1、第3课时 椭圆中的定点、定值及存在性问题,第三章 1.2 椭圆的简单性质,题型一 定点问题,题型探究,TIXINGTANJIU,(2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l：xmyt0与椭圆E相交于不同的两点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标.,解 由xmyt0得xmyt， 把它代入E的方程得(m22)y22mtyt240， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，,因为以MN为直径的圆过点A， 所以AMAN，,因为M，N与A均不重合，所以t2，,由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于0，,反思感悟 求定点问题，需要注意两个方面： 一
2、是抓“特值”，涉及的定点多在两条坐标轴上，所以可以先从斜率不存在或斜率为0的特殊情况入手找出定点，为解题指明方向. 二是抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，所以要抓住问题的核心，实质就是求解直线方程中参数之间的关系，所以要熟悉直线方程的特殊形式，若直线的方程为ykxb，则直线ykxb恒过点(0，b)，若直线方程为yk(xa)，则直线恒过点(a，0).,(1)求椭圆C的标准方程；,(2)如图所示，椭圆C的左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点.试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？并说明理由.,题型
3、二 定值问题,(1)求椭圆C的方程及离心率；,解 由题意得a2，b1，,(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.,证明 设P(x0，y0)(x00，y00)，,又A(2，0)，B(0，1)，,从而四边形ABNM的面积为定值.,反思感悟 (1)求定值问题的常用方法： 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. (2)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关.在这类问题中选择消元的方向是非
4、常关键的.,(1)求椭圆C的方程；,由余弦定理，得|F1F2|2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos 60 (|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|(1cos 60)，,由|F1F2|4得c2，从而b2，,(2)设N(0，2)，过点P(1，2)作直线l，交椭圆C于异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值.,证明 当直线l的斜率存在时， 设斜率为k，显然k0，则其方程为y2k(x1)，,56k232k0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,综上，k1k2为定值.,题型三 存在性问题,(1)求椭圆E的方程；,解 当直线l与x轴垂直时不满
5、足条件. 故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线l的方程为yk(x2)1， 代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，,即4(x12)(x22)(y11)(y21)5， 4(x12)(x22)(1k2)5， 即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，,反思感悟 解决探索性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.,(1)求椭圆C的方程；,设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2是上述方程的两个根，,由题意知OAOB，则x1x2y1y20，,