1、2 空间向量的运算(二),第二章 空间向量与立体几何,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律. 2.掌握两个向量的数量积在判断向量共线与垂直中的应用.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点 数量积的概念及运算律 1.已知两个非零向量a，b，则_叫作a，b的数量积，记作_，即_|a|b|cosa，b. 2.空间向量数量积的性质 (1)ab_ . (2)|a|2_，|a|_.,aa,|a|b|cosa，b,ab,ab,ab0,规定：零向量与任何向量的数量积都为0.,3.空间向量数量积
2、的运算律 (1)(a)b_(R). (2)ab_(交换律). (3)a(bc)_(分配律). 特别提醒：不满足结合律(ab)ca(bc).,(ab),ba,abac,1.对于非零向量b，由abbc，可得ac.( ) 2.对于向量a，b，c，有(ab)ca(bc).( ) 3.若非零向量a，b为共线且同向的向量，则ab|a|b|.( ) 4.对任意向量a，b，满足|ab|a|b|.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一 数量积的计算,例1 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：,
3、反思感悟 1.已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算. 2.如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用aa|a|2及数量积公式进行计算.,跟踪训练1 已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算：,则|a|c|2，|b|4，abbcca0.,题型二 利用数量积证明垂直问题,例2 (1)已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，那么AD与BC的位置关系为_.(填“平行”“垂直”),垂直,AD与BC垂直.,(2)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与B
4、D的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD.,则ab0，bc0，ac0，|a|b|c|.,又OGBDO，OG平面GBD，BD平面GBD， A1O平面GBD.,反思感悟 1.证明线线垂直的方法 证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直. 2.证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法 先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.,跟踪训练2 如图，在空间四边形OACB中，OBOC，ABAC， 求证：OABC.,证明 因为OBOC，ABAC，OAOA， 所以OACOAB， 所以AOCAOB.,题型三 利用数量积
5、解决空间角问题,例3 在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，,反思感悟 求两个空间向量a，b夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式 在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题.,解 不妨设正方体的棱长为1，,则|a|b|c|1，abbcca0，,题型四 利用数量积求空间中两点间的距离,例4 如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长.,由题意，知|a|b|c|2，且a，b60，a，
6、cb，c90.,反思感悟 求解距离问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式 求解即可.,跟踪训练4 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长.,因为BAD90，BAA1DAA160，,核心素养之逻辑推理,HEXINSUYANGZHILUOJITUILI,利用数量积探究垂直问题,典例 如图所示，在矩形ABCD中，AB1，BCa，PA平面ABCD(点P位于平面ABCD的上方)，则边BC上是否存在点Q，,连接AQ，因为PA平面ABCD，所以PAQD
7、.,又AB1，,素养评析 本例由条件 利用向量的数量积推知Q点轨迹，从而转化为平面几何问题，解答此题，应具有较强的逻辑推理能力.,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,1.对于向量a，b，c和实数，下列说法正确的是 A.若ab0，则a0或b0 B.若a0，则0或a0 C.若a2b2，则ab或ab D.若abac，则bc,解析 结合向量的运算，只有B正确.,1,2,3,4,2.已知向量a，b是平面内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则“ca0且cb0”是“l”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,解析 若ab，则
8、不一定得到l，反之成立.,1,2,3,4,1,2,3,4,4.已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，求EF的长.,1222122(12cos 120021cos 120)2，,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.空间向量数量积运算的两种方法 (1)利用定义：利用ab|a|b|cosa，b并结合运算律进行计算(a，b为非零向量). (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算. 2.在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入ab|a|b|cosa，b求解.,