1、2018-2019学年江西省上饶市鄱阳县、 余干县、 万年县八年级 （下） 期中数学试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 1 （3 分）化简等于（ ） A B5 C D 2 （3 分）下列各式：（2； 其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3 （3 分）把根号外的因式化到根号内：a（ ） A B C D 4 （3 分）ABC 的三边长分别为 a，b，c，下列条件：ABC；A：B： C3：4：5；a2（b+c） （bc） ；a：b：c5：12：13，其中能判断ABC 是 直角三角形的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3
2、个 D4 个 5 （3 分）四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，下列条件不能判定这个四边形是 平行四边形的是（ ） AABDC，ADBC BABDC，ADBC CAOCO，BODO DABDC，ADBC 6 （3 分）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第个图形一 共有 1 个平行四边形，第个图形一共有 5 个平行四边形，第个图形一共有 11 个平 行四边形，则第个图形中平行四边形的个数为（ ） 第 2 页（共 27 页） A108 B109 C110 D111 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分
3、，共分，共 18 分）分） 7 （3 分）已知 a1，则 a2+2a+1 的值是 8 （3 分）计算：+ 9 （3 分）如图，长为 8cm 的橡皮筋放置在 x 轴上，固定两端 A 和 B，然后把中点 C 向上拉 升 3cm 到 D，则橡皮筋被拉长了 cm 10 （3 分）如图，已知ABC 中，ACBC5，AB5，三角形顶点在相互平行的三条 直线 L1，L2，L3上，且 L2，L3之间的距离为 3，则 L1，L3之间的距离是 11 （3 分）若直角三角形的两条边长为 a、b，且满足（a3）2+0，则该直角三角 形的第三边长为
4、12 （3 分）如图，小明用三个等腰三角形（图中）拼成了一个平行四边形 ABCD， 且D90C，则C 度 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 30 分）分） 13 （6 分）计算： （1） 第 3 页（共 27 页） （2） 14 （6 分）已知 a+b8，ab12 （1）a2+b2的值 （2）求的值 15 （6 分）如图，已知 E、F 是ABCD 对角线 AC 上的两点，且 BEAC，DFAC （1）请写出图中全等三角形（不再添加辅助线） （2）求证：ABECDF； 16 （6 分）如图，ABD 和BCD 都是等边三角形纸片，A
5、B2，将ABD 纸片翻折，使 点 A 落在 CD 的中点 E 处，折痕为 FG，点 F、G 分别在边 AB、AD 上 （1）求证：FBE 是直角三角形； （2）求 BF 的长 17 （6 分）如图：已知每个小正方形的边长都是 1，请你只用没有刻度的直尺按下列要求作 图 （1）在图 1 中作出线段 AB 的垂直平分线； （2）在图 2 中作出ABC 的角平分线 四、解答题（本题有四、解答题（本题有 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 18 （8 分）阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是 M（x1，y1） ，N（x2， 第 4 页（共 27 页） y2）
6、） ，M，N 两点之间的距离可以用公式 MN计算解答下 列问题： （1）若点 P（2，4） ，Q（3，8） ，求 P，Q 两点间的距离； （2）若点 A（1，2） ，B（4，2） ，点 O 是坐标原点，判断AOB 是什么三角形，并说 明理由 19 （8 分）观察下列各式，发现规律：2；3；4； （1）填空： ， ； （2）计算（写出计算过程） ：； （3）请用含自然数 n（n1）的代数式把你所发现的规律表示出来 20 （8 分）问题：在ABC 中，AB、BC、AC 三边的长分别为，求这个 三角形的面积 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长
7、为 1） ，再在网 格中画出格点ABC（即ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处） ，如图所示，这样不需 求ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积 （1）请你将ABC 的面积直接填写在横线上 （2）我们把上述求ABC 面积的方法叫做构图法若ABC 三边的长分别为a、 （a0） ，请利用图 2 的正方形网格（每个小正方形的边长为 a）画出相 应的ABC，并求出它的面积是： （3）若ABC 三边的长分别为、（m0，n0，m n） ，请运用构图法在图 3 指定区域内画出示意图，并求出ABC 的面积为： 五五.解答题（本题有解答题（本题有 2 小
