1、2018-2019 学年江西省南昌市八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）在每小题给出的四个选项中，只有分）在每小题给出的四个选项中，只有 一项是正确的，每小题选对得一项是正确的，每小题选对得 3 分，选错、不选或多选均得零分分，选错、不选或多选均得零分. 1 （3 分）下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A B C D 2 （3 分）化简的结果是（ ） A2 B2 C2 D4 3 （3 分）在四边形 ABCD 中，ABCD，BCAD，若A135，则B 的度数是（ ） A45 B55 C90 D135 4 （3 分）直角三角形
2、中，两条直角边的边长分别为 6 和 8，则斜边上的中线长是（ ） A10 B8 C6 D5 5 （3 分）若a，b，则用含 a，b 的式子表示是（ ） A2a B2b Ca+b Dab 6 （3 分）如图，点 A 的坐标为（1，2） ，点 B 的坐标为（2，1） ，有一点 C 在 x 轴上移 动，则点 C 到 A、B 两点的距离之和的最小值为（ ） A B4 C3 D 7 （3 分）三角形的三边长为 a，b，c，且满足（a+b）2c2+2ab，则这个三角形是（ ） A等边三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D锐角三角形 8 （3 分）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，从下列条件：ABB
3、C，ABC 90，ACBD，ACBD 中，再选两个做为补充，使ABCD 变为正方形下面四 种组合，错误的是（ ） 第 2 页（共 21 页） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）二次根式有意义，则 x 的取值范围是 10 （3 分）若 x+1，y1，则 x2y 的值是 11 （3 分）如图，四边形 ABCD 中，对角线 ACBD，E、F、G、H 分别是各边的中点， 若 AC8，BD6，则四边形 EFGH 的面积是 12 （3 分）在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若AC
4、B30，则AOB 的度数是 13 （3 分）如图，RtABC 中，AB9，BC6，B90，将ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为 14 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、C 的坐标分别为（10，0） ， （0，4） ，点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC 边上运动，当ODP 是腰长为 5 的等腰三角形 时，点 P 的坐标为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分）分） 第 3 页（共 21 页） 15 （6 分） （1）计算：； （2）计算： 16
5、（6 分）先化简，再求值：，其中 x4 17 （6 分）已知ABC 的三边长为 a，b，c，且 a，b，c （1）求证：C90； （2）当三角形的面积与正方形的面积相等时，求正方形的周长 18 （6 分） 如图是由 6 个形状、 大小完全相同的小矩形组成的大矩形， 其中小矩形的长为 2， 宽为 1，请用无刻度的直尺在矩形中完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图 1 中，画出一个面积为 5 的正方形； （2）在图 2 中，画出一个面积为 4 的非特殊的平行四边形 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 19 （8 分）
6、如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，EC 平分BED BEC 是否为等腰三角形？为什么？ 若 AB2，ABE45，求 BC 的长 20 （8 分）如图，ABCD 中，AB2，AD1，ADC60，将ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠，使点 D 落到 AB 边上的点 D处，折痕交 CD 边于点 E （1）求证：四边形 BCED是菱形； （2）若点 P 是直线 l 上的一个动点，请计算 PD+PB 的最小值 第 4 页（共 21 页） 21 （8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AB5，BC3，D 是 AC 的中点，CE AB，动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从点
7、B 出发向点 A 移动，连接 PD 并延长交 CE 于点 F，设点 P 移动的时间为 t 秒 （1）求 AB 与 CE 之间的距离； （2）当 t 为何值时，四边形 PBCF 为平行四边形； （3）当 PF4 时，求 t 的值 五、探究题（本大题共五、探究题（本大题共 1 小题，共小题，共 10 分）分） 22 （10 分）已知ABC 中，ABAC （1）如图 1，在ADE 中，若 ADAE，且DAEBAC，求证：CDBE； （2）如图 2，在ADE 中，若DAEBAC60，且 CD 垂直平分 AE，AD3，CD 4，求 BD 的长； （3）如图 3，在ADE 中，当 BD 垂直平分 AE 于
