1、第第 2 课时课时 直线与椭圆直线与椭圆 学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单性质.2.掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系等知识.3. 会判断直线与椭圆的位置关系. 知识点一 点与椭圆的位置关系 点 P(x0，y0)与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的位置关系： 点 P 在椭圆上x 2 0 a2 y20 b21； 点 P 在椭圆内部x 2 0 a2 y20 b21. 知识点二 直线与椭圆的位置关系 直线 ykxm 与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的位置关系的判断方法：联立 ykxm， x2 a2 y2 b21. 消去 y 得到一个关于 x 的一元二次方程. 直线与椭圆的位置关系
2、、对应一元二次方程解的个数及 的取值的关系如表所示. 位置关系 解的个数 的取值 相交 两解 0 相切 一解 0 相离 无解 b0)相交，两个交点为 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则线段 AB 叫作直线 l 截椭圆所得的弦，线段 AB 的长度叫作弦长.弦长公式：|AB| 1k2 x1x224x1x2，其中 x1x2与 x1x2均可由根与系数的关系得到. 1.若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大.( ) 2.直线x 2y1 被椭圆 x2 4y 21 截得的弦长为 5.( ) 3.已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)与点 P(b，0)，过点 P 可作出该椭圆的一条切线
3、.( ) 4.直线 yk(xa)与椭圆x 2 a2 y2 b21 的位置关系是相交.( ) 题型一 直线与椭圆的位置关系问题 命题角度 1 由直线与椭圆的位置关系求参问题 例 1 已知直线 l：y2xm，椭圆 C：x 2 4 y2 21.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C： (1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点？ 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题 解 直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组 y2xm， x2 4 y2 21， 将代入，整理得 9x28mx2m240， 这个关于 x 的一元二次方程的判别式 (8m)
4、249(2m24)8m2144. (1)由 0，得3 2b0) 上的两个不同的点， M(x0， y0)是线段 AB 的中点， x21 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21， 由，得 1 a2(x 2 1x 2 2) 1 b2(y 2 1y 2 2)0，变形得y 1y2 x1x2 b2 a2 x1x2 y1y2 b2 a2 x0 y0，即 kAB b2x0 a2y0. 跟踪训练 3 椭圆 ax2by21 与直线 xy10 相交于 A，B 两点，C 是线段 AB 的中点， O 为坐标原点，若|AB|2 2，直线 OC 的斜率为 2 2 ，求椭圆的方程. 考点 直线与椭圆的位置关系
5、题点 直线与椭圆相交时弦中点问题 解 易知 a0，b0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则由题意得 ax21by211， ax22by221， ，得 a(x1x2)(x2x1)b(y2y1)(y2y1)0. y2y1 x2x1kAB1， y2y1 x2x1kOC 2 2 ， b 2a. 又|AB|1k2AB|x2x1| 2|x2x1|2 2， |x2x1|2. 由 ax2by21， xy1， 得(ab)x22bxb10， x1x2 2b ab，x1x2 b1 ab， |x2x1|2(x1x2)24x1x2 2b ab 24 b1 ab4， 将 b 2a 代入上式，得 a1 3，b 2
6、 3 ， 所求椭圆的方程为x 2 3 2 3 y21. 题型三 与椭圆有关的最值或范围问题 例 4 已知椭圆 C：4x2y21. (1)P(m，n)是椭圆 C 上一点，求 m2n2的取值范围； (2)设直线 yxm 与椭圆 C 相交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点， 求AOB 面积的最大值及AOB 面积最大时的直线方程. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题 解 (1)m2n2表示原点 O 到椭圆 C 上点 P 的距离的平方， 则 m2n2 1 4，1 . (2)可求得 O 到 AB 的距离 d|m| 2， 将 yxm 代入 4x2y21， 消去
7、y 得 5x22mxm210. 所以 x1x22m 5 ，x1x2m 21 5 ， |AB| 1k2 x1x224x1x2 112 2m 5 24 m21 5 2 5 108m2， (2m)245(m21)2016m20， 5 2 b0)，过点 A(a，0)，B(0，b)的直线倾斜角为 6，原点 到该直线的距离为 3 2 . (1)求椭圆的方程； (2)斜率大于零的直线过 D(1， 0)与椭圆分别交于点 E， F， 若ED 2DF ， 求直线 EF 的方程； (3)对于 D(1， 0)， 是否存在实数 k， 使得直线 ykx2 分别交椭圆于点 P， Q， 且|DP|DQ|， 若存在，求出 k
8、的值，若不存在，请说明理由. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 求椭圆中的直线方程 解 (1)由b a 3 3 ，1 2ab 1 2 3 2 a2b2， 得 a 3，b1， 所以椭圆的方程是x 2 3y 21. (2)设 EF：xmy1(m0)代入x 2 3y 21， 得(m23)y22my20. 设 E(x1，y1)，F(x2，y2). 由ED 2DF ，得 y12y2， 由 y1y2y2 2m m23，y1y22y 2 2 2 m23得 2m m23 2 1 m23， m1 或 m1(舍去)， 直线 EF 的方程为 xy1，即 xy10. (3)记 P(x1，y1)，Q(x2，y2). 将
9、 ykx2 代入x 2 3y 21， 得(3k21)x212kx90，(*) x1，x2是此方程的两个相异实根. 设 PQ 的中点为 M，则 xMx1x2 2 6k 3k21， yMkxM2 2 3k21， 由|DP|DQ|，得 DMPQ， kDM yM xM1 2 3k21 6k 3k211 1 k， 3k24k10，得 k1 或 k1 3. 但 k1，k1 3均使方程(*)没有两相异实根. 故这样的 k 不存在. 素养评析 本例(2)(3)均采用了“设而不求”的数学运算策略， 特别(3)利用定点 D 与弦端点 的几何关系，由设而不求的思想方法，转换成坐标关系，构造出关于 k 的方程，减小了
10、数学 运算的难度，提高了解题效率. 1.已知直线 l：xy30，椭圆x 2 4y 21，则直线与椭圆的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题 答案 C 解析 直线 l 的方程与椭圆的方程联立， 得 xy30， x2 4y 21， 消去 y， 得 5x224x320，(24)2453264b0)的离心率为 2 2 ，若直线 ykx 与椭圆的一个交点的横坐标 x0b，则 k 的值为( ) A. 2 2 B. 2 2 C.1 2 D. 1 2 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆相交的其他问题 答案 B 解
11、析 根据椭圆的离心率为 2 2 ，得c a 2 2 . 由 x0b，得 y20b2 1b 2 a2 b 2c2 a2 ， 所以 y0 bc a ，ky0 x0 c a 2 2 . 4.已知以 F1(2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线 x 3y40 有且仅有一个公共点，则 椭圆的长轴长为_. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题 答案 2 7 解析 由题意可设椭圆的方程为x 2 a2 y2 a241(a2)， 与直线方程 x 3y40 联立， 得 4(a23)y28 3(a24)y(16a2)(a24)0， 由 0，得 a 7， 所以椭圆的长轴长为 2 7. 5.椭圆x 2 3y 21 被直线 xy10 所截得的弦长|AB|_. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆相交求弦长 答案 3 2 2 解析 由 xy10， x2 3y 21， 得交点为(0，1)， 3 2， 1 2 ， 则|AB| 3 2 2 11 2 23 2 2 . 1.直线与椭圆的位置关系，可考虑由直线方程和椭圆方程得到的一元二次方程，利用“”进 行判定，求弦长时可利用根与系数的关系，中点弦问题考虑使用点差法. 2.最值往往转化为函数最值或利用数形结合思想.