8、题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分）分） 21 （9 分）我们定义：如图 1、图 2、图 3，在ABC 中，把 AB 绕点 A 顺时针旋转 （0 180）得到 AB，把 AC 绕点 A 逆时针旋转 得到 AC，连接 BC，当 + 第 5 页（共 27 页） 180时，我们称AB'C是ABC 的“旋补三角形” ，ABC边 B'C上的中线 AD 叫做ABC 的“旋补中线” ，点 A 叫做“旋补中心” 图 1、图 2、图 3 中的ABC 均是ABC 的“旋补三角形” （1）如图 2，当ABC 为等边三角形时， “旋补中线”AD 与 BC 的数量关系为：AD
9、; BC； 如图 3，当BAC90，BC8 时，则“旋补中线”AD 长为 （2）在图 1 中，当ABC 为任意三角形时，猜想“旋补中线”AD 与 BC 的数量关系， 并给予证明 22 （9 分）操作探究： 数学研究课上，老师带领大家探究折纸中的数学问题时，出示如图 1 所示的长方形 纸条 ABCD，其中 ADBC1，ABCD5然后在纸条上任意画一条截线段 MN，将 纸片沿 MN 折叠，MB 与 DN 交于点 K，得到MNK如图 2 所示： 探究： （1）若170，MKN ； （2）改变折痕 MN 位置，MNK 始终是 三角形，请说明理由； 应用： （3
10、）爱动脑筋的小明在研究MNK 的面积时，发现 KN 边上的高始终是个不变的值根 据这一发现，他很快研究出KMN 的面积最小值为，此时1 的大小可以为 （4）小明继续动手操作，发现了MNK 面积的最大值请你求出这个最大值 第 6 页（共 27 页） 六、解答题（本题六、解答题（本题 12 分）分） 23 （12 分） 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力千百年来，人们对它 的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者向常春在 1994 年构造发 现了一个新的证法 【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图 1 放置，其三边长分别为 a、b、c显然， DABB90，
11、ACDE请用 a、b、c 分别表示出梯形 ABCD、四边形 AECD、 EBC 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： S梯形ABCD ， SEBC ， S四边形AECD ， 则它们满足的关系式为 ，经化简，可得到勾股定理 【知识运用】 （1）如图 2，铁路上 A、B 两点（看作直线上的两点）相距 40 千米，C、D 为两个村庄（看作两个点） ，ADAB，BCAB，垂足分别为 A、B，AD25 千米，BC 16 千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空） ； （2）在（1）的背景下，若 AB40 千米，AD
12、24 千米，BC16 千米，要在 AB 上建造 一个供应站 P， 使得 PCPD， 请用尺规作图在图 2 中作出 P 点的位置并求出 AP 的距离 【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式+的最 小值（0x16） 第 7 页（共 27 页） 2018-2019 学年江西省上饶市鄱阳县、 余干县、 万年县八年级 （下）学年江西省上饶市鄱阳县、 余干县、 万年县八年级 （下） 期中数学试卷期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 1 （3 分）化简等于（ ） A
13、 B5 C D 【分析】根据二次根式的性质化简，得到答案 【解答】解：， 故选：C 【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键 2 （3 分）下列各式：（2； 其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据二次根式的性质对进行判断；根据二次根式的加减法对进行判 断 【解答】解： （2，所以正确； 2，所以正确； ，所以正确； （a0） ，所以错误 故选：C 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并 同类二次根式即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式 的性质，选择恰当的解题途径，往往能事
