 (ab)(ab)2a,即 mn2p,即 p1 2m 1 2n,m 与 n 不共线,m,n,p 共 面. 5.设 a12mjk,a2m3j2k,a32mj3k,a43m2j5k,其中 m,j,k 是 两两垂直的单位向量,若 a4a1a2va3,则实数 ,v 的值分别是( ) A.1,2,3 B.2,1,3 C.2,1,3 D.1,2,3 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 B 解析 由题意知 a42mjkm3j2k2vmvj3vk3m2j5k, 所以 22v3, 3v2, 23v5, 解得 2, 1,

4、v3. 故选 B. 6.如图所示,BC4,原点 O 是 BC 的中点,点 A 3 2 ,1 2,0 ,点 D 在平面 yOz 上,且BDC 90 ,DCB30 ,则 AD 的长为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 D 解析 因为点 D 在平面 yOz 上,所以点 D 的横坐标为 0,又 BC4,原点 O 是 BC 的中点, BDC90 ,DCB30 ,所以点 D 的竖坐标 z4sin 30 sin 60 3,纵坐标 y (2 4sin 30 cos 60 ) 1 , 所 以D(0 , 1 ,3 ). 所 以 |AD| 3

5、 2 0 2 1 21 20 32 6.故选 D. 7.已知空间三点 O(0, 0, 0), A(1, 1, 0), B(0, 1, 1), 在直线 OA 上有一点 H 满足 BHOA, 则点 H 的坐标为( ) A.(2,2,0) B.(2,2,0) C. 1 2, 1 2,0 D. 1 2, 1 2,0 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 C 解析 由OA (1,1,0),且点 H 在直线 OA 上,可设 H(,0),则BH (,1, 1).又 BHOA,BH OA 0,即(,1,1) (1,1,0)0,即 10,解得 1 2,H 1 2, 1 2,0 ,故选 C

6、. 8.如图,在三棱锥 ABCD 中,ABACAD2,BAD90 ,BAC60 ,则AB CD 等 于( ) A.2 B.2 C.2 3 D.2 3 考点 空间向量数量积的概念与性质 题点 用定义求数量积 答案 A 解析 AB CD AB (AD AC )AB AD AB AC |AB |AD |cos 90 |AB |AC|cos 60 22cos 90 22cos 60 2. 9.若向量 a,b 满足:|a|1,(ab)a,(2ab)b,则|b|等于( ) A.2 B. 2 C.1 D. 2 2 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 答案 B 解析 (ab)a,a (ab)

7、0, a b|a|2. 同理 b (2ab)0,a b1 2|b| 2. 联立,得|a|21 2|b| 2. 又|a|1,|b| 2.故选 B. 10.在四棱锥 PABCD 中,AB (4,2,3),AD (4,1,0),AP (6,2,8),则这 个四棱锥的高 h 等于( ) A.1 B.2 C.13 D.26 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 答案 B 解析 设平面 ABCD 的法向量为 n(x,y,z), 则 n AB 0, n AD 0, 即 4x2y3z0, 4xy0. 不妨令 x3,则 y12,z4,可得 n(3,12,4), 四棱锥的高 h|AP n| |n|

8、 26 132. 11.在正方体 ABCDA1B1C1D1中,平面 A1BD 与平面 C1BD 夹角的余弦值为( ) A.1 2 B. 3 2 C. 3 3 D.1 3 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求面面夹角 答案 D 解析 如图,以点 D 为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角 坐标系, 设正方体的棱长为 1,则 A1(1,0,1),C(0,1,0),A(1,0,0),C1(0,1,1), A1C (1,1,1),AC1 (1,1,1). 易知 A1C平面 BC1D,AC1平面 A1BD. cosAC1 ,A1C 1 3, 平面 A1

9、BD 与平面 C1BD 夹角的余弦值为1 3. 12.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 翻折,使平面 ABD 与平面 BCD 的夹角为 90, 有如下四个结 论: ACBD;ACD 是等边三角形;直线 AB 与平面 BCD 所成的角为 60 ;AB 与 CD 所成的角为 60 .其中错误的结论是( ) A. B. C. D. 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求线面角 答案 C 解析 如图所示,以 O 为坐标原点,OD,OA,OC 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立 空间直角坐标系 Oxyz, 设正方形 ABCD 的边长为 2,则 D(1,0,0),B(1,0,0),

10、C(0,0,1),A(0,1,0), 所以AC (0,1,1),BD (2,0,0),AC BD 0, 故 ACBD,正确. 又|AC | 2,|CD | 2,|AD | 2, 所以ACD 为等边三角形,正确. 对于,OA 为平面 BCD 的一个法向量, cosAB ,OA AB OA |AB | |OA | 1,1,0 0,1,0 2 1 1 2 2 2 . 因为直线与平面所成的角的范围是0,90, 所以 AB 与平面 BCD 所成的角为 45 ,故错误. 又 cosAB ,CD AB CD |AB | |CD | 1,1,0 1,0,1 2 2 1 2. 因为异面直线所成的角为锐角或直角,

