1、 2 抛物线抛物线 2.1 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 学习目标 1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明 确抛物线标准方程中参数 p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题. 知识点一 抛物线的定义 1.定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离相等的点的集合. 2.焦点：定点 F. 3.准线：定直线 l. 知识点二 抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y22px(p0) p 2，0 xp 2 y22px(p0) p 2，0 xp 2 x22py(p0) 0，p 2 yp 2 x22py(p
2、0) 0，p 2 yp 2 1.抛物线的方程都是二次函数.( ) 2.抛物线的焦点到准线的距离是 p.( ) 3.抛物线的开口方向由一次项确定.( ) 题型一 求抛物线的标准方程 例 1 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. (1)经过点(3，1)； (2)焦点为直线 3x4y120 与坐标轴的交点. 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程 解 (1)因为点(3，1)在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为 y22px(p0)或 x22py(p0). 若抛物线的标准方程为 y22px(p0)， 则由(1)22p(3)，解得 p1 6； 若抛物线的标准方程为 x22py(p0)， 则由
3、(3)22p(1)，解得 p9 2. 故所求抛物线的标准方程为 y21 3x 或 x 29y. (2)对于直线方程 3x4y120， 令 x0，得 y3；令 y0，得 x4， 所以抛物线的焦点为(0，3)或(4，0). 当焦点为(0，3)时，p 23，所以 p6， 此时抛物线的标准方程为 x212y； 当焦点为(4，0)时，p 24，所以 p8， 此时抛物线的标准方程为 y216x. 故所求抛物线的标准方程为 x212y 或 y216x. 反思感悟 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为 y2mx(m0)或 x2ny(n0)，这样可以减 少讨论情况的个数
4、. 跟踪训练 1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为 y2 3； (2)焦点在 y 轴上，焦点到准线的距离为 5. 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程 解 (1)易知抛物线的准线交 y 轴于正半轴，且p 2 2 3，则 p 4 3， 故所求抛物线的标准方程为 x28 3y. (2)已知抛物线的焦点在 y 轴上，可设方程为 x22my(m0)，由焦点到准线的距离为 5，知|m| 5，m 5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为 x210y 和 x210y. 题型二 抛物线定义的应用 命题角度 1 利用抛物线定义求轨迹(方程) 例 2 已知动圆 M 与直
5、线 y2 相切，且与定圆 C：x2(y3)21 外切，求动圆圆心 M 的轨 迹方程. 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 解 设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r，由题意可得 M 到 C(0，3)的距离与到直线 y3 的 距离相等. 由抛物线的定义可知： 动圆圆心的轨迹是以 C(0， 3)为焦点， 以 y3 为准线的一条抛物线， 其方程为 x212y. 反思感悟 解决轨迹为抛物线问题的方法 抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义 求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的 条件，有时需要依据已知条件进
6、行转化才能得到满足抛物线定义的条件. 跟踪训练 2 已知动圆 M 经过点 A(3，0)，且与直线 l：x3 相切，求动圆圆心 M 的轨迹 方程. 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 解 设动点 M(x，y)，M 与直线 l：x3 的切点为 N， 则|MA|MN|， 即动点 M 到定点 A 和定直线 l：x3 的距离相等， 点 M 的轨迹是抛物线，且以 A(3，0)为焦点，以直线 l：x3 为准线， p 23，p6， 故动圆圆心 M 的轨迹方程是 y212x. 命题角度 2 利用抛物线定义求最值 例 3 如图，已知抛物线 y22x 的焦点是 F， 点 P 是抛物线上的动点，又有点 A
7、(3，2)，求|PA| |PF|的最小值，并求此时 P 点坐标. 考点 求抛物线的最值问题 题点 根据抛物线定义转换求最值 解 将 x3 代入抛物线方程 y22x，得 y 6. 62，A 在抛物线内部. 设抛物线上点 P 到准线 l：x1 2的距离为 d， 由定义知|PA|PF|PA|d. 由图可知，当 PAl 时，|PA|d 最小，最小值为7 2. 即|PA|PF|的最小值为7 2， 此时 P 点纵坐标为 2，代入 y22x，得 x2. 点 P 坐标为(2，2). 引申探究 若将本例中的点 A(3，2)改为点(0，2)，求点 P 到点(0，2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离 之和的最小值