14、半功倍 3 （3 分）把根号外的因式化到根号内：a（ ） A B C D 第 8 页（共 27 页） 【分析】根据被开方数是非负数，可得 a 的取值范围，根据二次根式的性质，可得答案 【解答】解：由被开方数是非负数，得 a0 a， 故选：B 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，利用被开方数是非负数得出 a 的取值范围 是解题关键 4 （3 分）ABC 的三边长分别为 a，b，c，下列条件：ABC；A：B： C3：4：5；a2（b+c） （bc） ；a：b：c5：12：13，其中能判断ABC 是 直角三角形的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】直角三角形
15、的定义或勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法之一 【解答】解；ABC，A+B+C180，解得B90，故是直角 三角形； A：B：C3：4：5，A+B+C180，解得A45，B60， C75，故不是直角三角形； a2（b+c） （bc） ，a2+c2b2，符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； a：b：c5：12：13，a2+b2c2，符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形 能判断ABC 是直角三角形的个数有 3 个； 故选：C 【点评】本题考查了利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理来判定一个三角形是不 是直角三角形，是判定直角三角形的常见方法 5 （3 分）四边形 ABCD 中，
16、对角线 AC、BD 相交于点 O，下列条件不能判定这个四边形是 平行四边形的是（ ） AABDC，ADBC BABDC，ADBC CAOCO，BODO DABDC，ADBC 【分析】根据平行四边形判定定理进行判断 第 9 页（共 27 页） 【解答】解：A、由“ABDC，ADBC”可知，四边形 ABCD 的两组对边互相平行， 则该四边形是平行四边形故本选项不符合题意； B、由“ABDC，ADBC”可知，四边形 ABCD 的两组对边相等，则该四边形是平行 四边形故本选项不符合题意； C、由“AOCO，BODO”可知，四边形 ABCD 的两条对角线互相平分，则该四边形 是平行四边形故本
17、选项不符合题意； D、由“ABDC，ADBC”可知，四边形 ABCD 的一组对边平行，另一组对边相等， 据此不能判定该四边形是平行四边形故本选项符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形 6 （3 分）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第个图形一 共有 1 个平行四边形，第个图形一共有 5 个平行四边形，第个图形一共有 11 个平 行四边形
18、，则第个图形中平行四边形的个数为（ ） A108 B109 C110 D111 【分析】由于图5 个1+2+2，图11 个1+2+3+2+3，图191+2+3+4+2+3+4， 由此即可得到第个图形中平行四边形的个数 【解答】解：图平行四边形有 5 个1+2+2， 图平行四边形有 11 个1+2+3+2+3， 图平行四边形有 191+2+3+4+2+3+4， 图的平行四边形的个数为 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+2+3+4+5+6+7+8+9+10109 故选：B 第 10 页（共 27 页） 【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察每一个图形，找到有 关图形个数
19、的规律 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 7 （3 分）已知 a1，则 a2+2a+1 的值是 2019 【分析】将 a2+2a+1 变形为（a+1）2后，代入 a 的值求解即可 【解答】解：a， a2+2a+1（a+1）22019 故答案为：2019 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，解答本题的关键在于对原式进行恰当的变形 并熟练掌握二次根式的化简求值 8 （3 分）计算：+ 0 【分析】直接利用二次根式的性质得出 a 的值，进而化简即可 【解答】解：+都有意义， a0， 原式23+1+00 故答案为：0 【点评】此
20、题主要考查了二次根式的性质，正确得出 a 的值是解题关键 9 （3 分）如图，长为 8cm 的橡皮筋放置在 x 轴上，固定两端 A 和 B，然后把中点 C 向上拉 升 3cm 到 D，则橡皮筋被拉长了 2 cm 【分析】根据勾股定理，可求出 AD、BD 的长，则 AD+BDAB 即为橡皮筋拉长的距离 【解答】解：RtACD 中，ACAB4cm，CD3cm； 根据勾股定理，得：AD5cm； AD+BDAB2ADAB1082cm； 故橡皮筋被拉长了 2cm 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用 第 11 页（共 27 页） 10 （3 分）如图，已知ABC 中，AC
