1、 8.4 直线直线、平面平行的判定与性质平面平行的判定与性质 最新考纲 考情考向分析 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发 点，认识和理解空间中线面平行的有关性 质与判定定理. 2.能运用公理、 定理和已获得的结论证明一 些有关空间图形的平行关系的简单命题. 直线、平面平行的判定及其性质是高考中的 重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、 面面平行的判定及其应用等内容题型主要 以解答题的形式出现，解题要求有较强的推 理论证能力，广泛应用转化与化归的思想. 1线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线 平行，则该直线与此平面平行(简
2、记为 “线线平行线面平行”) la a l l 性质 定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直线 平行(简记为“线面平行线线平行”) l l b lb 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面内的两条相交直线与另一 个平面平行，则这两个平面平行(简 记为“线面平行面面平行”) a b abP a b 性质 定理 如果两个平行平面同时和第三个平 面相交，那么它们的交线平行 a b ab 知识拓展 重要结论： (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a，a，则 . (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a，b，
3、则 ab. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若 ，则 . 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面( ) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行( ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面( ) (5)若直线 a 与平面 内无数条直线平行，则 a.( ) (6)若 ，直线 a，则 a.( ) 题组二 教材改编 2P61A 组 T1(1)下列命题中正确的是(
4、) A若 a，b 是两条直线，且 ab，那么 a 平行于经过 b 的任何平面 B若直线 a 和平面 满足 a，那么 a 与 内的任何直线平行 C平行于同一条直线的两个平面平行 D若直线 a，b 和平面 满足 ab，a，b，则 b 答案 D 解析 A 中，a 可以在过 b 的平面内；B 中，a 与 内的直线也可能异面；C 中，两平面可相 交；D 中，由直线与平面平行的判定定理知 b，正确 3P62A 组 T3如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 DD1的中点，则 BD1与平面 AEC 的位置关系为_ 答案 平行 解析 连接 BD，设 BDACO，连接 EO， 在BDD1中， E 为
5、 DD1的中点， O 为 BD 的中点， 所以 EO 为BDD1的中位线， 则 BD1EO， 而 BD1平面 ACE，EO平面 ACE， 所以 BD1平面 ACE. 题组三 易错自纠 4若平面 平面 ，直线 a平面 ，点 B，则在平面 内且过 B 点的所有直线中( ) A不一定存在与 a 平行的直线 B只有两条与 a 平行的直线 C存在无数条与 a 平行的直线 D存在唯一与 a 平行的直线 答案 A 解析 当直线 a 在平面 内且过 B 点时，不存在与 a 平行的直线，故选 A. 5设 ， 为三个不同的平面，a，b 为直线，给出下列条件： a，b，a，b；，； ，；a，b，ab. 其中能推出
6、的条件是_(填上所有正确的序号) 答案 解析 在条件或条件中， 或 与 相交； 由 ，条件满足； 在中，a，abb，又 b，从而 ，满足 6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形 EFGH 为截面，则四边形 EFGH 的形状为 _ 答案 平行四边形 解析 平面 ABFE平面 DCGH， 又平面 EFGH平面 ABFEEF，平面 EFGH平面 DCGHHG， EFHG.同理 EHFG， 四边形 EFGH 是平行四边形 题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点 1 直线与平面平行的判定 典例 如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ABBC1 2AD，E，F，H 分别为线段 AD， PC