8、 H，且BAC2ADB 时，试探究 CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明 第 5 页（共 21 页） 2018-2019 学年江西省南昌市八年级（下）期中数学试卷学年江西省南昌市八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）在每小题给出的四个选项中，只有分）在每小题给出的四个选项中，只有 一项是正确的，每一项是正确的，每小题选对得小题选对得 3 分，选错、不选或多选均得零分分，选错、不选或多选均得零分. 1 （3 分）下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A B C D
9、 【分析】根据二次根式的定义判断即可 【解答】解：A、当 a1 时，不是二次根式； B、当 a1 时，不是二次根式； C、当1a1 时，不是二次根式； D、是二次根式； 故选：D 【点评】本题考查的是二次根式的定义，形如（a0）的式子叫做二次根式 2 （3 分）化简的结果是（ ） A2 B2 C2 D4 【分析】本题可先将根号内的数化简，再开根号，根据开方的结果为正数可得出答案 【解答】解：2 故选：C 【点评】本题考查了二次根式的化简，解此类题目要注意算术平方根为非负数 3 （3 分）在四边形 ABCD 中，ABCD，BCAD，若A135，则B 的度数是（ ） A45 B55 C90 D13
10、5 【分析】证明四边形 ABCD 是平行四边形，得出 ADBC，由平行线的性质得出A+ B180，即可得出答案 【解答】解：ABCD，BCAD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， A+B180， 第 6 页（共 21 页） B18013545； 故选：A 【点评】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证 明四边形 ABCD 是平行四边形是解题的关键 4 （3 分）直角三角形中，两条直角边的边长分别为 6 和 8，则斜边上的中线长是（ ） A10 B8 C6 D5 【分析】利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半解答 【解答
11、】解：两条直角边的边长分别为 6 和 8， 根据勾股定理得，斜边10， 所以，斜边上的中线的长105 故选：D 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用， 是基础题，熟练掌握性质是解题的关键 5 （3 分）若a，b，则用含 a，b 的式子表示是（ ） A2a B2b Ca+b Dab 【分析】直接利用二次根式的性质变形得出答案 【解答】解：a，b， ab 故选：D 【点评】此题主要考查了算术平方根，正确将二次根式变形是解题关键 6 （3 分）如图，点 A 的坐标为（1，2） ，点 B 的坐标为（2，1） ，有一点 C 在 x 轴上移 动，则点 C 到 A、B
12、 两点的距离之和的最小值为（ ） A B4 C3 D 第 7 页（共 21 页） 【分析】作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 AB 交 x 轴于点 C，则线段 AB 的长即 为点 C 到 A、B 两点的距离之和的最小值 【解答】解：作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 AB 交 x 轴于点 C， A（1，2） ， A（1，2） ， B（2，1） ， AB3 故选：A 【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知两点之间，线段最短是解答此题的 关键 7 （3 分）三角形的三边长为 a，b，c，且满足（a+b）2c2+2ab，则这个三角形是（ ） A等边三角形 B钝角三角形 C直角三角形
13、 D锐角三角形 【分析】对等式进行整理，再判断其形状 【解答】解：化简（a+b）2c2+2ab，得，a2+b2c2所以三角形是直角三角形， 故选：C 【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定 8 （3 分）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，从下列条件：ABBC，ABC 90，ACBD，ACBD 中，再选两个做为补充，使ABCD 变为正方形下面四 种组合，错误的是（ ） 第 8 页（共 21 页） A B C D 【分析】根据要判定四边形是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形进而分别分析得 出即可 【解答】解：A、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得有一个角是直
14、角 的平行四边形是矩形， 所以平行四边形 ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意； B、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得对角线相等的平行四边形是矩 形， 所以平行四边形 ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意； C、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线相等的平行四边形是矩 形， 所以不能得出平行四边形 ABCD 是正方形，错误，故本选项符合题意； D、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线互相垂直的平行四边形 是菱形， 所以平行四边形 ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意； 故选：C 【点评】本题考查了正方形的判定方法：先判定四边形是菱形，再
