1、4.3 逻辑联结词逻辑联结词“非非” 学习目标 1.了解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“非 p”命题.2.了解逻辑联 结词“且”“或”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别. 知识点一 逻辑联结词“非” 1.命题的否定： 一般地， 对一个命题 p 加以否定， 就得到一个新命题， 记作綈 p， 读作“非 p”. 2.命题綈 p 的真假：若 p 是真命题，则綈 p 必是假命题；若 p 是假命题，则綈 p 必是真命题. 知识点二 命题的否定与否命题 1.命题的否定：“非”命题是对原命题结论的否定. “非 p”是否定命题 p 的结论，不否定命题 p 的条件，这也是“非 p”与否命
2、题的区别； p 与“非 p”的真假必定相反； “非 p”必须包含 p 的所有对立面. 2.否命题：求一个命题的否命题时，要对原命题的条件和结论同时否定. 1.命题的否定和否命题是一回事.( ) 2.命题“方程 x230 没有有理根”的否定为“方程 x230 有有理根”.( ) 3.命题“若 a2b2，则|a|b|”的否定为“若 a2b2，则|a|b|”.( ) 4.一个命题的否定的否定仍是原命题.( ) 题型一 綈 p 命题及构成形式 例 1 写出下列命题的否定形式. (1)面积相等的三角形都是全等三角形； (2)若 m2n20，则实数 m，n 全为零； (3)若 xy0，则 x0 或 y0.
3、 考点 “非”的概念 题点 写出命题 p 的否定綈 p 解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形. (2)若 m2n20，则实数 m，n 不全为零. (3)若 xy0，则 x0 且 y0. 反思感悟 綈 p 是对命题 p 的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈 p 的关键，如“都” 的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”，“p 且 q”的否定是“(綈 p)或(綈 q)”等. 跟踪训练 1 分别写出下列命题的“非 p”形式. (1)p：函数 yx2与函数 yln x 没有交点； (2)p： 是有理数； (3)p：在ABC 中，若 AB，则 sin Asin B. 考点 “非”的概念
4、 题点 写出命题 p 的否定綈 p 解 (1) 綈 p：函数 yx2与函数 yln x 有交点； (2) 綈 p： 不是有理数； (3) 綈 p：在ABC 中，若 AB，则 sin Asin B. 题型二 复合命题的真假判断 例 2 分别判断由下列命题构成的“p 且 q”“p 或 q”“非 p”形式的命题的真假. (1)p：函数 yx2和函数 y2x的图像有两个交点； q：函数 y2x是增函数. (2)p：77；q：77. 考点 綈 p 形式命题真假性的判断 题点 判断綈 p 的真假 解 (1)因为命题 p 是假命题，命题 q 是真命题，所以 p 且 q 为假命题，p 或 q 为真命题，非 p
5、 为真命题. (2)因为命题 p 是假命题，命题 q 是真命题，所以 p 且 q 为假命题，p 或 q 为真命题，非 p 为 真命题. 引申探究 在本例条件不变的前提下， 对(1)判断“(綈 p)且 q”“(綈 q)或 p”的真假； 对(2)判断“p 且(綈 q)”“p 或(綈 q)”“(綈 p)且(綈 q)”“(綈 p)或(綈 q)”的真假. 解 (1)因为命题 p 是假命题，命题 q 是真命题，所以綈 p 是真命题，綈 q 是假命题，即(綈 p)且 q 为真命题，(綈 q)或 p 为假命题. (2)因为命题 p 是假命题，命题 q 是真命题， 所以綈 p 是真命题，綈 q 是假命题， 所以
6、 p 且(綈 q)为假命题，p 或(綈 q)为假命题； (綈 p)且(綈 q)为假命题，(綈 p)或(綈 q)为真命题. 反思感悟 判断复合命题真假的关键是准确判断简单命题的真假. 跟踪训练 2 已知命题 p：21，2，3，q：21，2，3，则下列结论： p 或 q 为真；p 或 q 为假；p 且 q 为真；p 且 q 为假；非 p 为真；非 q 为假.其中 所有正确结论的序号是_. 考点 “非 p”形式命题真假性的判断 题点 判断非 p 的真假 答案 解析 p 为假命题，q 为真命题. 题型三 命题的否定的真假应用 例 3 已知命题 p：方程 x22ax10 有两个大于1 的实数根，命题 q