11、 所以 AB 与 CD 所成的角为 60 ,故正确. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中,若AC1 aAB 2bAD 3cA1A ,则 abc_. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 答案 1 6 解析 由平行六面体 ABCDA1B1C1D1,得AC1 AB AD AA1 ,又已知AC1 aAB 2bAD 3cA1A ,可得 a1,2b1,3c1,解得 a1,b1 2,c 1 3,所以 abc 1 6. 14.已知平面 的一个法向量为 n(1,1,0),则 y 轴与平面 所成的角的大小为_. 考点 空间

12、向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求线面角 答案 4 解析 y 轴的一个方向向量 s(0,1,0),cosn,s n s |n|s| 2 2 ,即 y 轴与平面 所成 角的正弦值是 2 2 ,故其所成的角的大小是 4. 15.如图所示,已知正四面体 ABCD 中,AE1 4AB,CF 1 4CD,则直线 DE 和 BF 所成角的 余弦值为_. 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求线线角 答案 4 13 解析 设正四面体棱长为 4, ED EA AD 1 4BA AD ,BF BCCFBC1 4CD , 所以 cosED ,BF ED BF |ED |BF | 1 4BA AD

13、 BC 1 4CD 1 4BA AD 2 BC 1 4CD 2 2002 13 13 4 13. 16.如图所示, 在直三棱柱 ABCA1B1C1中, 底面是以ABC 为直角的等腰三角形, AC2a, BB13a,D 是 A1C1的中点,点 E 在棱 AA1上,要使 CE平面 B1DE,则 AE_. 考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直 答案 a 或 2a 解析 以 B 为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的 空间直角坐标系, 则 A( 2a,0,0),B1(0,0,3a),C(0, 2a,0).设点 E 的坐标为( 2a

14、,0,z)(0z3a),则 CE ( 2a, 2a,z),B 1E ( 2a,0,z3a),由CE B 1E ,得 2a2z23az0,解得 z a 或 2a,即 AEa 或 2a. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)如图所示,在四棱锥 MABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧棱 AM 的 长为 3,且 AM 和 AB,AD 的夹角都是 60 ,N 是 CM 的中点,设 aAB ,bAD ,cAM , 试以 a,b,c 为基向量表示出向量BN ,并求 BN 的长. 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 解 BN BCCN AD

15、1 2CM AD 1 2(AM AC ) AD 1 2AM (AD AB )1 2AB 1 2AD 1 2AM . 所以BN 1 2a 1 2b 1 2c,|BN |2BN2 1 2a 1 2b 1 2c 2 1 4(a 2b2c22a b2a c2b c)17 4 . 所以|BN |17 2 ,即 BN 的长为 17 2 . 18.(12 分)已知空间内三点 A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5). (1)求以向量AB ,AC为一组邻边的平行四边形的面积 S; (2)若向量 a 与向量AB ,AC都垂直,且|a| 3,求向量 a 的坐标. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空

16、间向量的坐标运算 解 (1)AB (2,1,3),AC(1,3,2), cosBAC AB AC |AB |AC| 7 14 14 1 2, 又BAC0,180, BAC60 ,S|AB |AC|sin 60 7 3. (2)设 a(x,y,z),由 aAB ,得2xy3z0, 由 aAC ,得 x3y2z0, 由|a| 3,得 x2y2z23, xyz1 或 xyz1. a(1,1,1)或 a(1,1,1). 19.(12 分)如图所示,已知点 P 在正方体 ABCDABCD的对角线 BD上,PDA 60 . (1)求 DP 与 CC所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AADD 所成角的

17、大小. 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求线面角 解 (1)如图所示,以 D 为原点,DA ,DC ,DD 的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴正方向建立 空间直角坐标系,设 DA1. 则DA (1,0,0),CC (0,0,1). 连接 BD, BD, 在平面 BBDD 中, 延长 DP 交 BD于 H, 设DH (m, m,1)(m0), 由已知得DH ,DA 60 , 由DA DH |DA |DH |cosDH ,DA , 可得 2m 2m21,解得 m 2 2 , 所以DH 2 2 , 2 2 ,1 . 因为 cosDH ,CC 2 2 0 2 2 011 1 2 2

18、2 ,所以DH ,CC 45 , 即 DP 与 CC所成的角为 45 . (2)平面 AADD 的法向量是DC (0,1,0), 因为 cosDH ,DC 2 2 0 2 2 110 1 2 1 2, 所以DH ,DC 60 ,可得 DP 与平面 AADD 所成的角为 30 . 20.(12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,PG平面 ABCD,垂足 为 G,G 在 AD 上,且 PG4,AG1 3GD,BGGC,GBGC2,E 是 BC 的中点. (1)求异面直线 GE 与 PC 所成角的余弦值; (2)若 F 是棱 PC 上一点,且 DFGC,求PF FC的