21、BC5，AB5，三角形顶点在相互平行的三条 直线 L1，L2，L3上，且 L2，L3之间的距离为 3，则 L1，L3之间的距离是 4 【分析】如图作，AML3于 M，BNL3于 N只要证明ACMCBN（AAS） ，即可 推出 AMCN3，在 RtNCB 中，利用勾股定理即可解决问题； 【解答】解：如图作，AML3于 M，BNL3于 N ACBC5，AB5， AC2+BC2AB2， ACB90， AMCBNC90， ACM+BCN90， BCN+CBN90， ACMCBN， ACMCBN（AAS） ， AMCN3， 在 RtNCB 中，BN4， 故答案为 4 【点评】本题考查全等三角形的判定和性
22、质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理 以及逆定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属 于中考常考题型 11 （3 分）若直角三角形的两条边长为 a、b，且满足（a3）2+0，则该直角三角 形的第三边长为 4 或 【分析】根据非负数的性质部分求出 a、b，分 b 为直角边和 b 为斜边两种情况，根据勾 第 12 页（共 27 页） 股定理计算 【解答】解：由题意得，a30，b50， 解得，a3，b5， 当 b 为直角边时，直角三角形的第三条边长， 当 b 为斜边时，直角三角形的第三条边长4， 故答案为：4 或 【点评】本题考查的是勾股定理、非负数的性质，直角三角
23、形的两条直角边长分别是 a， b，斜边长为 c，那么 a2+b2c2 12 （3 分）如图，小明用三个等腰三角形（图中）拼成了一个平行四边形 ABCD， 且D90C，则C 72或 度 【分析】分两种求出，分别构建方程即可解决问题； 【解答】解：由题意可知：ADDE， DAEDEA，设DAEDEAx， 四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB，CDAB， DEAEABx， CDAB2x， AEAB 时，若 BEBC， 则有BECC，即（180x）2x，解得 x36， C72， 若 ECEB，则有EBCC2x， DAB+ABC180， 4x+（180x）180， 解得 x， 第 13 页（共 2
24、7 页） C， EAEB 时，同法可得C72， BABE 时，AEBBAEx， DEB2x， C2x，DEBC+EBC， 这种情形显然不可能， 综上所述，C72或 故答案为 72或 【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用 分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 30 分）分） 13 （6 分）计算： （1） （2） 【分析】 （1）利用平方差公式和完全平方公式计算 （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可 【解答】解： （1）原式2050（52+2） 307+2
25、 37+2； （2）原式14aa+7a 20a 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并 同类二次根式即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式 的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 14 （6 分）已知 a+b8，ab12 第 14 页（共 27 页） （1）a2+b2的值 （2）求的值 【分析】 （1）由 a+b8 知（a+b）264，即 a2+2ab+b264，结合 ab12 可得答案； （2）先根据 a+b80，ab120 知 a0，b0，再根据二次根式的性质和运算法 则化简、代入计算可得 【解答】解： （1）a
26、+b8， （a+b）264，即 a2+2ab+b264， 又ab12， a2+24+b264， 则 a2+b240； （2）a+b80，ab120， a0，b0， 原式 （+） 【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解题的关键是掌握完全平方公式、二次根式 的性质和运算法则 15 （6 分）如图，已知 E、F 是ABCD 对角线 AC 上的两点，且 BEAC，DFAC （1）请写出图中全等三角形（不再添加辅助线） （2）求证：ABECDF； 第 15 页（共 27 页） 【分析】 （1）依据 E、F 是ABCD 对角线 AC 上的两点，且 BEAC，DFAC，即可得 到图中全等三角形； （2）根
