1、2.2 抛物线的简单性质抛物线的简单性质 学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等性质.2.会利用抛物线的性质 解决一些简单的抛物线问题. 知识点一 抛物线的简单性质 标准方程 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) 图形 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 焦点坐标 F p 2，0 F p 2，0 F 0，p 2 F 0，p 2 准线方程 xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 顶点坐标 O(0，0) 离心率 e1 通径长 2p 知识点二 直线与抛物线的位置关系 直线 ykxb
2、 与抛物线 y22px(p0)的交点个数决定于关于 x 的方程组 ykxb， y22px 解的个 数，即方程 k2x22(kbp)xb20 解的个数. 当 k0 时，若 0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若 0，直线与抛物线有一个 公共点；若 0)，O 为抛物线的顶点，OAOB， 则AOB 的面积是( ) A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2 考点 抛物线的简单性质 题点 焦点、准线、对称性的简单应用 答案 B 解析 因为抛物线的对称轴为 x 轴，内接AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性 知，直线 AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线 OA 与 x 轴的夹角为 45 .
3、由方程组 yx， y22px 得 x0， y0 或 x2p， y2p， 不妨设 A，B 两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，2p). 所以|AB|4p，所以 SAOB1 24p2p4p 2. (2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴，且与圆 x2y24 相交于 A，B 两点，|AB| 2 3，求抛物线的方程. 考点 抛物线的简单性质 题点 抛物线与其他曲线结合的有关问题 解 由已知，抛物线的焦点可能在 x 轴正半轴上，也可能在负半轴上. 故可设抛物线方程为 y2ax(a0). 设抛物线与圆 x2y24 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2). 抛物线 y2ax(a0)与圆
4、x2y24 都关于 x 轴对称， 点 A 与 B 关于 x 轴对称， |y1|y2|且|y1|y2|2 3， |y1|y2| 3，代入圆 x2y24， 得 x234，x 1， A( 1， 3)或 A( 1， 3)，代入抛物线方程， 得( 3)2 a，a 3. 所求抛物线方程是 y23x 或 y23x. 反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是看准二次项是 x 还是 y，一次项的系数是正 还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为 p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为 2p；离心率
5、恒 等于 1. 跟踪训练 1 已知抛物线 y28x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量 x 的范围； (2)以坐标原点 O 为顶点，作抛物线的内接等腰三角形 OAB，|OA|OB|，若焦点 F 是OAB 的重心，求OAB 的周长. 考点 抛物线的简单性质 题点 焦点、准线、对称性的简单应用 解 (1)抛物线 y28x 的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量 x 的范围分别为(0，0)，(2， 0)，x2，x 轴，x0. (2)如图所示，由|OA|OB|可知 ABx 轴，垂足为点 M， 又焦点 F 是OAB 的重心， 则|OF|2 3|OM|. 因为 F(2，0)， 所以|O
6、M|3 2|OF|3，所以 M(3，0). 故设 A(3，m)，代入 y28x 得 m224； 所以 m2 6或 m2 6， 所以 A(3，2 6)，B(3，2 6)， 所以|OA|OB| 33， 所以OAB 的周长为 2 334 6. 题型二 直线与抛物线的位置关系 命题角度 1 直线与抛物线位置关系的判断 例 2 已知直线 l：ykx1，抛物线 C：y24x，当 k 为何值时，l 与 C：只有一个公共点； 有两个公共点；没有公共点. 考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题 解 联立 ykx1， y24x， 消去 y， 得 k2x2(2k4)x10.(*) 当 k0
