1、 8.5 直线直线、平面垂直的判定与性质平面垂直的判定与性质 最新考纲 考情考向分析 1.以立体几何的定义、 公理和定理为出发点， 认识和理解空间中线面垂直的有关性质与 判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一 些空间图形的垂直关系的简单命题. 直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的 重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、 面面垂直的判定及其应用等内容题型主要 以解答题的形式出现，解题要求有较强的推 理论证能力，广泛应用转化与化归的思想. 1直线与平面垂直 (1)定义 如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，则直线 l 与平面 互相垂直，记作 l，直 线 l 叫做平面 的垂线
2、，平面 叫做直线 l 的垂面 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与一个平面内的两条 相交直线都垂直，则该直线与此 平面垂直 a，b abO la lb l 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线 平行 a b ab 2.直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角若一 条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成 的角是 0 的角 (2)范围： 0， 2 . 3平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角
3、； 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直 于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角 (2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另一个平面的垂线，则 这两个平面垂直 l l 性质 定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直 于交线的直线与另一个平面垂直 l a la l 知识拓展 重要结论 (1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 (2)若一条直线垂直于一个平面， 则它垂直
4、于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个 重要方法) (3)垂直于同一条直线的两个平面平行 (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行( ) (3)直线 a，b，则 ab.( ) (4)若 ，a，则 a.( ) (5)若直线 a平面 ，直线 b，则直线 a 与 b 垂直( ) (6)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .( ) 题组二 教材改编 2P73T1下列命题中错误的是( )
5、A如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ，l，那么 l平面 D如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 答案 D 解析 对于 D，若平面 平面 ，则平面 内的直线可能不垂直于平面 ，即与平面 的关 系还可以是斜交、平行或在平面 内，其他选项均是正确的 3P67T2在三棱锥 PABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O. (1)若 PAPBPC，则点 O 是ABC 的_心； (2)若 PAPB，PBPC，PCPA，则点 O 是ABC 的_心 答案 (1)外 (2)
6、垂 解析 (1)如图 1，连接 OA，OB，OC，OP， 在 RtPOA，RtPOB 和 RtPOC 中，PAPCPB， 所以 OAOBOC，即 O 为ABC 的外心 (2)如图 2，延长 AO，BO，CO 分别交 BC，AC，AB 于 H，D，G. PCPA，PBPC，PAPBP， PC平面 PAB，又 AB平面 PAB，PCAB， ABPO，POPCP， AB平面 PGC，又 CG平面 PGC， ABCG，即 CG 为ABC 边 AB 上的高 同理可证 BD，AH 分别为ABC 边 AC，BC 上的高， 即 O 为ABC 的垂心 题组三 易错自纠 4(2017 湖南六校联考)已知 m 和
7、n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，下列给 出的条件中一定能推出 m 的是( ) A 且 m B 且 m Cmn 且 n Dmn 且 答案 C 解析 由线面垂直的判定定理，可知 C 正确 5.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O，M，N 分别是线段 BD，DD1，D1C1的中 点，则直线 OM 与 AC，MN 的位置关系是( ) A与 AC，MN 均垂直 B与 AC 垂直，与 MN 不垂直 C与 AC 不垂直，与 MN 垂直 D与 AC，MN 均不垂直 答案 A 解析 因为 DD1平面 ABCD，所以 ACDD1， 又因为 ACBD，DD1BDD， 所以 AC平面
8、 BDD1B1， 因为 OM平面 BDD1B1，所以 OMAC. 设正方体的棱长为 2， 则 OM 12 3，MN 11 2， ON 14 5， 所以 OM2MN2ON2，所以 OMMN.故选 A. 6.如图所示，AB 是半圆 O 的直径，VA 垂直于半圆 O 所在的平面，点 C 是圆周上不同于 A， B 的任意一点，M，N 分别为 VA，VC 的中点，则下列结论正确的是( ) AMNAB B平面 VAC平面 VBC CMN 与 BC 所成的角为 45 DOC平面 VAC 答案 B 解析 由题意得 BCAC，因为 VA平面 ABC，BC平面 ABC，所以 VABC.因为 ACVA A，所以 B
9、C平面 VAC.因为 BC平面 VBC，所以平面 VAC平面 VBC.故选 B. 题型一 直线与平面垂直的判定与性质 典例 如图所示， 在四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD， ABAD， ACCD， ABC60 ， PAABBC，E 是 PC 的中点 证明：(1)CDAE； (2)PD平面 ABE. 证明 (1)在四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD，CD平面 ABCD， PACD. 又ACCD，PAACA，PA，AC平面 PAC， CD平面 PAC. 而 AE平面 PAC，CDAE. (2)由 PAABBC，ABC60 ，可得 ACPA. E 是 PC 的中点，AEPC.
