1、4 曲线与方程,第三章 圆锥曲线与方程,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系. 2.理解方程的曲线和曲线的方程的概念. 3.了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法. 4.掌握根据已知条件求曲线方程的方法.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 曲线的方程与方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系： (1) 都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在 ，那么，这个方程叫
2、作 ；这条曲线叫作 .,曲线上点的坐标,曲线上,曲线的方程,方程的曲线,知识点二 求曲线方程的步骤,有序实数对(x，y),P=M|p(M),p(M),f(x,y) =0,f(x,y) =0,方程的解,思考1 求曲线方程时，建立的坐标系不同，所得的曲线方程相同吗？ 答案 不相同，但都是该曲线的方程. 思考2 如果原题没有确定坐标系，如何建立适当的坐标系？ 答案 通常选取特殊位置的点为原点，如线段的端点或中点、直角顶点处等，相互垂直的直线为坐标轴.,1.若曲线C上的点满足方程f(x，y)0，则坐标不满足方程f(x，y)0的点不在曲线C上.( ) 2.方程xy20是以A(2，0)，B(0，2)为端点
3、的线段的方程.( ) 3.化简方程“|x|y|”为“yx”是恒等变形.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一 曲线与方程概念的解读,例1 (1)已知坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上，那么 A.曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)0 B.凡坐标不适合f(x，y)0的点都不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)0 D.不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)0，有些不适合f(x，y)0,(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系： 与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy5之间的关系；
4、 第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程xy0之间的关系.,解 与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy5，但以方程xy5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy5. 第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足xy0；反之，以方程xy0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上.因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是xy0.,反思感悟 判断方程是不是曲线的方程的两个关键点： 一是检验点的坐标是否适合方程； 二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上.,跟踪训练1 判断下列命题是否正确.,即点(x0，y
5、0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点. 因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.,(2)过点A(2，0)平行于y轴的直线l的方程为|x|2.,解 不正确.直线l上的点的坐标都是方程|x|2的解. 然而，坐标满足|x|2的点不一定在直线l上， 因此|x|2不是直线l的方程，直线l的方程为x2.,例2 已知方程x2(y1)210.,题型二 曲线与方程的应用,点P(1，2)在方程x2(y1)210表示的曲线上，,引申探究 本例中曲线方程不变，若点N(a，2)在圆外，求实数a的取值范围.,解 结合点与圆的位置关系，得 a2(21)210，即a29， 解得a3， 故所求实数a的取值
6、范围为(，3)(3，).,反思感悟 判断曲线与方程关系的问题时，可以利用曲线与方程的定义，也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.,跟踪训练2 若曲线y2xy2xk0过点(a，a)(aR)，求k的取值范围.,解 曲线y2xy2xk0过点(a，a)， a2a22ak0，,命题角度1 直接法求曲线的方程 例3 一个动点P到直线x8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程.,题型三 求曲线的方程,多维探究,解 设P(x，y)，则|8x|2|PA|，,化简，得3x24y248， 故动点P的轨迹方程为3x24y248.,引申探究 若本例中的直线改为“y8”，求动点P的轨迹方程.,解
7、 设P(x，y)，则P到直线y8的距离d|y8|，,化简，得4x23y216x16y480. 故动点P的轨迹方程为4x23y216x16y480.,反思感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键：建立恰当的平面直角坐标系；找出所求动点满足的几何条件. (2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明. 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.,解 设点P(x，y)，由M(1，0)，N(1，0)，,点P的轨迹方程为x2y23(x0).,命题角度2 相关点法求曲线的方程 例4 动点
8、M在曲线x2y21上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程.,解 设P(x，y)，M(x0，y0)，,又因为M在曲线x2y21上，,所以(2x3)24y21. 所以点P的轨迹方程为(2x3)24y21.,反思感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0).,(3)代入相关动点的轨迹方程. (4)化简、整理，得所求轨迹方程.,A.xy1 B.xy1 C.y2x22 D.y2x21,解析 设平面内曲线C上的点P(x，y)，,点P在曲线x2y22上，,整理得xy1.,核心素养之直观想象,HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXI
9、ANG,由方程判断曲线,即x2y24，此时它表示直线xy10上不在圆x2y24内的部分； 当x2y24时方程表示整个圆， 所以方程对应的曲线是D.,素养评析 (1)由具体的方程判断曲线的步骤为：,(2)由方程判断曲线是建立起数与形的联系，提升数形结合能力，形成数学直观想象的素养.,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,5,1.若命题“曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是真命题，则下列命题为真命题的是 A.方程f(x，y)0所表示的曲线是曲线C B.方程f(x，y)0所表示的曲线不一定是曲线C C.f(x，y)0是曲线C的方程 D.以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲
10、线C上,解析 “曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)0的解”，但以方程f(x，y)0的解为坐标的点不一定在曲线C上，故A，C，D都为假命题，B为真命题.,1,2,3,4,5,2.已知直线l：xy30及曲线C：(x3)2(y2)22，则点M(2，1) A.在直线l上，但不在曲线C上 B.在直线l上，也在曲线C上 C.不在直线l上，也不在曲线C上 D.不在直线l上，但在曲线C上,解析 将M(2，1)代入直线l和曲线C的方程，由于2130，(23)2(12)22，所以点M既在直线l上又在曲线C上，故选B.,1,2,3,4,5,3.关于方程x(x2y21)0和x2(x2y21)20所表示的图形叙述正确
11、的是 A.表示的图形都是一条直线和一个圆 B.表示的图形都是两个点 C.前者表示一条直线和一个圆，后者表示两个点 D.前者表示两个点，后者表示一条直线和一个圆,解析 x(x2y21)0x0或x2y21， 表示直线x0和圆x2y21.,表示点(0，1)，(0，1).故选C.,化简得x2y10. 又因为A，B，C三点不能共线，所以x1，故选D.,1,2,3,4,5,4.等腰三角形底边的两个顶点分别是B(2，1)，C(0，3)，则另一个顶点A的轨迹方程是 A.x2y10(x0) B.y2x1 C.x2y10(y1) D.x2y10(x1),解析 设A(x，y)，依题意，知|AB|AC|，,1,2,3,4,5,5.已知定长为6的线段，其端点A，B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，则M点的轨迹方程为_.,x2y29,所以M的轨迹为以原点O为圆心，以3为半径的圆， 故M点的轨迹方程为x2y29.,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.定义中两个条件的理解 (1)“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点(纯粹性). (2)“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”，阐明符合条件的所有的点都在曲线上，毫无遗漏(完备性). 2.求动点的轨迹方程的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即：,