7、，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点 (1)求证：AP平面 BEF； (2)求证：GH平面 PAD. 证明 (1)连接 EC， ADBC，BC1 2AD， BC 綊 AE， 四边形 ABCE 是平行四边形， O 为 AC 的中点 又 F 是 PC 的中点，FOAP， 又 FO平面 BEF，AP平面 BEF，AP平面 BEF. (2)连接 FH，OH，F，H 分别是 PC，CD 的中点， FHPD，又 PD平面 PAD，FH平面 PAD， FH平面 PAD. 又 O 是 BE 的中点，H 是 CD 的中点， OHAD，又 AD平面 PAD，OH平面 PAD， O
8、H平面 PAD. 又 FHOHH，平面 OHF平面 PAD. 又 GH平面 OHF，GH平面 PAD. 命题点 2 直线与平面平行的性质 典例 (2017 长沙调研)如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2 17.点 G，E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH平面 ABCD， BC平面 GEFH. (1)证明：GHEF； (2)若 EB2，求四边形 GEFH 的面积 (1)证明 因为 BC平面 GEFH，BC平面 PBC， 且平面 PBC平面 GEFHGH，所以 GHBC. 同理可证 EFBC，因此 GHEF. (2)解 如
9、图， 连接 AC， BD 交于点 O， BD 交 EF 于点 K， 连接 OP， GK. 因为 PAPC，O 是 AC 的中点，所以 POAC， 同理可得 POBD. 又 BDACO，且 AC，BD底面 ABCD， 所以 PO底面 ABCD. 又因为平面 GEFH平面 ABCD， 且 PO平面 GEFH，所以 PO平面 GEFH. 因为平面 PBD平面 GEFHGK， 所以 POGK，且 GK底面 ABCD， 从而 GKEF. 所以 GK 是梯形 GEFH 的高 由 AB8，EB2 得 EBABKBDB14， 从而 KB1 4DB 1 2OB，即 K 为 OB 的中点 再由 POGK 得 GK
10、1 2PO， 即 G 是 PB 的中点，且 GH1 2BC4. 由已知可得 OB4 2， PO PB2OB2 68326， 所以 GK3. 故四边形 GEFH 的面积 SGHEF 2 GK 48 2 318. 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点) (2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba) (3)利用面面平行的性质(，aa) (4)利用面面平行的性质(，a，a，aa) 跟踪训练 (2016 全国)如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，ABAD AC3，PABC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点 (1
11、)证明：MN平面 PAB； (2)求四面体 N-BCM 的体积 (1)证明 由已知得 AM2 3AD2. 如图， 取 BP 的中点 T， 连接 AT， TN， 由 N 为 PC 中点知 TNBC， TN1 2BC2. 又 ADBC，故 TN 綊 AM， 所以四边形 AMNT 为平行四边形， 于是 MNAT. 因为 AT平面 PAB，MN平面 PAB， 所以 MN平面 PAB. (2)解 因为 PA平面 ABCD，N 为 PC 的中点， 所以 N 到平面 ABCD 的距离为1 2PA. 取 BC 的中点 E，连接 AE. 由 ABAC3 得 AEBC，AE AB2BE2 5. 由 AMBC 得
12、M 到 BC 的距离为 5， 故 SBCM1 24 52 5. 所以四面体 N-BCM 的体积 V四面体N-BCM1 3SBCM PA 2 4 5 3 . 题型二 平面与平面平行的判定与性质 典例 如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1的中 点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1平面 BCHG. 证明 (1)G，H 分别是 A1B1，A1C1的中点， GH 是A1B1C1的中位线， GHB1C1. 又B1C1BC，GHBC， B，C，H，G 四点共面 (2)E，F 分别是 AB，AC 的中点， EFBC. E
13、F平面 BCHG，BC平面 BCHG， EF平面 BCHG. A1G 綊 EB， 四边形 A1EBG 是平行四边形， A1EGB. 又A1E平面 BCHG，GB平面 BCHG， A1E平面 BCHG. 又A1EEFE，A1E，EF平面 EFA， 平面 EFA1平面 BCHG. 引申探究 在本例条件下，若 D1，D 分别为 B1C1，BC 的中点，求证：平面 A1BD1平面 AC1D. 证明 如图所示，连接 A1C 交 AC1于点 M， 四边形 A1ACC1是平行四边形， M 是 A1C 的中点，连接 MD， D 为 BC 的中点， A1BDM. A1B平面 A1BD1， DM平面 A1BD1，