27、据平行四边形的性质得到 ABCD，ABCD，推出BAEFCD，根据垂直 的定义得到AEBCFD90，根据 AAS 即可得到答案 【解答】解： （1）ABCCDA；ABECDF；CBEADF； （2）四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， BAEFCD， 又BEAC，DFAC， AEBCFD90， ABECDF（AAS） 【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，垂线的定义，全等三角形 的判定等知识点的理解和掌握，能推出证明两三角形全等的三个条件是证此题的关键 16 （6 分）如图，ABD 和BCD 都是等边三角形纸片，AB2，将ABD 纸片翻折，使 点 A 落在 C
28、D 的中点 E 处，折痕为 FG，点 F、G 分别在边 AB、AD 上 （1）求证：FBE 是直角三角形； （2）求 BF 的长 【分析】 （1）连接 BE、AE 交 FG 于点 O，利用等边三角形的性质和直角三角形的判定解 答即可； （2）根据勾股定理和翻折的性质解答即可 【解答】解： （1）连接 BE、AE 交 FG 于点 O，等边BCD 中，E 为 CD 中点， DBE30，BECD， 第 16 页（共 27 页） ABD60， FBE90， 即FBE 是直角三角形； （2）在 RtEBC 中，CE1，BC2， BE2BC2CE222123， AGF 翻折至EGF， AFEF， 在 Rt
29、EBF 中，设 BFx，则 AFEF2x， EF2BF2+BE2，即（2x）2x2+3， 解得：x， 即 BF 【点评】本题考查了折叠问题，勾股定理，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的 关键 17 （6 分）如图：已知每个小正方形的边长都是 1，请你只用没有刻度的直尺按下列要求作 图 （1）在图 1 中作出线段 AB 的垂直平分线； （2）在图 2 中作出ABC 的角平分线 【分析】 （1）构造正方形 AEBF，作对角线 EF，直线 EF 即为所求； （2）构造全等三角形：BGABGH，直线 BG 即为所求； 【解答】解： （1）构造正方形 AEBF，作对角线 EF，直线 EF 即为所求；
30、 （2）构造全等三角形：BGABGH，直线 BG 即为所求； 第 17 页（共 27 页） 【点评】本题考查作图应用与设计，线段的垂直平分线的性质，正方形的性质，全等 三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 四、解答题（本题有四、解答题（本题有 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 18 （8 分）阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是 M（x1，y1） ，N（x2， y2） ） ，M，N 两点之间的距离可以用公式 MN计算解答下 列问题： （1）若点 P（2，4） ，Q（3，8） ，求 P，Q 两点间的距离； （2）若
31、点 A（1，2） ，B（4，2） ，点 O 是坐标原点，判断AOB 是什么三角形，并说 明理由 【分析】 （1）根据两点间的距离公式计算； （2）根据勾股定理的逆定理解答 【解答】解： （1）P，Q 两点间的距离13； （2）AOB 是直角三角形， 理由如下：AO2（10）2+（20）25， BO2（40）2+（20）220， AB2（41）2+（22）225， 则 AO2+BO2AB2， AOB 是直角三角形 【点评】本题考查的是考查的是两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，如果三角形的 三边长 a，b，c 满足 a2+b2c2，那么这个三角形就是直角三角形 19 （8 分）观察下列各式，发现
32、规律：2；3；4； （1）填空： 5 ， 6 ； （2）计算（写出计算过程） ：； （3）请用含自然数 n（n1）的代数式把你所发现的规律表示出来 【分析】 （1）根据等式的变化，再写出后面两个等式即可； （2）通分后再开平方即可得出结论； （3）根据等式的变化找出变化规律“（n+1）（n1） ” ，此题得解 第 18 页（共 27 页） 【解答】解： （1）2；3；4； 5，6 故答案为：5；6 （2）2016 （3）观察，发现规律：2；3；4；， （n+1）（n1） 【点评】本题考查了实数以及规律型中数字的变化类，根据等式的变化找出变化规律是 解题的关键 20 （8 分）问题：在ABC 中
