1、 2 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 一、选择题 1.“x 为无理数”是“x2为无理数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点 充分、必要条件的判断 题点 必要不充分条件的判断 答案 B 解析 当 x2为无理数时，x 为无理数. 2.设 nN，则“数列a2n为等比数列”是“数列an为等比数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 B 3.设 xR，则 x 的一个必要不充分条件是( ) A.x4 B.x3 D.xa1”是“数列an为递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必
2、要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点 充要条件的概念及判断 题点 充要条件的判断 答案 C 解析 等差数列an为递增数列等价于 anb 成立的充分不必要条件是( ) A.ab1 B.ab1 C.a2b2 D.a3b3 考点 充分、必要条件的判断 题点 充分不必要条件的判断 答案 A 解析 由 ab1b，从而 ab1ab； 反之，如 a4，b3.5，则 43.5 43.51， 故 abab1，故 A 正确. 7.已知 p：x22x3b2”的充要条件； “x3”是“x22x30”的必要不充分条件； “ABB”是“A”的必要不充分条件. A.3 B.2 C.1 D.0 考点 充
3、要条件的概念及判断 题点 充要条件的判断 答案 D 解析 “m 为实数”是“m 为有理数”的必要不充分条件，所以原说法不正确； “ab”不是“a2b2”的充要条件.反例：a0，b1，ab 推不出 a2b2，所以原说法不 正确； “x3”是“x22x30”的充分不必要条件，所以原说法不正确； “ABB”是“A”的既不充分又不必要条件，所以原说法不正确. 二、填空题 9.设实数 a 为常数，则函数 f(x)x2xa(xR)存在零点的充要条件是_. 考点 充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件 答案 a1 4 解析 函数 f(x)x2xa(xR)存在零点， x2xa0 的判别式 14a0，a1 4
4、， 函数 f(x)x2xa(xR)存在零点的充要条件是 a1 4. 10.已知 p：x2x20，q：xm.若 p 的一个充分不必要条件是 q，则实数 m 的取值范围是 _. 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 答案 1，) 解析 由 x2x20，解得 x1 或 x2 且 y3”是“xy5”的充分条件； “b24ac3 时，xy5 成立，反之不一定，所以“x2 且 y3”是“xy5”的 充分不必要条件，故为真命题； 不等式的解集为 R 的充要条件是 a0，所以 xy1 必成立，反之不然，所以“xy 1”是“lg xlg y0”的必要不充分条件，故为真命题. 综上可
5、知，真命题是. 三、解答题 12.判断下列各题中，p 是 q 的什么条件. (1)p：|x|y|，q：xy； (2)p：ABC 是直角三角形，q：ABC 是等腰三角形； (3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形； (4)p：圆 x2y2r2(r0)与直线 axbyc0 相切，q：c2(a2b2)r2. 考点 充要条件的概念及判断 题点 充要条件的判断 解 (1)|x|y|xy，但 xy|x|y|， p 是 q 的必要不充分条件. (2)ABC 是直角三角形ABC 是等腰三角形， ABC 是等腰三角形ABC 是直角三角形， p 是 q 的既不充分又不必要条件. (3)四边形的对角线互相
6、平分四边形是矩形， 四边形是矩形四边形的对角线互相平分， p 是 q 的必要不充分条件. (4)若圆 x2y2r2(r0)与直线 axbyc0 相切， 则圆心(0，0)到直线 axbyc0 的距离等于 r， 即 r |c| a2b2，c 2(a2b2)r2； 反过来，若 c2(a2b2)r2，则 |c| a2b2r 成立， 说明圆 x2y2r2(r0)的圆心(0，0)到直线 axbyc0 的距离等于 r， 即圆 x2y2r2(r0)与直线 axbyc0 相切， 故 p 是 q 的充要条件. 13.已知 p：2x23x20，q：x22(a1)xa(a2)0，且命题 p 是命题 q 的充分不必要
7、条件，求实数 a 的取值范围. 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 解 令 Mx|2x23x20x|(2x1)(x2)0 x x1 2或x2 ，Nx|x22(a1)xa(a2)0 x|(xa)x(a2)0x|xa2 或 xa. 由已知 pq 且 qp，得 MN， a21 2， a1 2， a2， 解得3 2a0q：m6p； 对于，当 f(x)0 时，qp； 对于，若 ，k 2(kZ)，则有 cos cos ，但没有 tan tan ，pq； 对于，p：ABAp：ABq：UBUA. 15.设 p： 3x4y120， 2xy80， x2y60， q：x2y2r2(r
8、0)，若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 r 的取 值范围. 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 解 设 p，q 对应的集合分别为 A，B，则集合 A 表示的平面区域如图中阴影部分所示， 集合 B 表示到原点距离大于 r 的点的集合，即圆 x2y2r2外的点的集合. 问题可转化为利用 AB 求解. 因为 AB 表示区域 A 内的点到原点的最短距离大于 r， 所以结合图像可知，只需直线 3x4y120 上的点到原点的最短距离大于或等于 r. 因为原点 O 到直线 3x4y120 的距离 d |12| 3242 12 5 ， 所以实数 r 的取值范围为 0，12 5 .