1、 3 双曲线双曲线 3.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程 及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题. 知识点一 双曲线的定义 1.定义：平面内到两定点 F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集 合. 2.定义的集合表示：M|MF1|MF2|2a，00) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 焦点 (c，0)，(c，0) (0，c)，(0，c) a，b，c 的关系 c2a2b2 1.平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.
2、( ) 2.平面内到点 F1(0，4)，F2(0，4)的距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线.( ) 3.平面内到点 F1(0，4)，F2(0，4)的距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线.( ) 4.在双曲线标准方程中，a，b，c 之间的关系与椭圆中 a，b，c 之间的关系相同.( ) 题型一 求双曲线的标准方程 例 1 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a4，经过点 A 1，4 10 3 ； (2)焦点在 x 轴上，经过点 P(4，2)和点 Q(2 6，2 2)； (3)过点 P 3，15 4 ，Q 16 3 ，5 且焦点在坐标轴上. 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定
3、系数法求双曲线的标准方程 解 (1)当焦点在 x 轴上时， 设所求标准方程为x 2 16 y2 b21(b0)， 把点 A 的坐标代入，得 b216 15 160 9 0)， 把点 A 的坐标代入，得 b29. 故所求双曲线的标准方程为y 2 16 x2 91. (2)因为焦点在 x 轴上， 可设双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)， 将点(4，2)和(2 6，2 2)代入方程得 16 a2 4 b21， 24 a2 8 b21， 解得 a28，b24， 所以双曲线的标准方程为x 2 8 y2 41. (3)设双曲线的方程为 Ax2By21，AB0)， 则有 a2b2c28，
4、9 a2 10 b21， 解得 a23，b25. 故所求双曲线的标准方程为x 2 3 y2 51. 题型二 双曲线定义的应用 命题角度 1 双曲线中的焦点三角形问题 例 2 若 F1，F2是双曲线x 2 9 y2 161 的两个焦点. (1)若双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16，求点 M 到另一个焦点的距离； (2)如图，若 P 是双曲线左支上的点，且|PF1| |PF2|32，试求F1PF2的面积. 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用与双曲线的焦点三角形 解 双曲线的标准方程为x 2 9 y2 161， 故 a3，b4，c a2b25. (1)由双曲线的定义得|MF1|
5、MF2|2a6， 又双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16， 假设点 M 到另一个焦点的距离等于 x， 则|16x|6，解得 x10 或 x22. 故点 M 到另一个焦点的距离为 10 或 22. (2)将|PF2|PF1|2a6 两边平方得 |PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2|36， 则|PF1|2|PF2|2362|PF1| |PF2|36232100. 在F1PF2中，由余弦定理得 cosF1PF2|PF1| 2|PF 2| 2|F 1F2| 2 2|PF1| |PF2| 100100 232 0，且F1PF2(0 ，180 )， 所以F1PF290 ， 故 12
6、F PF S1 2|PF1| |PF2| 1 23216. 引申探究 将本例(2)中的条件“|PF1| |PF2|32”改为“F1PF260 ”，求F1PF2的面积. 解 由x 2 9 y2 161 得 a3，b4，c5. 由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|PF1|6， |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60 ， 所以 102(|PF1|PF2|)2|PF1| |PF2|， 所以|PF1| |PF2|64， 所以 12 F PF S1 2|PF1| |PF2| sinF1PF2 1 264 3 2 16 3. 反思感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方
7、法一： 根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a； 利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； 通过配方，利用整体的思想求出|PF1| |PF2|的值； 利用公式 1 2 PF F S1 2|PF1| |PF2|sinF1PF2求得面积. (2)方法二：利用公式 1 2 PF F S1 2|F1F2|yP|(yP为 P 点的纵坐标)求得面积. 跟踪训练2 已知双曲线x2y21， 点F1， F2为其两个焦点， 点P为双曲线上一点， 若PF1PF2， 则|PF1|PF2|的值为_. 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 2 3 解析 不妨设点 P 在双
8、曲线的右支上， 因为 PF1PF2， 所以|F1F2|2|PF1|2|PF2|2(2 2)2， 又|PF1|PF2|2，所以(|PF1|PF2|)24， 可得 2|PF1| |PF2|4，则(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2|12， 所以|PF1|PF2|2 3. 命题角度 2 利用定义确定与双曲线有关的轨迹方程 例 3 在ABC 中，已知|AB|4 2，A(2 2，0)，B(2 2，0)，且内角 A，B，C 满足 sin B sin A1 2sin C，求顶点 C 的轨迹方程. 考点 求与双曲线有关的轨迹方程 题点 双曲线的一支 解 由 sin Bsin
9、A1 2sin C 及正弦定理， 可得 bac 2， 从而有|CA|CB|1 2|AB|2 2 2). 反思感悟 (1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：列出等量关系，化 简得到方程；寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程. (2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：双曲线的焦点所在的坐标轴；检验所求的轨迹 对应的是双曲线的一支还是两支. 跟踪训练 3 如图所示，已知定圆 F1：(x5)2y21，定圆 F2：(x5)2y242，动圆 M 与 定圆 F1，F2都外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程. 考点 求与双曲线有关的轨迹方程 题点 双曲线的一支 解 圆 F1：(x5)2y2
10、1，圆心 F1(5，0)，半径 r11； 圆 F2：(x5)2y242，圆心 F2(5，0)，半径 r24. 设动圆 M 的半径为 R， 则有|MF1|R1，|MF2|R4， |MF2|MF1|30， 00)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点 F1的直线与双曲线的同 一支相交，且所得弦长|AB|m，则ABF2的周长为( ) A.4a B.4am C.4a2m D.4a2m 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 C 解析 不妨设|AF2|AF1|，由双曲线的定义， 知|AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|2a， 所以|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)4am4a， 于是ABF
11、2的周长 l|AF2|BF2|AB|4a2m.故选 C. 5.经过点 P(3，27)和 Q(62，7)，且焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是 _. 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 答案 y2 25 x2 751 解析 设双曲线的方程为 mx2ny21(mn0)， 则 9m28n1， 72m49n1， 解得 m 1 75， n 1 25， 故双曲线的标准方程为y 2 25 x2 751. 1.双曲线定义中|PF1|PF2|2a(2ab 不一定成立.要注意与椭圆中 a，b，c 的区别.在椭圆中 a2b2 c2，在双曲线中 c2a2b2. 3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条 件列出关于 a，b，c 的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如 mx2ny21(mn0)的形式求解.