19、值. 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求线线角 解 (1)如图,以 G 点为原点,GB,GC,GP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角 坐标系, 则 B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,4), 故 E(1,1,0),GE (1,1,0),PC (0,2,4). 因为 cosGE ,PC GE PC |GE |PC | 2 22 5 10 10 , 所以 GE 与 PC 所成角的余弦值为 10 10 . (2)因为GD 3 4BC 3 2, 3 2,0 , 所以 D 3 2, 3 2,0 . 设 F(0,y,z),则DF (0,y,z) 3 2, 3

20、2,0 3 2,y 3 2,z . 因为DF GC ,所以DF GC 0,即 3 2,y 3 2,z (0,2,0)2y30,所以 y 3 2. 又点 F 在 PC 上,所以PF PC,即 0,3 2,z4 (0,2,4),所以 z1,故 F 0,3 2,1 . 所以PF 0,3 2,3 ,FC 0,1 2,1 , 所以PF FC 3 5 2 5 2 3. 21.(12 分)如图所示, 在直角梯形 ABCD 中, ADC90 , CDAB, AB4, ADCD2, 点 M 为线段 AB 的中点,将ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC平面 ABC,得到几何体 D ABC,如图所示. (1)求证

21、:BC平面 ACD; (2)求平面 ACD 与平面 CDM 夹角的余弦值. 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求面面夹角 (1)证明 由已知可得 AC2 2,CAB45 ,在ABC 中,由余弦定理得 CB2 2,从而 AC2BC2AB2, ACBC. 平面 ADC平面 ABC,平面 ADC平面 ABCAC,BC平面 ACD. (2)解 取 AC 的中点 O,连接 DO,MO,由题意知 DO平面 ABC. O,M 分别是 AC,AB 的中点,OMBC, OMAC. 以 O 为坐标原点,以 OA,OM,OD 所在的直线分别为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直 角坐标系 Oxyz.

22、由(1)知,M(0, 2,0),C( 2,0,0),D(0,0, 2). CM ( 2, 2,0),CD ( 2,0, 2), 设平面 CDM 的法向量为 n(x,y,z),则有 n CM 0, n CD 0, 即 2x 2y0, 2x 2z0. 取 x1,得平面 CDM 的一个法向量为 n(1,1,1). 由题意知平面 ACD 的一个法向量为 m(0,1,0). cosm,n m n |m|n| 3 3 . 所以平面 ACD 与平面 CDM 夹角的余弦值为 3 3 . 22.(12 分)如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,AA1AD1,E 为 CD 的中点. (1)求证:B1EAD1

23、; (2)在棱 AA1上是否存在一点 P,使得 DP平面 B1AE?若存在,求 AP 的长;若不存在,说 明理由; (3)若平面 AB1E 与平面 A1B1E 夹角的大小为 30 ,求 AB 的长. 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求线面角 (1)证明 以 A 为原点,AB ,AD ,AA1 的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角 坐标系(如图). 设 ABa,则 A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E a 2,1,0 ,B1(a,0,1), 故AD1 (0,1,1),B1E a 2,1,1 ,AB1 (a,0,1),AE a 2,1,0

24、. AD1 B1E a 2011(1)10, B1EAD1. (2)解 假设在棱 AA1上存在一点 P(0,0,z0)(0z01),使得 DP平面 B1AE, 此时DP (0,1,z0). 设平面 B1AE 的法向量为 n(x,y,z). 则 nAB1 ,nAE ,得 axz0, ax 2 y0. 取 x1,得平面 B1AE 的一个法向量 n 1,a 2,a . 要使 DP平面 B1AE,只要 nDP ,即a 2az00, 解得 z01 2. 又 DP平面 B1AE, 存在点 P,使得 DP平面 B1AE,此时 AP1 2. (3)解 连接 A1D,B1C,由长方体 ABCDA1B1C1D1及 AA1AD1,得 AD1A1D. B1CA1D,AD1B1C, 又由(1)知 B1EAD1,且 B1CB1EB1,B1C,B1E平面 DCB1A1, AD1平面 DCB1A1, AD1 是平面 A1B1E 的一个法向量,且AD1 (0,1,1). 设AD1 与 n 所成的角为 , 则 cos nAD, |n| AD,| a 2a 21a 2 4 a2 平面 AB1E 与平面 A1B1E 夹角的大小为 30 , |cos |cos 30 ,即 3a 2 215a 2 4 3 2 . 解得 a2,即 AB 的长为 2.