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2.1 从平面向量到空间向量 学案(含答案)

1、 1 从平面向量到空间向量从平面向量到空间向量 学习目标 1.理解空间向量的概念.2.了解空间向量的表示法,了解自由向量的概念.3.理解空 间向量的夹角.4.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念. 知识点一 空间向量的概念 1.定义:在空间中,把既有大小又有方向的量,叫作空间向量. 2.长度:空间向量的大小叫作向量的长度或模. 3.表示法 (1)几何表示法:空间向量用有向线段表示. (2)字母表示法:用字母表示,若向量 a 的起点是 A,终点是 B,则向量 a 也可以记作AB ,其 模记为|AB |或|a|. 4.自由向量:数学中所讨论的向量与向量的起点无关,称之为自由向量. 知识点二 空间

2、向量的夹角 1.文字叙述:a,b 是空间中两个非零向量,过空间任意一点 O,作OA a,OB b,则AOB 叫作向量 a 与向量 b 的夹角,记作a,b. 2.图形表示 角度 表示 a,b0 a,b是锐角 a,b是直角 a,b是钝角 a,b 3.范围:0a,b. 4.空间向量的垂直:如果a,b 2,那么称 a 与 b 互相垂直,记作 ab. 知识点三 向量与直线、平面 1.向量与直线 与平面向量一样,也可用空间向量描述空间直线的方向.如图所示. l 是空间一直线,A,B 是直线 l 上任意两点,则称AB 为直线 l 的方向向量,显然,与AB平行 的任意非零向量 a 也是直线 l 的方向向量,直

3、线的方向向量平行于该直线. 2.向量与平面 如图,如果直线 l 垂直于平面 ,那么把直线 l 的方向向量 a 叫作平面 的法向量. 题型一 有关空间向量的概念的理解 例 1 给出以下结论: 两个空间向量相等,则它们的起点和终点分别相同;若空间向量 a,b 满足|a|b|,则 a b;在正方体 ABCDA1B1C1D1中,必有AC A 1C1 ;若空间向量 m,n,p 满足 mn, np,则 mp.其中不正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 B 解析 两个空间向量相等,它们的起点、终点不一定相同,故不正确;若空间向量

4、 a,b 满足|a|b|,则不一定能判断出 ab,故不正确;在正方体 ABCDA1B1C1D1中,必有AC A1C1 成立,故正确;显然正确.故选 B. 反思感悟 在空间中,向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一 致,两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同,模相等.两向量互为相反向量的充要条件 是大小相等,方向相反. 跟踪训练 1 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中,下列四对向量: AB 与C 1D1 ;AC1 与BD1 ;AD1 与C1B ;A1D 与B1C .其中互为相反向量的有 n 对,则 n 等 于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 考点 空间向量的相

5、关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 B 解析 对于AB 与C 1D1 , AD1 与C1B 长度相等, 方向相反, 互为相反向量; 对于AC1 与BD1 长度相等,方向不相反;对于A1D 与B1C 长度相等,方向相同.故互为相反向量的有 2 对. 题型二 求空间向量的夹角 例 2 如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,求下列各对向量的夹角: (1)AB ,A 1C1 ; (2)AB ,C 1A1 ; (3)AB ,A 1D1 . 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 解 (1)由题意知,A1C1 AC , AB ,A 1C1 AB ,AC. 又CAB 4

6、,故AB ,A 1C1 4. (2)AB ,C 1A1 AB ,A 1C1 4 3 4 . (3)由题意知,A1D1 AD ,AB ,A 1D1 AB ,AD 2. 引申探究 在本例中,求AB1 ,DA1 . 解 如图,连接 B1C,则 B1CA1D,且DA1 CB1 ,连接 AC, 在ACB1中, 因为 ACAB1B1C, 故AB1C 3, AB1 ,DA1 AB1 ,CB1 3. 反思感悟 求解空间向量的夹角,要充分利用原几何图形的性质,把空间向量的夹角转化为 平面向量的夹角,要注意向量方向. 跟踪训练 2 如图,在正四面体 ABCD 中, AB ,CD 的大小为( ) A. 4 B. 3