7、：关于 x 的不等式 ax2ax10 的解集为 R，若“p 或 q”与“綈 q”同时为真命题，求实数 a 的取值范围. 考点 “非 p”形式命题真假性的判断 题点 由“非 p”命题的真假求参数的取值范围 解 命题 p：方程 x22ax10 有两个大于1 的实数根，等价于 4a240， x1x22， x11x210， 即 a210， 2a2 22a0， ，解得 a1. 命题 q：关于 x 的不等式 ax2ax10 的解集为 R， 等价于 a0 或 a0， 0， 0， a24a0， 解得 0a4，所以 0a4. 因为“p 或 q”与“綈 q”同时为真命题，即 p 真且 q 假， 所以 a1， a0
8、或a4， 解得 a1. 故实数 a 的取值范围是(，1. 反思感悟 求满足 p 假成立的参数的范围，应先求 p 真成立的参数的范围，再求其补集. 跟踪训练 3 已知命题 p：|x2x|2，q：xZ，若“p 且 q”与“綈 p”同时为假命题，则 x 的取值范围为_. 考点 “非 p”形式命题真假性的判断 题点 由“非 p”命题的真假求参数的取值范围 答案 x|1x2 且 x0，1 解析 由 p 得1x2，又 q：xZ，得 p 且 q：x1，0，1，2.綈 p：x2， 因为“p 且 q”与“綈 p”同时为假，所以 p 真且 q 假，故1x2 且 x0，1. 1.若 p 是真命题，q 是假命题，则(
9、 ) A.p 且 q 是真命题 B.p 或 q 是假命题 C.綈 p 是真命题 D.綈 q 是真命题 考点 “非 p”形式命题真假性的判断 题点 判断綈 p 的真假 答案 D 解析 因为 p 是真命题， q 是假命题， 所以 p 且 q 为假命题， p 或 q 为真命题， 綈 p 为假命题， 綈 q 为真命题.故选 D. 2.命题 p：方程 x2ax10 无实数根，綈 p 为假命题，则 a 的取值范围为( ) A.(2，) B.(，2) C.(2，2) D.(，2)(2，) 考点 “非 p”形式命题真假性的判断 题点 由“非 p”命题的真假求参数的取值范围 答案 C 解析 因为綈 p 为假命题
10、，所以 p 为真命题， 得 (a)240，即2a2，故选 C. 3.命题“若ab， 则2a2b”的否命题是_， 命题的否定是_. 考点 “非”的概念 题点 写出命题 p 的否定綈 p 答案 若 ab，则 2a2b 若 ab，则 2a2b 4.已知 a0，且 a1，设 p：函数 yloga(x1)在(0，)上是减少的，q：抛物线 yx2 (2a3)x1 与 x 轴交于不同的两点， 若(綈 p)且 q 为真命题， 则实数 a 的取值范围为_. 考点 “非 p”形式命题真假性的判断 题点 由“非 p”命题的真假求参数的取值范围 答案 5 2， 解析 由函数 yloga(x1)在(0，)上是减少的，
11、知 0a1. 若抛物线 yx2(2a3)x1 与 x 轴交于不同的两点， 则 (2a3)240，即 a1 2或 a 5 2. (綈 p)且 q 为真命题，p 为假命题，且 q 为真命题， 于是有 a1， a1 2或a 5 2， a5 2. 所求实数 a 的取值范围是 5 2， . 5.已知 p：方程 x2(a25a4)x10 的一个根大于 1，一个根小于 1，q：函数 y 2 (22) log(2) aa x 在(2，)上是减函数.若 p 或 q 为真，p 且 q 为假，求 a 的取值范围. 考点 “p 且 q”“p 或 q”形式命题真假性的判断 题点 由“p 且 q”“p 或 q”形式命题的
12、真假求参数的取值范围 解 设方程 x2(a25a4)x10 的两根为 x1，x2， 由题意不妨设 x11，x21，所以(x11)(x21)0， 即 x1x2(x1x2)10. 又因为 x1x2(a25a4)，x1x21， 所以 a25a40，所以 1a4，即 p：1a4. 若函数 y 2 (22) log(2) aa x 在(2，)上是减函数， 则 a22a21，解得 a1 或 a3， 即 q：a1 或 a3. 因为 p 或 q 为真，p 且 q 为假，所以 p，q 必为一真一假. 当 p 真 q 假时，a 的取值范围为 1a3； 当 p 假 q 真时，a 的取值范围为 a1 或 a4. 综上所述，a 的取值范围为(，1)(1，34，). 1.若原命题为“若 A，则 B”，则其否定为“若 A，则綈 B”，条件不变，否定结论；其否命 题为“若綈 A，则綈 B”，既要否定条件，又要否定结论. 2.带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定， 应注意对逻辑联结词进行否定， 即“或” 的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”.