1、 4 用向量讨论垂直与平行用向量讨论垂直与平行 第第 1 课时课时 用空间向量解决立体几何中的平行问题用空间向量解决立体几何中的平行问题 学习目标 1.了解空间点、线、面的向量表示.2.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、 平面与平面的平行问题. 知识点一 空间中平行关系的向量表示 设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 ， 的法向量分别为 ，v，则 线线平行 lmabakb(kR) 线面平行 laa 0 面面平行 vkv(kR) 知识点二 利用空间向量处理平行问题 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问 题中涉及的点、直线、平面，把立体几何
2、问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研 究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论. 知识点三 平面的法向量及其求法 在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为 n(x，y，z)； (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)； (3)根据法向量的定义建立关于 x，y，z 的方程组 n a0， n b0； (4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量. 1.若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反.( ) 2.两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直
3、线垂直.( ) 3.若向量 n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行.( ) 4.若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行.( ) 题型一 求平面的法向量 例 1 已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(2，1，0)，B(0，2，3)，C(1，1，3)，试求出 平面 ABC 的一个法向量. 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 解 设平面 ABC 的法向量为 n(x，y，z). A(2，1，0)，B(0，2，3)，C(1，1，3)， AB (2，1，3)，BC(1，1，0). 则有 n AB 0 n BC 0， 即 2xy3
4、z0， xy0， 解得 x3z， xy. 令 z1，则 xy3. 故平面 ABC 的一个法向量为 n(3，3，1). 反思感悟 利用方程的思想求解平面的法向量，注意一个平面的法向量不是唯一的，它有无 数个，它们是共线的. 跟踪训练 1 如图所示，在四棱锥 SABCD 中，底面是直角梯形，ADBC，ABC90 ， SA底面 ABCD， 且 SAABBC1， AD1 2， 建立适当的空间直角坐标系， 分别求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法向量. 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 解 以 A 为坐标原点，AD，AB，AS 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图
5、所示的空间 直角坐标系 Axyz， 则 A(0，0，0)，D 1 2，0，0 ，C(1，1，0)，S(0，0，1)， 则DC 1 2，1，0 ，DS 1 2，0，1 . 向量AD 1 2，0，0 是平面 SAB 的一个法向量. 设 n(x，y，z)为平面 SDC 的一个法向量， 则 n DC 1 2xy0， n DS 1 2xz0， 即 y1 2x， z1 2x. 取 x2，得 y1，z1， 故平面 SDC 的一个法向量为(2，1，1). 题型二 利用空间向量证明平行问题 例 2 已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E，F 分别是 BB1，DD1的中点，求证： (1)FC1平面
6、ADE； (2)平面 ADE平面 B1C1F. 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 向量法求解面面平行 证明 (1)以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示 空间直角坐标系 Dxyz，则有 D(0，0，0)， A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)， E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)， 所以FC1 (0，2，1)，DA (2，0，0)，AE (0，2，1). 设 n1(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量， 则 n1DA ，n1AE ， 即 n1 DA 2x10， n1 AE 2y 1z10，
7、得 x10， z12y1， 令 z12，则 y11， 所以 n1(0，1，2). 因为FC1 n1220， 所以FC1 n1. 又因为 FC1平面 ADE， 所以 FC1平面 ADE. (2)因为C1B1 (2， 0， 0)， 设 n 2(x2， y2， z2)是平面 B1C1F 的一个法向量.由 n2FC1 ， n2C1B1 ， 得 n2 FC1 2y2z20， n2 C1B1 2x 20， 得 x20， z22y2. 令 z22，得 y21， 所以 n2(0，1，2)， 因为 n1n2， 所以平面 ADE平面 B1C1F. 反思感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线