8、. 解 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离. 由图可知，P 点，(0，2)点和抛物线的焦点 F 1 2，0 三点共线时距离之和最小， 所以最小距离 d 01 2 2202 17 2 . 反思感悟 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准 线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边 间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等. 跟踪训练 3 已知 P 是抛物线 y24x 上一动点，则点 P 到直线 l：2xy30 和 y 轴的距离 之和的最小值是( ) A. 3 B. 5 C.2 D. 51 考点 求
9、抛物线的最值问题 题点 根据抛物线定义转换求最值 答案 D 解析 由题意知，抛物线的焦点为 F(1，0). 设点 P 到直线 l 的距离为 d， 由抛物线的定义可知，点 P 到 y 轴的距离为|PF|1， 所以点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的距离之和为 d|PF|1. 易知 d|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离， 故 d|PF|的最小值为 |23| 2212 5， 所以 d|PF|1 的最小值为 51. 抛物线的实际应用问题 典例 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5 m 时，水面宽为 8 m，一小船宽 4 m，高 2 m，载货后船露出水面上的部分高 0.75 m，问：水
10、面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少米 时，小船开始不能通航？ 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系. 设抛物线方程为 x22py(p0)， 由题意可知，点 B(4，5)在抛物线上， 故 p8 5，得 x 216 5 y. 当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航， 设此时船面宽为 AA，则 A(2，yA)， 由 2216 5 yA，得 yA5 4. 又知船面露出水面上的部分高为 0.75 m， 所以 h|yA|0.752(m). 所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距 2 m 时，小船开始不能通航.
11、 素养评析 首先确定与实际问题相匹配的数学模型.此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物 线的有关知识解决此问题，操作步骤为： (1)建系：建立适当的坐标系. (2)假设：设出合适的抛物线标准方程. (3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程. (4)求解：求出需要求出的量. (5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题. 1.若动点 P 到定点 F(4，0)的距离与到直线 x4 的距离相等，则 P 点的轨迹是( ) A.抛物线 B.线段 C.直线 D.射线 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 A 解析 动点 P 的条件满足抛物线的定义. 2.已知抛物线 y2px2过点(1，4)，
12、则抛物线的焦点坐标为( ) A.(1，0) B. 1 16，0 C. 0， 1 16 D.(0，1) 考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程 题点 求抛物线的焦点坐标 答案 C 解析 由抛物线 y2px2过点(1，4)，可得 p2， 抛物线的标准方程为 x21 4y， 则焦点坐标为 0， 1 16 ，故选 C. 3.一动圆过点(0，1)且与定直线 l 相切，圆心在抛物线 x24y 上，则 l 的方程为( ) A.x1 B.x 1 16 C.y1 D.y 1 16 考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程 题点 求抛物线的准线方程 答案 C 解析 因为动圆过点(0，1)且与定直线 l 相切，所以动圆圆心到
13、点(0，1)的距离与它到定直线 l 的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线 x24y 上，且(0，1)为抛物线的焦点，所以 l 为抛物 线的准线，所以 l：y1. 4.若抛物线 y22px 的焦点坐标为(1，0)，则 p_，准线方程为_. 考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程 题点 求抛物线的准线方程 答案 2 x1 解析 抛物线 y22px 的焦点坐标为 p 2，0 ， p 21，p2. 抛物线的准线方程为 xp 21. 5.抛物线 y22px(p0)上有一点 M 的横坐标为9，它到焦点的距离为 10，求此抛物线方 程和 M 点的坐标. 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 解 设焦点为 F p 2，0 ，M 点到准线的距离为 d， 则 d|MF|10， 即 9p 210，p2， 抛物线方程为 y24x. 将 M(9，y)代入抛物线的方程，得 y 6. M 点坐标为(9，6)或(9，6). 1.利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关 系能给解题带来很大的方便，要注意运用定义解题. 2.在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易于混淆，解题时一定要做到数 形结合，按照“定形(抛物线焦点位置)定量(参数 p 的值)”的程序求解.