15、判定四边形是矩形； 或先判定四边形是矩形，再判定四边形是菱形；那么四边形一定是正方形；熟练掌握正 方形的判定方法是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）二次根式有意义，则 x 的取值范围是 x3 【分析】二次根式的被开方数 x30 【解答】解：根据题意，得 x30， 解得，x3； 故答案为：x3 【点评】考查了二次根式的意义和性质概念：式子（a0）叫二次根式性质：二 次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义 10 （3 分）若 x+1，y1，则 x2y 的值是 第 9 页（共 21 页） 【
16、分析】将 x2y 变形为 xyx，然后将 x 和 y 的值代入求解即可 【解答】解：x+1，y1， xy（） （211， x2yxyx1 故答案为： 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，解答本题的关键在于对原式进行恰当的变形 并熟练掌握二次根式的化简求值 11 （3 分）如图，四边形 ABCD 中，对角线 ACBD，E、F、G、H 分别是各边的中点， 若 AC8，BD6，则四边形 EFGH 的面积是 12 【分析】根据 E、F、G、H 分别是各边的中点，利用三角形中位线定理求出 EH 和 EF， 判定四边形 EFGH 是矩形，然后即可四边形 EFGH 的面积 【解答】解：E、F、G、H 分别
17、是四边形 ABCD 各边的中点， EHBD 且 EHBD，FGBD 且BD， EHFG，EHFG， 同理 EFHG，EFHG， 又ACBD， 四边形 EFGH 是矩形， 四边形 EFGH 的面积EFEHACBD8612 【点评】此题主要考查学生对三角形中位线定理和矩形的判定与性质等知识点的理解和 掌握，此题难度不大，属于中档题 12 （3 分）在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若ACB30，则AOB 的度数是 60 【分析】 根据矩形的对角线互相平分且相等可得 OBOC， 再根据等边对等角可得OBC ACB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算
18、即可得 解 第 10 页（共 21 页） 【解答】解：矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， OBOC， OBCACB30， AOBOBC+ACB30+3060 故答案为 60 【点评】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键 13 （3 分）如图，RtABC 中，AB9，BC6，B90，将ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为 4 【分析】设 BNx，则由折叠的性质可得 DNAN9x，根据中点的定义可得 BD3， 在 RtBND 中，根据勾股定理可得关于
19、 x 的方程，解方程即可求解 【解答】解：设 BNx，由折叠的性质可得 DNAN9x， D 是 BC 的中点， BD3， 在 RtBND 中，x2+32（9x）2， 解得 x4 故线段 BN 的长为 4 故答案为：4 【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题） ，折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方 程思想，综合性较强 14 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、C 的坐标分别为（10，0） ， （0，4） ，点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC 边上运动，当ODP 是腰长为 5 的等腰三角形 时，点 P 的坐标为 （2，4）或（3，4）或（8，4） 第 11 页
20、（共 21 页） 【分析】当ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论 【解答】解：由题意，当ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，有三种情况： （1）如答图所示，PDOD5，点 P 在点 D 的左侧 过点 P 作 PEx 轴于点 E，则 PE4 在 RtPDE 中，由勾股定理得：DE3， OEODDE532， 此时点 P 坐标为（2，4） ； （2）如答图所示，OPOD5 过点 P 作 PEx 轴于点 E，则 PE4 在 RtPOE 中，由勾股定理得：OE3， 此时点 P 坐标为（3，4） ； 第 12 页（共 21 页） （3）如答图所示，PDOD5，点 P 在点 D