14、 DM平面 A1BD1. 又由三棱柱的性质知，D1C1綊 BD， 四边形 BDC1D1为平行四边形， DC1BD1. 又 DC1平面 A1BD1，BD1平面 A1BD1， DC1平面 A1BD1. 又DC1DMD，DC1，DM平面 AC1D， 平面 A1BD1平面 AC1D. 思维升华 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义 (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个 平面平行 (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行 (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行 (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化 跟踪训练 (201
15、8 唐山质检)如图所示， 四边形 ABCD 与四边形 ADEF 都为平行四边形， M， N， G 分别是 AB，AD，EF 的中点求证： (1)BE平面 DMF； (2)平面 BDE平面 MNG. 证明 (1)如图所示，设 DF 与 GN 交于点 O，连接 AE，则 AE 必过点 O， 连接 MO，则 MO 为ABE 的中位线， 所以 BEMO. 因为 BE平面 DMF， MO平面 DMF， 所以 BE平面 DMF. (2)因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的中点， 所以 DEGN. 因为 DE平面 MNG，GN平面 MNG， 所以 DE平面 MNG. 因为 M 为
16、AB 的中点， 所以 MN 为ABD 的中位线， 所以 BDMN. 因为 BD平面 MNG，MN平面 MNG， 所以 BD平面 MNG. 因为 DEBDD，BD，DE平面 BDE， 所以平面 BDE平面 MNG. 题型三 平行关系的综合应用 典例 如图所示，平面 平面 ，点 A，点 C，点 B，点 D，点 E，F 分别在 线段 AB，CD 上，且 AEEBCFFD. (1)求证：EF平面 ； (2)若E，F 分别是AB，CD 的中点，AC4，BD6，且AC，BD 所成的角为60 ，求EF 的长 (1)证明 当 AB，CD 在同一平面内时，由平面 平面 ，平面 平面 ABDCAC，平 面 平面
17、ABDCBD 知，ACBD. AEEBCFFD，EFBD. 又 EF，BD，EF平面 . 当 AB 与 CD 异面时，如图所示，设平面 ACD平面 DH，且 DHAC， 平面 平面 ，平面 平面 ACDHAC， ACDH， 四边形 ACDH 是平行四边形， 在 AH 上取一点 G，使 AGGHCFFD， 连接 EG，FG，BH. 又AEEBCFFDAGGH， GFHD，EGBH. 又 EGGFG，BHHDH， 平面 EFG平面 . 又 EF平面 EFG，EF平面 . 综合可知，EF平面 . (2)解 如图所示，连接 AD，取 AD 的中点 M，连接 ME，MF. E，F 分别为 AB，CD 的
18、中点， MEBD，MFAC， 且 ME1 2BD3，MF 1 2AC2. EMF 为 AC 与 BD 所成的角或其补角， EMF60 或 120 . 在EFM 中，由余弦定理得 EF ME2MF22ME MF cosEMF 3222 2321 2 13 6， 即 EF 7或 EF 19. 思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用 来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决 跟踪训练 如图所示， 四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面， 若截面为平行四边形 (1)求证：AB平面 EFGH，CD平面 EFGH； (2)若 AB4，CD6，求四
19、边形 EFGH 周长的取值范围 (1)证明 四边形 EFGH 为平行四边形， EFHG. HG平面 ABD，EF平面 ABD， EF平面 ABD. 又EF平面 ABC，平面 ABD平面 ABCAB， EFAB，又AB平面 EFGH，EF平面 EFGH， AB平面 EFGH.同理可证，CD平面 EFGH. (2)解 设 EFx(0x4)， EFAB，FGCD， CF CB x 4，则 FG 6 BF BC BCCF BC 1x 4. FG63 2x. 四边形 EFGH 为平行四边形， 四边形 EFGH 的周长 l2 x63 2x 12x. 又0x4，8l12， 即四边形 EFGH 周长的取值范围是(8,12)