33、，AB、BC、AC 三边的长分别为，求这个 三角形的面积 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1） ，再在网 格中画出格点ABC（即ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处） ，如图所示，这样不需 求ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积 （1）请你将ABC 的面积直接填写在横线上 （2）我们把上述求ABC 面积的方法叫做构图法若ABC 三边的长分别为a、 （a0） ，请利用图 2 的正方形网格（每个小正方形的边长为 a）画出相 应的ABC，并求出它的面积是： 3a2 （3）若ABC 三边的长分别为、（m0，n0，m n） ，请运用构图法在图 3 指定区域内画出
34、示意图，并求出ABC 的面积为： 3mn 【分析】 （1）利用恰好能覆盖ABC 的长为 4，宽为 2 的小矩形的面积减去三个小直角 三角形的面积即可解答； （2）a 是直角边为 a 的等腰直角三角形的斜边，2a 是直角边长为 4a，2a 的直角 第 19 页（共 27 页） 三角形的斜边；是直角边长为 5a，a 的直角三角形的斜边； ，把它整理为一个矩形 的面积减去三个直角三角形的面积； （3） 结合 （1） ， （2）易得此三角形的三边分别是直角边长为 2m，n 的直角三角形的斜边； 直角边长为 4m，n 的直角三角形的斜边；直角边长为 2m，2n 的直角三角形的斜边同 样把它整
35、理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积 【解答】解： （1）如图 1，SABC24111423； 故填：； （2）如图 2，SABC2a5aaa2a4a5aa3a2； 故填：3a2； （3）如图 3，SABC2n4m2mn4mn2m2n3mn； 故填：3mn 【点评】本题是开放性的探索问题，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角 形表示出所求三角形的面积进行解答 五五.解答题（本题有解答题（本题有 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分）分） 21 （9 分）我们定义：如图 1、图 2、图 3，在ABC 中，把 AB 绕点 A 顺时针旋转 （0 180）得到 AB，
36、把 AC 绕点 A 逆时针旋转 得到 AC，连接 BC，当 + 180时，我们称AB'C是ABC 的“旋补三角形” ，ABC边 B'C上的中线 AD 叫做ABC 的“旋补中线” ，点 A 叫做“旋补中心” 图 1、图 2、图 3 中的ABC 均是ABC 的“旋补三角形” 第 20 页（共 27 页） （1）如图 2，当ABC 为等边三角形时， “旋补中线”AD 与 BC 的数量关系为：AD BC； 如图 3，当BAC90，BC8 时，则“旋补中线”AD 长为 4 （2）在图 1 中，当ABC 为任意三角形时，猜想“旋补中线”AD 与 BC 的数量关系， 并给予证明 【分析】 （
37、1）首先证明ADB是含有 30是直角三角形，可得 ADAB即可解 决问题； 首先证明BACBAC，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题； （2）结论：ADBC如图 1 中，延长 AD 到 M，使得 ADDM，连接 BM，CM， 首先证明四边形 ACMB是平行四边形，再证明BACABM，即可解决问题； 【解答】解： （1）如图 2 中， ABC 是等边三角形， ABBCACABAC， DBDC， ADBC， BAC60，BAC+BAC180， BAC120， BC30， 第 21 页（共 27 页） ADABBC， 故答案为 如图 3 中， BAC90，BAC+BAC180， BACBAC90
38、， ABAB，ACAC， BACBAC， BCBC， BDDC， ADBCBC4， 故答案为 4 （2）结论：ADBC 理由：如图 1 中，延长 AD 到 M，使得 ADDM，连接 BM，CM BDDC，ADDM， 四边形 ACMB是平行四边形， ACBMAC， BAC+BAC180，BAC+ABM180， BACMBA，ABAB， BACABM， 第 22 页（共 27 页） BCAM， ADBC 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判 定和性质、直角三角形 30 度角性质、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知 识，解题的关键是灵活运用所学知识解
39、决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形 解决问题，属于中考压轴题 22 （9 分）操作探究： 数学研究课上，老师带领大家探究折纸中的数学问题时，出示如图 1 所示的长方形 纸条 ABCD，其中 ADBC1，ABCD5然后在纸条上任意画一条截线段 MN，将 纸片沿 MN 折叠，MB 与 DN 交于点 K，得到MNK如图 2 所示： 探究： （1）若170，MKN 40 ； （2）改变折痕 MN 位置，MNK 始终是 等腰 三角形，请说明理由； 应用： （3）爱动脑筋的小明在研究MNK 的面积时，发现 KN 边上的高始终是个不变的值根 据这一发现，他很快研究出KMN 的面积最小值为，此时1 的