21、的右侧 过点 P 作 PEx 轴于点 E，则 PE4 在 RtPDE 中，由勾股定理得：DE3， OEOD+DE5+38， 此时点 P 坐标为（8，4） 综上所述，点 P 的坐标为： （2，4）或（3，4）或（8，4） ； 故答案为： （2，4）或（3，4）或（8，4） ； 【点评】本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用，符合题意的等腰三角形有三种 情形，注意不要遗漏 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分）分） 15 （6 分） （1）计算：； （2）计算： 【分析】 （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先利
22、用二次根式的除法法则运算，再分母有理化和利用负整数指数的意义计算，然 后合并即可 【解答】解： （1）原式（+） ； （2）原式（+1）+ 41+ 3 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并 同类二次根式即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式 第 13 页（共 21 页） 的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 16 （6 分）先化简，再求值：，其中 x4 【分析】先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可 得 【解答】解：原式 ， 当 x4 时， 原式 【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题
23、的关键是熟练掌握二次根式的混合运 算顺序和运算法则 17 （6 分）已知ABC 的三边长为 a，b，c，且 a，b，c （1）求证：C90； （2）当三角形的面积与正方形的面积相等时，求正方形的周长 【分析】 （1）计算 a2+b2、c2的值相等即可说明C90； （2）设正方形的边长为 x，则有，用 a、b 表示出 x 即可 【解答】证明： （1）， C90 （2）解：设正方形的边长为 x，则有， 正方形的周长是 4x 【点评】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为 形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形必须满足较小两边平方的和等于最大边 第 14 页（共 21
24、 页） 的平方才能做出判断 18 （6 分） 如图是由 6 个形状、 大小完全相同的小矩形组成的大矩形， 其中小矩形的长为 2， 宽为 1，请用无刻度的直尺在矩形中完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图 1 中，画出一个面积为 5 的正方形； （2）在图 2 中，画出一个面积为 4 的非特殊的平行四边形 【分析】 （1）直接利用正方形的判定方法得出答案； （2）直接利用平行四边形的判定方法得出答案 【解答】解： （1）如图正方形 ABCD； （2）如图平行四边形 EFGH 【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握平行四边形以及正方形的判定方法 是解题关键 四、解答题（本大题共
25、四、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 第 15 页（共 21 页） 19 （8 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，EC 平分BED BEC 是否为等腰三角形？为什么？ 若 AB2，ABE45，求 BC 的长 【分析】由矩形的性质得出A90，ADBC，证出BCECED，再由已知条 件得出BCEBEC，即可得出BEC 是等腰三角形； 根据三角函数求出 BE，即可得出 BC 【解答】解：BEC 为等腰三角形；理由如下： 四边形 ABCD 是矩形， A90，ADBC， BCECED， EC 平分BED， BECCED， BCEBEC，
26、 BCBE， 即BEC 是等腰三角形； ABE45，A90， BEAB2， BCBE2 【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定以及三角函数；熟练掌握矩形的性 质，并能进行推理计算是解决问题的关键 20 （8 分）如图，ABCD 中，AB2，AD1，ADC60，将ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠，使点 D 落到 AB 边上的点 D处，折痕交 CD 边于点 E （1）求证：四边形 BCED是菱形； （2）若点 P 是直线 l 上的一个动点，请计算 PD+PB 的最小值 第 16 页（共 21 页） 【分析】 （1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出DAEEADDEA DEA，进而
27、利用平行四边形的判定方法得出四边形 DADE 是平行四边形，进而求 出四边形 BCED是平行四边形，根据折叠的性质得到 ADAD，然后又菱形的判定 定理即可得到结论； （2）由四边形 DADE 是平行四边形，得到DADE 是菱形，推出 D 与 D关于 AE 对称，连接 BD 交 AE 于 P，则 BD 的长即为 PD+PB 的最小值，过 D 作 DGBA 于 G， 解直角三角形得到 AG，DG，根据勾股定理即可得到结论 【解答】证明： （1）将ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠，使点 D 落到 AB 边上的点 D 处， DAEDAE，DEADEA，DADE， DEAD， DEAEAD， D