10、由(1)知 AECD，且 PCCDC，PC，CD平面 PCD， AE平面 PCD， 而 PD平面 PCD，AEPD. PA底面 ABCD，AB平面 ABCD，PAAB. 又ABAD，且 PAADA， AB平面 PAD，而 PD平面 PAD， ABPD.又ABAEA，AB，AE平面 ABE， PD平面 ABE. 思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法： 判定定理； 垂直于平面的传递性(ab， ab)； 面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质 (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判 定定理与性质定理的合理转化是证明线
11、面垂直的基本思想 跟踪训练 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ACBC，BCCC1.设 AB1的中点为 D， B1CBC1E. 求证：(1)DE平面 AA1C1C； (2)BC1AB1. 证明 (1)由题意知，E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1的中点， 因此 DEAC. 又因为 DE平面 AA1C1C，AC平面 AA1C1C， 所以 DE平面 AA1C1C. (2)因为棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱， 所以 CC1平面 ABC. 因为 AC平面 ABC， 所以 ACCC1. 又因为 ACBC，CC1平面 BCC1B1， BC平面 BCC1B1，BCCC1C， 所以 AC
12、平面 BCC1B1. 又因为 BC1平面 BCC1B1， 所以 BC1AC. 因为 BCCC1，所以矩形 BCC1B1是正方形， 因此 BC1B1C. 因为 AC，B1C平面 B1AC，ACB1CC， 所以 BC1平面 B1AC. 又因为 AB1平面 B1AC，所以 BC1AB1. 题型二 平面与平面垂直的判定与性质 典例 (2018 开封模拟)如图， 在四棱锥 PABCD 中， ABAC， ABPA， ABCD， AB2CD， E，F，G，M，N 分别为 PB，AB，BC，PD，PC 的中点 (1)求证：CE平面 PAD； (2)求证：平面 EFG平面 EMN. 证明 (1)方法一 取 PA
13、 的中点 H，连接 EH，DH. 因为 E 为 PB 的中点， 所以 EH 綊1 2AB. 又 CD 綊1 2AB， 所以 EH 綊 CD. 所以四边形 DCEH 是平行四边形，所以 CEDH. 又 DH平面 PAD，CE平面 PAD， 所以 CE平面 PAD. 方法二 连接 CF. 因为 F 为 AB 的中点， 所以 AF1 2AB. 又 CD1 2AB， 所以 AFCD. 又 AFCD，所以四边形 AFCD 为平行四边形 因此 CFAD，又 CF平面 PAD，AD平面 PAD， 所以 CF平面 PAD. 因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EFPA. 又 EF平面 PAD，PA
14、平面 PAD， 所以 EF平面 PAD. 因为 CFEFF，故平面 CEF平面 PAD. 又 CE平面 CEF，所以 CE平面 PAD. (2)因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EFPA. 又因为 ABPA， 所以 EFAB，同理可证 ABFG. 又因为 EFFGF，EF，FG平面 EFG， 所以 AB平面 EFG. 又因为 M，N 分别为 PD，PC 的中点， 所以 MNCD，又 ABCD，所以 MNAB， 所以 MN平面 EFG. 又因为 MN平面 EMN，所以平面 EFG平面 EMN. 引申探究 1在本例条件下，证明：平面 EMN平面 PAC. 证明 因为 ABPA，ABA
15、C， 且 PAACA，PA，AC平面 PAC， 所以 AB平面 PAC. 又 MNCD，CDAB，所以 MNAB， 所以 MN平面 PAC. 又 MN平面 EMN， 所以平面 EMN平面 PAC. 2在本例条件下，证明：平面 EFG平面 PAC. 证明 因为 E，F，G 分别为 PB，AB，BC 的中点， 所以 EFPA，FGAC， 又 EF平面 PAC，PA平面 PAC， 所以 EF平面 PAC. 同理 FG平面 PAC. 又 EFFGF， 所以平面 EFG平面 PAC. 思维升华 (1)判定面面垂直的方法 面面垂直的定义； 面面垂直的判定定理(a，a) (2)在已知平面垂直时，一般要用性质
16、定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线 面垂直，然后进一步转化为线线垂直 跟踪训练 (2017 南昌模拟)如图，已知在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方 形，PAD 是正三角形，平面 PAD平面 ABCD，E，F，G 分别是 PD，PC，BC 的中点 (1)求证：平面 EFG平面 PAD； (2)若 M 是线段 CD 上一点，求三棱锥 MEFG 的体积 (1)证明 因为平面 PAD平面 ABCD， 平面 PAD平面 ABCDAD，CD平面 ABCD，且 CDAD，所以 CD平面 PAD. 又因为在PCD 中，E，F 分别是 PD，PC 的中点， 所以 EFCD
17、，所以 EF平面 PAD. 因为 EF平面 EFG，所以平面 EFG平面 PAD. (2)解 因为 EFCD，EF平面 EFG，CD平面 EFG， 所以 CD平面 EFG， 因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离， 所以 V三棱锥MEFGV三棱锥DEFG， 取 AD 的中点 H，连接 GH，EH，FH，则 EFGH， 因为 EF平面 PAD，EH平面 PAD， 所以 EFEH. 于是 SEFH1 2EFEH2SEFG， 因为平面 EFG平面 PAD，平面 EFG平面 PADEH， EHD 是正三角形，所以点 D 到平面 EFG 的距离等于正EHD 的高，即为 3. 所以三
