1、章末复习,第二章 空间向量与立体几何,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.梳理本章知识，构建知识网络. 2.巩固空间向量的有关知识. 3.会用向量法解决立体几何问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,知识梳理,题型探究,达标检测,1,知识梳理,PART ONE,1.空间中点、线、面位置关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则,a,kv，kR,ab,ab0,v0,a0,2.用向量法解决立体几何问题 步骤如下： (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)写出相关点的坐标及向量的坐标； (3)进行相关坐标的运算； (4)写出几何意义下的结论. 关键点如下
2、： (1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程. (2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题.,(3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.,3.若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行.( ) 4.只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底.( ),1.向量a，b的夹角a，b与它们所在直线所成的角相等.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZ
3、HENGWU,2,题型探究,PART TWO,解析 假命题，当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的； 真命题； 假命题，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不确定； 假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段.,题型一 空间向量的概念及运算,例1 (1)判断下列各命题的真假： 向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；零向量是没有方向的；有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5,其中正确结论的序号是_.,(2)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离
4、都等于2. 给出以下结论：,反思感悟 向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.,跟踪训练1 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.,则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，,题型二 利用空间向量证明位置关系,例2 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，ABAD2，CD4，M为CE的中点. (1)求证：BM平面ADEF；,证明 平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，ADED，ED平面ADEF，
5、 ED平面ABCD.,则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，F(2，0，2). M为EC的中点，M(0，2，1)，,又BM平面ADEF，BM平面ADEF.,(2)求证：BC平面BDE.,又DEDBD，BC平面BDE.,引申探究 本例条件不变，如何证明平面BCE平面BDE.,证明 由例2(2)知BC平面BDE， 又BC平面BCE， 平面BCE平面BDE.,反思感悟 利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要转化为其坐标运算，再借助于坐标的有关性质求解(证).,证明 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立
6、空间直角坐标系Dxyz，,因此EF平面BB1C1C.,例3 如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2. (1)求证：EG平面ADF；,题型三 利用空间向量求空间角,证明 依题意，OF平面ABCD，,依题意可得O(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，1，0)，C(1，1，0)，D(1，1，0)，E(1，1，2)，F(0，0，2)，G(1，0，0).,设n1(x1，y1，z1)为平面ADF的法向量，,不妨取z11，可得n1(0，2，1)，,又因为直线EG平面ADF，所以EG平面ADF.,(2)求平面OEF与平面CEF夹角的正弦
7、值；,设n2(x2，y2，z2)为平面CEF的法向量，,不妨取 x21，可得n2(1，1，1).,反思感悟 1.异面直线所成的角，可通过两异面直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值求解. 2.线面角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值. 3.对于两平面的夹角应先求两平面法向量的夹角，再根据所求下结论.,(1)求平面BPD与平面APD夹角的大小；,解 取AD的中点O，设ACBDE，连接OP，OE. 因为PAPD，所以OPAD， 又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，且OP平面PAD， 所以OP平面ABCD. 因为OE平面ABCD，所以OPOE. 因为四边形AB
8、CD是正方形， 所以OEAD， 如图，以O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线 分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，,设平面BDP的法向量n(x，y，z)，,平面PAD的法向量为p(0，1，0)，,(2)若M为PB的中点，求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.,设直线MC与平面BDP所成的角为，,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,5,1.已知向量a(2，1，3)，b(4，2，x)，则使ab成立的x与使ab成立的x分别为,1,2,3,4,5,A.acb B.a2bc C.bca D.ac2b,1,2,3,4,5,3.已知a3i2jk，bij2k，i，j，k是两两
9、互相垂直的单位向量，则5a与3b的数量积等于 A.15 B.5 C.3 D.1,解析 a(3，2，1)，b(1，1，2)， 故5a(15，10，5)，3b(3，3，6)， 5a3b15310(3)(5)645303015.,1,2,3,4,5,4.如图，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCDA1B1C1D1为长方体，AA1AB2AD，点E，F分别为C1D1，A1B的中点，则平面B1A1B与平面A1BE夹角的余弦值为,1,2,3,4,5,解析 设AD1，则A1(1，0，2)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)， 因为E，F分别为C1D1，A1B的中点， 所以E(0，1，
10、2)，F(1，1，1)，,设m(x，y，z)是平面A1BE的法向量，,取x1，则yz1， 所以平面A1BE的一个法向量为m(1，1，1).,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.已知点B(1，0，0)，C(1，1，1)，D(0，1，1)，若点E的坐标为(2，1，m)，且点B，C，D，E四点共面，实数m的值为_.,1,解析 B(1，0，0)，C(1，1，1)，D(0，1，1)，E(2，1，m)，,根据平面向量的基本定理，存在实数x，y，,课堂小结,KETANGXIAOJIE,解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法.几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题.坐标方法经常与向量运算结合起来使用.,