7、 C. 2 D. 6 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 答案 C 解析 取 AB 的中点 O,连接 OC,OD, 易得 OCAB,ODAB. OCODO,OC,OD平面 OCD, AB平面 OCD,又 CD平面 OCD,ABCD. 得AB ,CD 2. 题型三 直线的方向向量与平面法向量的理解 例 3 已知正四面体 ABCD. (1)过点 A 作出方向向量为BC 的空间直线; (2)过点 A 作出平面 BCD 的一个法向量. 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 解 (1)如图,过点 A 作直线 AEBC,由直线的方向向量的定义可知,直线 AE

8、即为过点 A 且方向向量为BC 的空间直线. (2)如图,取BCD 的中心 O,由正四面体的性质可知,AO 垂直于平面 BCD,故向量AO 可 作为平面 BCD 的一个法向量. 反思感悟 1.直线的方向向量有无数个,但一定为非零向量;平面的法向量也有无数个,它 们互相平行. 2.给定空间中任意一点 A 和非零向量 a,可以确定:(1)唯一一条过点 A 且平行于向量 a 的直 线;(2)唯一一个过点 A 且垂直于向量 a 的平面. 跟踪训练 3 如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,P 是 DD1的中点,以 C1为起点,指出直 线 AP 的一个方向向量. 考点 直线的方向向量与平面的法向量

9、 题点 求直线的方向向量 解 取 BB1中点 Q,C1C 中点 M,连接 C1Q,BM,PM, 则 PMAB,且 PMAB. 所以四边形 APMB 为平行四边形, 所以 APBM,且 APBM. 又在四边形 BQC1M 中,BQC1M,且 BQC1M, 所以四边形 BQC1M 为平行四边形, 所以 BMC1Q,且 BMC1Q, 所以 APC1Q,故C1Q 为直线 AP 的一个方向向量. 1.下列说法正确的是( ) A.如果两个向量不相等,那么它们的长度不相等 B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小 C.向量模的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 考点 空间向量的相关概念及其

10、表示方法 题点 相等、相反向量 答案 D 解析 两个向量不相等,但它们的长度可能相等,A 不正确;任何两个向量,不论同向还是 不同向均不存在大小关系,B 不正确;向量模的大小只与其长度有关,与方向没有关系,C 不正确.由于向量的模是一个实数,故可以比较大小,只有 D 正确. 2.如图,在四棱柱的上底面 ABCD 中,AB DC ,则下列向量相等的是( ) A.AD 与CB B.OA 与OC C.AC 与DB D.DO 与OB 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 D 解析 因为AB DC ,所以四边形 ABCD 为平行四边形.所以DO OB ,AD BC ,OA C

11、O . 3.在正四面体 ABCD 中, O 为平面 BCD 的中心, 连接 AO, 则AO 是平面 BCD 的一个_ 向量. 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 法 解析 由四面体 ABCD 为正四面体,易知 AO面 BCD,故OA 是平面 BCD 的一个法向量. 4.在直三棱柱 ABCA1B1C1中,以下向量可以作为平面 ABC 法向量的是_.(填序号) AB ;AA 1 ;B1B ;A1C1 . 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 5. 如图,在长方体 ABCDABCD中,AB3,AD2,AA1,则分别以长方体 的顶点为起点和终点的向

12、量中: (1)单位向量共有多少个? (2)试写出模为 5的所有向量; (3)试写出与向量AB 相等的所有向量; (4)试写出向量AA 的所有相反向量. 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的定义与模 解 (1)由于长方体的高为 1, 所以长方体的四条高所对应的向量AA , AA , BB , BB , CC ,CC ,DD ,DD ,共 8 个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为 1,故单位 向量共有 8 个. (2)由于长方体的左右两侧面的对角线长均为 5,故模为 5的向量有AD ,DA ,AD , DA ,BC ,CB ,BC ,CB . (3)与向量AB 相等的所有向量(除它自身之外)有AB ,DC ,DC . (4)向量AA 的相反向量有AA ,BB ,CC ,DD . 1.在空间中, 一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面: 一是该向量为非零向量; 二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 2.给定空间中任意一点 A 和非零向量 a,就可以确定唯一一条过点 A 且平行于向量 a 的直线.