8、的方向向量和平 面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题. 跟踪训练 2 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，PB 与底面所成的角为 45 ， 底面 ABCD 为直角梯形，ABCBAD90 ，PABC1 2AD1，问在棱 PD 上是否存在 一点 E，使 CE平面 PAB？若存在，求出 E 点的位置；若不存在，请说明理由. 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 向量法求解线面平行 解 存在点 E 使 CE平面 PAB. 以 A 为坐标原点， 分别以 AB， AD， AP 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 Axyz， P(0，0，1)，C(1，1，
9、0)，D(0，2，0)， 设 E(0，y，z)，则PE (0，y，z1)，PD (0，2，1)， PE PD ，y 2 z1 1 ，(*) AD (0，2，0)是平面 PAB 的法向量， 又CE (1，y1，z)，CE平面 PAB， CE AD ，(1，y1，z) (0，2，0)0. y1，代入(*)得 z1 2， E 是 PD 的中点， 存在 E 点，当点 E 为 PD 中点时，CE平面 PAB. 面面平行有探究 典例 如图所示，在正方体 AC1中，O 为底面 ABCD 中心，P 是 DD1的中点，设 Q 是 CC1 上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ平面 PAO. 考点 向
10、量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面平行 解 如图所示，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，在 CC1 上任取一点 Q，连接 BQ，D1Q. 设正方体的棱长为 1， 则 O 1 2， 1 2，0 ，P 0，0，1 2 ，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)， 设 Q(0，1，z)， 则OP 1 2， 1 2， 1 2 ，BD1 (1，1，1)， BD1 2OP ，OP BD1 ， OPBD1.AP 1，0，1 2 ，BQ (1，0，z)， 当 z1 2时，AP BQ ， 即 APBQ，又 APOPP，BQBD1B， 则有平面
11、 PAO平面 D1BQ， 当 Q 为 CC1的中点时，平面 D1BQ平面 PAO. 素养评析 (1)求点的坐标：可设出对应点的坐标，根据面面平行的判定定理转化为向量共 线问题或者利用两个平面的法向量共线，进而建立与所求点的坐标有关的等式. (2)由结论推应具备的条件的逆向推理是逻辑推理中的一种基本形式，通过应用推理的方式与 方法，能较好的培养学生的合乎逻辑的思维品质. 1.已知 l1的方向向量为 v1(1， 2， 3)， l2的方向向量为 v2(， 4， 6)， 若 l1l2， 则 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 B
12、 解析 由 l1l2，得 v1v2，得1 2 4 3 6，故 2. 2.已知直线 l1，l2的方向向量分别为 a，b，且 a(1，0，2)，b(6，21，2)，若 l1l2， 则 与 的值可以分别是( ) A.2，1 2 B.1 3， 1 2 C.3，2 D.2，2 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 A 解析 由题意知 1 6 2 2， 210， 解得 2， 1 2 或 3， 1 2. 3.若 A(1，0，1)，B(1，4，7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为( ) A.(1，2，3) B.(1，3，2) C.(2，1，3) D.(3，2，1) 考点
13、 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 A 解析 因为AB (2，4，6)，所以与AB共线的非零向量都可以作为直线 l 的方向向量. 4.若直线 l，且 l 的方向向量为(2，m，1)，平面 的法向量为 1，1 2，2 ，则 m 为( ) A.4 B.6 C.8 D.8 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 C 解析 l，平面 的法向量为 1，1 2，2 ，(2，m，1) 1，1 2，2 0， 21 2m20，m8. 5.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，平面 ACD1的一个法向量为_. 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法
14、向量 答案 (1，1，1)(答案不唯一) 解析 不妨设正方体的棱长为 1，以点 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，则 A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)， 设平面 ACD1的一个法向量 a(x，y，z)， 则 a AC 0， a AD 1 0. 因为AC (1，1，0)，AD 1 (1，0，1)， 所以 1 x1 y0 z0， 1 x0 y1 z0， 所以 xy0， xz0， 所以 xy， xz， 不妨取 x1， 则 a(1，1，1). (注：答案不唯一，只要与所给答案共线都对) 1.应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线. (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明 线面平行. 2.证明面面平行的方法 设平面 的法向量为 n1(a1，b1，c1)，平面 的法向量为 n2(a2，b2，c2)，则 n1n2 (a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR).