1、33 全称命题与特称命题的否定全称命题与特称命题的否定 一、选择题 1下列命题中，真命题的个数是( ) 存在实数 x， 使得 x220； 有些角的正弦值大于 1； 有些函数既是奇函数又是偶函数 A0 B1 C2 D3 考点 含有一个量词的命题 题点 含一个量词的命题真假判断 答案 B 解析 x222，故是假命题；xR，sin x1，故是假命题；f(x)0 既是奇函数又是 偶函数，所以是真命题故选 B. 2命题“对任意的 xR，x3x210”的否定是( ) A存在 xR，x3x210 B存在 xR，x3x210 C存在 xR，x3x210 D对任意的 xR，x3x210 考点 全称量词的否定 题
2、点 含全称量词的命题的否定 答案 C 解析 由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在 xR，x3 x210”故选 C. 3已知命题 p：存在 a(，0)，a22a30，那么命题 p 的否定是( ) A存在 a(0，)，a22a30 B存在 a(，0)，a22a30 C对任意 a(0，)，a22a30 D对任意 a(，0)，a22a30 考点 存在量词的否定 题点 含存在量词的命题的否定 答案 D 解析 易知命题 p 的否定为：对任意 a(，0)，a22a30，故选 D. 4已知 p：任意 xR，ax22x30，如果 p 为假命题，那么 a 的取值范围是( ) Aa1 3
3、 B0a 1 3 Ca 1 3 Da 1 3 考点 全称量词的否定 题点 含全称量词的命题的真假求参数的取值范围 答案 C 解析 显然当 a0 时，满足题意； 当 a0 时，由 0，得 0a1 3； 当 a0 时，满足题意 所以 a 的取值范围是 ，1 3 . 5下列命题中，假命题是( ) A任意 xR,2x 10 B任意 xN，(x1)20 C存在 xR，lg x0 恒成立，而 y2x 1的图像是将 y2x的图像沿 x 轴向右平移 1 个单位长度，函数的值域不变，故 2x 10 恒成立，A 为真命题；当 x1 时，(x1)20， 故 B 为假命题；当 0n C存在 nN，f(n)N且 f(n
4、)n D存在 nN，f(n)N或 f(n)n 考点 全称量词的否定 题点 含全称量词的命题的否定 答案 D 解析 “f(n)N且 f(n)n”的否定为“f(n)N或 f(n)n”，全称命题的否定为特称命题， 故选 D. 7已知 a0，函数 f(x)ax2bxc，若 x0满足关于 x 的方程 2axb0，则下列选项中的命 题为假命题的是( ) A存在 x1R，f(x1)f(x0) B存在 x1R，f(x1)f(x0) C任意 xR，f(x)f(x0) D任意 xR，f(x)f(x0) 考点 含有一个量词的命题 题点 含一个量词的命题真假判断 答案 C 解析 当 a0 时，函数 f(x)ax2bx
5、c 的图像为开口向上的抛物线，若 x0满足关于 x 的方 程 2axb0， 则 x0 b 2a为抛物线顶点的横坐标， f(x)minf(x0)， 故对于任意 xR， f(x)f(x0) 成立，从而 A，B，D 为真命题，C 为假命题 二、填空题 8 若命题： “存在 xR， 使得 x2(1a)x10”是真命题， 则实数 a 的取值范围是_ 考点 含有一个量词的命题 题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围 答案 (，1)(3，) 解析 由题意得 (1a)240，解得 a1 或 a3. 9命题“至少有一个正实数 x 满足方程 x22(a1)x2a60”的否定是_ 考点 存在量词的否定 题点 含
6、存在量词的命题的否定 答案 任意 x(0，)，x22(a1)x2a60 10设命题 p：任意 xR，x2ax20，若 p 为假命题，则实数 a 的取值范围是_ 考点 全称量词的否定 题点 含全称量词的命题的真假求参数的取值范围 答案 (，) 解析 命题 p 的否定：存在 xR，x2ax20 为真命题，显然 aR. 11命题“对任意 xR，都有|x2|x4|3”的否定是_. 考点 全称量词的否定 题点 含全称量词的命题的否定 答案 存在 xR，|x2|x4|3 三、解答题 12若命题“任意 x1，)，x22ax2a”是真命题，求实数 a 的取值范围 考点 简单逻辑联结词的综合应用 题点 由含量词
7、的复合命题的真假求参数的取值范围 解 x22ax2a，即 x22ax2a0， 令 f(x)x22ax2a， 所以全称命题转化为“任意 x1，)，f(x)0 恒成立”， 所以 0 或 4a242a0， a1， f10， 即2a1 或3a2，所以3a1. 故所求实数 a 的取值范围为3,1 13已知 p：任意 a(0，b(bR 且 b0)，函数 f(x) 3sin x a 3 的周期不大于 4. (1)写出命题 p 的否定； (2)当命题 p 的否定是假命题时，求实数 b 的最大值 考点 全称量词的否定 题点 全称量词的命题的否定 解 (1)命题 p 的否定：存在 a(0，b(bR 且 b0)，
8、函数 f(x) 3sin x a 3 的周期大于 4. (2)由于命题 p 的否定是假命题，所以 p 是真命题， 所以任意 a(0，b，2 1 a 4 恒成立， 解得 a2，所以 0b2，所以实数 b 的最大值是 2. 四、探究与拓展 14关于 x 的函数 yx2(a1)x2a 对于任意 a1,1的值都有 y0，则实数 x 的取值 范围为_ 考点 简单逻辑联结词的综合应用 题点 由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围 答案 (， 2)( 2，) 解析 设 f(a)x2(a1)x2a，则有 f(a)(2x)ax2x，a1,1， 当 a1,1时，yf(a)0 恒成立， 对 a 的系数讨论如下：
9、当 x2 时，f(a)20 显然成立； 当 x2 时，由 f(a)0，a1,1恒成立，得 f10， f10， 即 x220， x22x20， 解得 x 2或 x 2. 综上，x 2或 x 2. 15给出两个命题，命题甲：关于 x 的不等式 x2(a1)xa20 的解集为，命题乙：函 数 y(2a2a)x为增函数，分别求出符合下列条件的实数 a 的取值范围 (1)甲、乙中至少有一个是真命题； (2)甲、乙中有且只有一个真命题； 考点 简单逻辑联结词的综合应用 题点 由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围 解 当甲命题为真时，(a1)24a20， 解得 a1 3或 a1. 当乙命题为真时，2a2a1，解得 a1 或 a1 2. (1)甲、乙中至少有一个是真命题时， a 的取值范围是 ，1 2 1 3， . (2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况： 当甲真乙假时，a 的取值范围是 1 3，1 ； 当甲假乙真时，a 的取值范围是 1，1 2 . 所以，实数 a 的取值范围为 1，1 2 1 3，1 .