7、时，(*)式只有一个解 x1 4，y1， 直线 l 与 C 只有一个公共点 1 4，1 ， 此时直线 l 平行于 x 轴. 当 k0 时，(*)式是一个一元二次方程， (2k4)24k216(1k). 当 0，即 k0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得 k2x2(2kb 2p)xb20. (1)若 k20，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. (2)若 k20，当 0 时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当 0 时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当 0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于 A，B 两点， 且|AB|5 2p，求 AB 所在的直线方程. 考
8、点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 与弦长有关的其他问题 解 由题意知焦点 F p 2，0 ，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 若 ABx 轴，则|AB|2p5 2p，不满足题意. 所以直线 AB 的斜率存在，设为 k， 则直线 AB 的方程为 yk xp 2 ，k0. 由 yk xp 2 ， y22px， 消去 x，整理得 ky22pykp20. 由根与系数的关系得 y1y22p k ，y1y2p2. 所以|AB| 1 1 k2 y1y221 1 k2 y1y2 24y 1y22p 11 k2 5 2p， 解得 k 2. 所以 AB 所在的直线方程为 2xyp0 或 2xyp0. 引
9、申探究 本例条件不变，求弦 AB 的中点 M 到 y 轴的距离. 解 如图，过 A，B 分别作准线 xp 2的垂线交准线于 C，D 点. 由定义知|AC|BD|5 2p， 则梯形 ABDC 的中位线|ME|5 4p， M 点到 y 轴的距离为5 4p p 2 3 4p. 反思感悟 求抛物线弦长问题的方法： (1)一般弦长公式 |AB| 1k2|x1x2|1 1 k2|y1y2|. (2)焦点弦长 设过抛物线 y22px(p0)的焦点的弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p，然后 利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出 x1x2即可. 跟踪训
10、练 3 已知 yxm 与抛物线 y28x 交于 A，B 两点. (1)若|AB|10，求实数 m 的值； (2)若 OAOB，求实数 m 的值. 考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线的综合问题 解 由 yxm， y28x， 得 x2(2m8)xm20. 由 (2m8)24m26432m0，得 m0)， 依题意得 xp 2，代入 y 22px 或 y22px 得|y|p， 2|y|2p8，p4. 抛物线方程为 y28x 或 y28x. 2.设 A， B 是抛物线 x24y 上两点， O 为原点， 若|OA|OB|， 且AOB 的面积为 16， 则AOB 等于( ) A.30 B.45
11、 C.60 D.90 考点 抛物线的简单几何性质 题点 焦点、准线、对称性的简单应用 答案 D 解析 由|OA|OB|， 知抛物线上点 A， B 关于 y 轴对称， 设 A a，a 2 4 ， B a，a 2 4 ， a0.SAOB 1 22a a2 4 16，解得 a4，AOB 为等腰直角三角形，AOB90 . 3.过点 P(0，1)与抛物线 y2x 有且只有一个交点的直线有( ) A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条 考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题 答案 B 解析 当直线垂直于 x 轴时，满足条件的直线有 1 条； 当直线不垂直于 x 轴时，满足条
12、件的直线有 2 条，故选 B. 4.过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果 x1x26，则|AB| _. 考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 求抛物线的焦点弦长 答案 8 解析 因为直线 AB 过焦点 F(1，0)， 所以|AB|x1x2p628. 5.已知抛物线 xy2与过点(1，0)且斜率为 k 的直线相交于 A，B 两点，O 为坐标原点， 当AOB 的面积等于 10时，求 k 的值. 考点 直线与抛物线的位置关系 题点 求抛物线中的直线方程 解 过点(1，0)且斜率为 k 的直线方程为 yk(x1)(k0)， 由方程组 xy2， ykx
13、1， 消去 x 整理得 ky2yk0， 14k20， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根与系数之间的关系得 y1y21 k，y1 y21. 设直线与 x 轴交于点 N，显然 N 点的坐标为(1，0). SOABSOANSOBN1 2|ON|y1| 1 2|ON|y2| 1 2|ON|y1y2|， SAOB1 21 y1y2 24y 1y21 2 1 k24 10， 解得 k 1 6. 1.求抛物线方程时，若已知曲线是抛物线，一般用待定系数法. 2.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率等问题，注意利用根与系数的关系，设而不求， 能避免繁杂的计算. 3.解决焦点弦问题时，应注意焦点弦的几何性质.