40、大小可以为 45 （4）小明继续动手操作，发现了MNK 面积的最大值请你求出这个最大值 【分析】 （1）根据矩形的性质和折叠的性质求出KNM，KMN 的度数，根据三角形内 角和即可求解； （2）利用翻折变换的性质以及两直线平行内错角相等得出 KMKN； （3） 利用当KMN 的面积最小值为时， KNBC1， 故 KNBM， 得出1NMB 第 23 页（共 27 页） 45； （4）分情况一：将矩形纸片对折，使点 B 与 D 重合，此时点 K 也与 D 重合；情况二： 将矩形纸片沿对角线 AC 对折，此时折痕即为 AC 两种情况讨论求解 【解答】解： （1）如图 1， 四边形 ABCD 是矩形，
41、 AMDN KNM1 170， KNMKMN170， MKN40 故答案为：40； （2）等腰， 理由：ABCD，1MND， 将纸片沿 MN 折叠，1KMN，MNDKMN， KMKN； 故答案为：等腰； （3）如图 2，当KMN 的面积最小值为时，KNBC1，故 KNBM， NMBKMN，KMB90， 1NMB45， 故答案为：45； （4）分两种情况： 情况一：如图 3，将矩形纸片对折，使点 B 与 D 重合，此时点 K 也与 D 重合 MKMBx，则 AM5x 由勾股定理得 12+（5x）2x2， 解得 x2.6 MDND2.6 第 24 页（共 27 页） SMNKSMND
42、12.61.3 情况二：如图 4，将矩形纸片沿对角线 AC 对折，此时折痕即为 AC MKAKCKx，则 DK5x 同理可得 MKNK2.6 MD1， SMNK12.61.3 MNK 的面积最大值为 1.3 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题） ，矩形的性质，勾股定理，三角形的面积计算， 注意分类思想的运用，综合性较强，有一点的难度 六、解答题（本题六、解答题（本题 12 分）分） 23 （12 分） 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力千百年来，人们对它 的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者向常春在 1994 年构造发 第 25 页（共 27 页） 现了一个新
43、的证法 【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图 1 放置，其三边长分别为 a、b、c显然， DABB90，ACDE请用 a、b、c 分别表示出梯形 ABCD、四边形 AECD、 EBC 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： S梯形ABCD a（a+b） ， SEBC b（ab） ， S四边形AECD c2 ， 则它们满足的关系式为 a（a+b）b（ab）+c2 ，经化简，可得到勾股定理 【知识运用】 （1）如图 2，铁路上 A、B 两点（看作直线上的两点）相距 40 千米，C、D 为两个村庄（看作两个点） ，ADAB，BCAB，垂足分别为 A、B，AD25 千米
44、，BC 16 千米，则两个村庄的距离为 8 千米（直接填空） ； （2）在（1）的背景下，若 AB40 千米，AD24 千米，BC16 千米，要在 AB 上建造 一个供应站 P， 使得 PCPD， 请用尺规作图在图 2 中作出 P 点的位置并求出 AP 的距离 【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式+的最 小值（0x16） 【分析】 【小试牛刀】根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出 【知识运用】 （1）连接 CD，作 CEAD 于点 E，根据 ADAB，BCAB 得到 BCAE， CEAB，从而得到 DEADAE24168 千米，利用勾股定理求得 CD 两地之间的 距
45、离 （2）连接 CD，作 CD 的垂直平分线角 AB 于 P，P 即为所求；设 APx 千米，则 BP （40x）千米，分别在 RtAPD 和 RtBPC 中，利用勾股定理表示出 CP 和 PD，然后 通过 PCPD 建立方程，解方程即可 第 26 页（共 27 页） 【知识迁移】根据轴对称最短路线的求法即可求出 【解答】解： 【小试牛刀】 答案为：a（a+b） ，b（ab） ，c2，a（a+b）b（ab）+c2 【知识运用】 （1）如图 2，连接 CD，作 CEAD 于点 E， ADAB，BCAB， BCAE，CEAB， DEADAE25169 千米， CD41 千米， 两个村庄相距 41 千米 故答案为 41 （2）如图 2所示： 设 APx 千米，则 BP（40x）千米， 在 RtADP 中，DP2AP2+AD2x2+242， 在 RtBPC 中，CP2BP2+BC2（40x）2+162， PCPD， x2+242（40x）