18、棱锥 MEFG 的体积 V三棱锥MEFGV三棱锥DEFG1 3SEFG 3 2 3 3 . 题型三 垂直关系中的探索性问题 典例 如图所示，平面 ABCD平面 BCE，四边形 ABCD 为矩形，BCCE，点 F 为 CE 的中点 (1)证明：AE平面 BDF； (2)点 M 为 CD 上任意一点，在线段 AE 上是否存在点 P，使得 PMBE？若存在，确定点 P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由 (1)证明 连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OF. 四边形 ABCD 是矩形， O 为 AC 的中点 又 F 为 EC 的中点，OFAE. 又 OF平面 BDF， AE平面 BDF， A
19、E平面 BDF. (2)解 当点 P 为 AE 的中点时，有 PMBE，证明如下： 取 BE 的中点 H，连接 DP，PH，CH. P 为 AE 的中点，H 为 BE 的中点，PHAB. 又 ABCD，PHCD， P，H，C，D 四点共面 平面 ABCD平面 BCE，且平面 ABCD平面 BCEBC，CDBC， CD平面 ABCD，CD平面 BCE. 又 BE平面 BCE，CDBE， BCCE，且 H 为 BE 的中点， CHBE. 又 CHCDC，且 CH，CD平面 DPHC， BE平面 DPHC. 又 PM平面 DPHC，PMBE. 思维升华 (1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在
20、，然后在该假设条件下，利用线 面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出 矛盾的结论则否定假设 (2)对于探索性问题用向量法比较容易入手一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代 数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在 跟踪训练 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，M 为棱 AC 的中点AB BC，AC2，AA1 2. (1)求证：B1C平面 A1BM； (2)求证：AC1平面 A1BM； (3)在棱 BB1上是否存在点 N，使得平面 AC1N平面 AA1C1C？如果存在，求此时 BN B
21、B1的值； 如果不存在，请说明理由 (1)证明 连接 AB1与 A1B，两线交于点 O，连接 OM. 在B1AC 中，M，O 分别为 AC，AB1的中点， OMB1C， 又OM平面 A1BM，B1C平面 A1BM， B1C平面 A1BM. (2)证明 侧棱 AA1底面 ABC，BM平面 ABC， AA1BM， 又M 为棱 AC 的中点，ABBC，BMAC. AA1ACA，AA1，AC平面 ACC1A1， BM平面 ACC1A1， BMAC1. AC2，AM1. 又AA1 2，在 RtACC1和 RtA1AM 中， tanAC1CtanA1MA 2， AC1CA1MA， 即AC1CC1ACA1M
22、AC1AC90 ， A1MAC1. BMA1MM，BM，A1M平面 A1BM， AC1平面 A1BM. (3)解 当点 N 为 BB1的中点，即 BN BB1 1 2时， 平面 AC1N平面 AA1C1C. 证明如下： 设 AC1的中点为 D，连接 DM，DN.D，M 分别为 AC1，AC 的中点， DMCC1，且 DM1 2CC1. 又N 为 BB1的中点，DMBN，且 DMBN， 四边形 BNDM 为平行四边形， BMDN， BM平面 ACC1A1，DN平面 AA1C1C. 又DN平面 AC1N， 平面 AC1N平面 AA1C1C. 立体几何证明问题中的转化思想 典例 (12 分)如图所示
23、，M，N，K 分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点 求证：(1)AN平面 A1MK； (2)平面 A1B1C平面 A1MK. 思想方法指导 (1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相 互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理 (2)线线关系是线面关系、面面关系的基础证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证 明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等 (3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件，步骤书写要规范 规范解答 证明 (1)如图所示，连接 NK. 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，
24、 四边形 AA1D1D，DD1C1C 都为正方形， AA1DD1，AA1DD1， C1D1CD，C1D1CD.2 分 N，K 分别为 CD，C1D1的中点， DND1K，DND1K， 四边形 DD1KN 为平行四边形，3 分 KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN， 四边形 AA1KN 为平行四边形，ANA1K.4 分 又A1K平面 A1MK，AN平面 A1MK， AN平面 A1MK.6 分 (2)如图所示，连接 BC1.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，ABC1D1. M，K 分别为 AB，C1D1的中点， BMC1K，BMC1K， 四边形 BC1KM 为平行四边形，MKBC1.8 分 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，A1B1平面 BB1C1C， BC1平面 BB1C1C，A1B1BC1. MKBC1，A1B1MK. 四边形 BB1C1C 为正方形，BC1B1C，10 分 MKB1C. A1B1平面 A1B1C，B1C平面 A1B1C， A1B1B1CB1， MK平面 A1B1C. 又MK平面 A1MK， 平面 A1B1C平面 A1MK.12 分