1、5 夹角的计算,第二章 空间向量与立体几何,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.理解直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的概念. 2.掌握直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的求解.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 直线间的夹角 1.共面直线的夹角 当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在 内的角叫作两直线的夹角，如图所示，当两条直线垂直时，夹角为_.,两条异面直线的夹角的范围为_，当夹角为 时，称这两条直线异面_. 综上，空间两条直线的夹角的范围是 .,2.异面直线的夹角 当直线l
2、1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作ABl2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角，如图所示.,垂直,3.直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系 空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定.已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2. 当0s1，s2 时，直线l1与l2的夹角等于_； 当 s1，s2时，直线l1与l2的夹角等于 ., s1，s2 , s1，s2 ,知识点二 平面间的夹角 1.平面间夹角的概念 如图，平面1与2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面1上作直线l1l， 在平面2上作直线l2l，则l1l2R.我们把直线l1和l2的
3、夹角叫作平面1与2的夹角.,由平面间夹角的概念可知，空间中两个平面的夹角的范围是_. 当夹角等于0时，两个平面 ；当夹角等于 时，两个平面互相 .,重合,垂直,2.两个平面法向量的夹角与这两个平面的夹角的关系 空间两个平面的夹角由它们的法向量的夹角确定. 已知平面1与2的法向量分别为n1与n2.,n1，n2,n1，n2,事实上，设平面1与平面2的夹角为， 则cos |cosn1，n2|.,知识点三 直线与平面的夹角 1.直线与平面夹角的概念 平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角，如图所示.,2.直线与平面夹角的范围 如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条
4、直线与平面的夹角是 . 如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是 . 由此可得，直线与平面夹角的范围是 .,0,3.利用向量计算直线与平面夹角的方法 空间中，直线与平面的夹角由直线的方向向量与平面的法向量的夹角确定. 设平面的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面所成的角为.,1.直线与平面的夹角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角互余. ( ) 2.平面间的夹角的大小范围是 ( ) 3.平面间的夹角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小.( ) 4.若直线l平面，则l与平面的夹角为0.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGW
5、U,2,题型探究,PART TWO,题型一 求直线间的夹角,例1 已知直线l1的一个方向向量为s1(1，0，1)，直线l2的一个方向向量为s2(1，2，2)，求直线l1和直线l2夹角的余弦值.,解 s1(1，0，1)，s2(1，2，2)，,直线l1与直线l2的夹角为s1，s2，,反思感悟 利用直线的方向向量求两条直线的夹角时，要注意两条直线的方向向量的夹角与两条直线的夹角之间的关系.因为两条直线的方向向量的夹角的范围是0，而两条直线的夹角的范围是 所以这两者不一定相等，还可能互补.,跟踪训练1 如图所示，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90，且OB
6、OO12，OA 求异面直线A1B与O1A夹角的余弦值.,解 以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，,题型二 求平面间的夹角,例2 如图，已知ABCD为直角梯形，DABABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD 求平面SAB与平面SCD夹角的余弦值.,解 如图，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，,设平面SCD的一个法向量为n(x，y，z)，,令z1，得n(2，1，1).,反思感悟 利用法向量求平面间夹角的大小的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)分别求出两平面的法向量； (3
7、)求出两个法向量的夹角； (4)确定平面间夹角的大小.,跟踪训练2 如图，在四棱锥SABCD中，SD底面ABCD，ABDC，ADDC，ABAD1，DCSD2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC. (1)证明：SE2EB；,证明 以D为坐标原点，DA，DC，DS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，S(0，0，2)，,设平面SBC的一个法向量为m(a，b，c).,设平面EDC的一个法向量为n(x，y，z).,由平面EDC平面SBC，得mn，mn0， 20，即2，SE2EB.,(2)求
8、平面ADE与平面CDE夹角的大小.,故平面ADE与平面CDE夹角的大小为60.,题型三 求直线与平面的夹角,例3 已知直线l的一个方向向量为s(1，0，0)，平面的一个法向量为n(2，1，1)，求直线l与平面夹角的正弦值.,反思感悟 注意公式sin |cosn，a|中，是线面夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值，不要记错.,跟踪训练3 如图所示，已知直角梯形ABCD，其中ABBC2AD，AS平面ABCD，ADBC，ABBC，且ASAB.求直线CS与底面ABCD夹角的余弦值.,解 由题设条件知，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空
9、间直角坐标系Axyz(如图所示).,0，90，,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,1.在两个平面内，与两个面的交线都垂直的两个向量分别为(0，1，3)， (2，2，4)，则这两个平面夹角的余弦值为,1,2,3,4,2.已知在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线AB1与ED1夹角的余弦值为,解析 A(2，2，0)，B1(2，0，2)，E(0，1，0)，D1(0，2，2)，,1,2,3,4,3.已知直线l1的一个方向向量为a(1，1，2)，直线l2的一个方向向量为b(3，2，0)，则两条直线夹角的余弦值为_.,1,2,3,4,4.已知平面1的一个法向量为n1(1，1，3)，平面2的一个法向量为n2(1，0，1)，求这两个平面夹角的余弦值.,解 n1(1，1，3)，n2(1，0，1)，,课堂小结,KETANGXIAOJIE,用坐标法求异面直线的夹角的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出两条异面直线的方向向量的坐标； (3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角； (4)结合异面直线夹角的范围得到异面直线的夹角.,