28、AEEADDEADEA， DADDED， 四边形 DADE 是平行四边形， DEAD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABDC，ABDC， CEDB，CEDB， 四边形 BCED是平行四边形； ADAD， AB2，AD1， ADADBDCEBC1， BCED是菱形， 第 17 页（共 21 页） （2）四边形 DADE 是菱形， D 与 D关于 AE 对称， 连接 BD 交 AE 于 P，则 BD 的长即为 PD+PB 的最小值， 过 D 作 DGBA 于 G， CDAB， DAGCDA60， AD1， AG，DG， BG， BD， PD+PB 的最小值为 【点评】本题考查了平行四边形的性
29、质，最短距离问题，勾股定理，菱形的判定和性质， 正确的作出辅助线是解题的关键 21 （8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AB5，BC3，D 是 AC 的中点，CE AB，动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从点 B 出发向点 A 移动，连接 PD 并延长交 CE 于点 F，设点 P 移动的时间为 t 秒 （1）求 AB 与 CE 之间的距离； （2）当 t 为何值时，四边形 PBCF 为平行四边形； （3）当 PF4 时，求 t 的值 【分析】 （1）根据勾股定理，可得 AB 的长，根据面积的不同表示方法，可得答案； 第 18 页（共 21 页） （2）根据两组对边分别平行的四边
30、形是平行四边形，可得答案； （3）根据已知条件判定CDFADP，即可得出 APCF，进而得到四边形 APCF 为 平行四边形，依据 ACPF，即可得到四边形 APCF 为矩形再根据勾股定理即可得到 PB 的长，进而得出 t1.8 【解答】解： （1）在 RtABC 中，AB5，BC3， 如图，过 C 作 CHAB 于 H，则由， 得 CEAB， AB 与 CE 之间的距离为 2.4 （2）CEAB， 当 PFBC 时，四边形 PBCF 是平行四边形 D 为 AC 的中点， P 为 AB 的中点 tPBAB2.5 （3）CEAB， DCFDAP，DFCDPA D 为 AC 的中点， CDAD，
31、CDFADP（AAS） APCF， 四边形 APCF 为平行四边形 AC4，PF4 ACPF 四边形 APCF 为矩形 CPAB 第 19 页（共 21 页） 在 RtCPB 中，CP2.4，BC3， t1.8 【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的运用， 熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键 五、探究题（本大题共五、探究题（本大题共 1 小题，共小题，共 10 分）分） 22 （10 分）已知ABC 中，ABAC （1）如图 1，在ADE 中，若 ADAE，且DAEBAC，求证：CDBE； （2）如图 2，在ADE 中，若DAEBAC60，且 CD
32、垂直平分 AE，AD3，CD 4，求 BD 的长； （3）如图 3，在ADE 中，当 BD 垂直平分 AE 于 H，且BAC2ADB 时，试探究 CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明 【分析】 （1）求出DACBAE，再利用“边角边”证明ACD 和ABE 全等，再根 据全等三角形对应边相等即可得证； （2）连接 BE，先求出ADE 是等边三角形，再根据全等三角形对应边相等可得 BE CD，全等三角形对应角相等可得BEACDA30，然后求出BED90，再利 用勾股定理列式进行计算即可得解； （3）过 B 作 BFBD，且 BFAE，连接 DF，先求出四边形 ABFE 是平行四边形，根据
33、平行四边形对边相等可得 ABEF，设AEFx，AEDy，根据平行四边形的邻角互 补与等腰三角形的性质求出CAD，从而得到CADFED，然后利用“边角边”证 明ACD 和EFD 全等，根据全等三角形对应边相等可得 CDDF，然后利用勾股定理 列式计算即可得解 【解答】 （1）如图 1，证明：DAEBAC， 第 20 页（共 21 页） DAE+CAEBAC+CAE， 即DACBAE 在ACD 与ABE 中， ， ACDABE（SAS） ， CDBE； （2）连接 BE， CD 垂直平分 AE ADDE， DAE60， ADE 是等边三角形， CDAADE6030， ABEACD， BECD4，B
34、EACDA30， BEDE，DEAD3， BD5； （3）如图，过 B 作 BFBD，且 BFAE，连接 DF， 则四边形 ABFE 是平行四边形， ABEF， 设AEFx，AEDy， 则FEDx+y， BAE180x，EADAEDy，BAC2ADB1802y， CAD360BACBAEEAD360（1802y）（180x）y 第 21 页（共 21 页） x+y， FEDCAD， 在ACD 和EFD 中， ， ACDEFD（SAS） ， CDDF， 而 BD2+BF2DF2， CD2BD2+4AH2 【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与 性质，线段垂直平分线上的点到线 段两端点的距离相等的性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，作辅 助线构造出全等三角形与直角三角形是解题的关键