1、 8.3 空间点空间点、直线直线、平面之间的位置关系平面之间的位置关系 最新考纲 考情考向分析 1.理解空间直线、平面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、 定理和已获得的结论证明一 些空间图形的位置关系的简单命题. 主要考查与点、线、面位置关系有关的命题 真假判断和求解异面直线所成的角，题型主 要以选择题和填空题的形式出现，解题要求 有较强的空间想象能力和逻辑推理能力. 1四个公理 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且
2、只有一条过该点的公共直线 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 2直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 共面直线 平行直线 相交直线 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)异面直线所成的角 定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) 范围： 0， 2 . 3直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况 4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况 5等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 知识拓展 1唯
3、一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 2异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两个不重合的平面， 有一条公共直线a， 就说平面， 相交， 并记作a.( ) (2)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于过 A 点的任意一条直线( ) (3)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC.( ) (4)
4、经过两条相交直线，有且只有一个平面( ) (5)没有公共点的两条直线是异面直线( ) (6)若 a，b 是两条直线， 是两个平面，且 a，b，则 a，b 是异面直线( ) 题组二 教材改编 2P52B 组 T1(2)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB，AD 的中点， 则异面直线 B1C 与 EF 所成角的大小为( ) A30 B45 C60 D90 答案 C 解析 连接 B1D1，D1C，则 B1D1EF，故D1B1C 即为所求的角又 B1D1B1CD1C， B1D1C 为等边三角形，D1B1C60 . 3P45 例2如图，在三棱锥ABCD 中，E，F，G，H
5、 分别是棱AB，BC，CD，DA 的中点，则 (1)当 AC，BD 满足条件_时，四边形 EFGH 为菱形； (2)当 AC，BD 满足条件_时，四边形 EFGH 为正方形 答案 (1)ACBD (2)ACBD 且 ACBD 解析 (1)四边形 EFGH 为菱形， EFEH，故 ACBD. (2)四边形 EFGH 为正方形，EFEH 且 EFEH， EF 綊1 2AC，EH 綊 1 2BD，ACBD 且 ACBD. 题组三 易错自纠 4(2017 湖南省湘中名校联考)已知 l，m，n 为不同的直线， 为不同的平面，则下列 判断正确的是( ) A若 m，n，则 mn B若 m，n，则 mn C若
6、 l，m，m，则 ml D若 m，n，lm，ln，则 l 答案 C 解析 A 中，m，n 可能的位置关系为平行、相交、异面，故 A 错误；B 中，m 与 n 也有可 能平行，B 错误；C 中，根据线面平行的性质可知 C 正确；D 中，若 mn，根据线面垂直的 判定可知 D 错误，故选 C. 5(2017 湖北七市联考)设直线 m 与平面 相交但不垂直，则下列说法中正确的是( ) A在平面 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B过直线 m 有且只有一个平面与平面 垂直 C与直线 m 垂直的直线不可能与平面 平行 D与直线 m 平行的平面不可能与平面 垂直 答案 B 解析 对于 A， 在平面 内有
7、且只有一条直线与直线 m 垂直， 过交点与直线 m 垂直的直线只 有一条，在平面内与此直线平行的直线都与 m 垂直，不正确；对于 B，过直线 m 有且只有一 个平面与平面 垂直，在直线 m 上取一点作平面 的垂线，两条直线确定一个平面与平面 垂直，正确；对于 C，与直线 m 垂直的直线不可能与平面 平行，不正确；对于 D，与直线 m 平行的平面不可能与平面 垂直，不正确 6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段 AB，CD，EF，GH 在原正方体中互 为异面的对数为_ 答案 3 解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则 AB，CD，EF 和 GH 在原正方体 中，显然 A
8、B 与 CD，EF 与 GH，AB 与 GH 都是异面直线，而 AB 与 EF 相交，CD 与 GH 相 交，CD 与 EF 平行故互为异面的直线有且只有 3 对 题型一 平面基本性质的应用 典例 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB 和 AA1的中点求证： (1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点 证明 (1)如图，连接 EF，CD1，A1B. E，F 分别是 AB，AA1的中点，EFBA1. 又 A1BD1C，EFCD1， E，C，D1，F 四点共面 (2)EFCD1，EFCD1， CE 与 D1F 必相交， 设交点为 P，如图
9、所示 则由 PCE，CE平面 ABCD，得 P平面 ABCD. 同理 P平面 ADD1A1. 又平面 ABCD平面 ADD1A1DA， P直线 DA，CE，D1F，DA 三线共点 思维升华 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然 后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证 两平面重合 (2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； 直接证明这些点都在同一条特定直线上 (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点
10、跟踪训练 (2018 沈阳质检)如图，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，G， H 分别在 BC，CD 上，且 BGGCDHHC12. (1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证：P，A，C 三点共线 证明 (1)E，F 分别为 AB，AD 的中点， EFBD. 在BCD 中，BG GC DH HC 1 2， GHBD，EFGH. E，F，G，H 四点共面 (2)EGFHP，PEG，EG平面 ABC， P平面 ABC.同理 P平面 ADC. P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点 又平面 ABC平面 ADCAC， PAC
11、，P，A，C 三点共线 题型二 判断空间两直线的位置关系 典例 (1)若直线 l1和 l2是异面直线，l1在平面 内，l2在平面 内，l 是平面 与平面 的交 线，则下列命题正确的是( ) Al 与 l1，l2都不相交 Bl 与 l1，l2都相交 Cl 至多与 l1，l2中的一条相交 Dl 至少与 l1，l2中的一条相交 答案 D 解析 方法一 由于 l 与直线 l1，l2分别共面，故直线 l 与 l1，l2要么都不相交，要么至少与 l1，l2中的一条相交若 ll1，ll2，则 l1l2，这与 l1，l2是异面直线矛盾故 l 至少与 l1， l2中的一条相交 方法二 如图 1，l1与 l2是异
12、面直线，l1与 l 平行，l2与 l 相交，故 A，B 不正确；如图 2，l1 与 l2是异面直线，l1，l2都与 l 相交，故 C 不正确 (2)(2017 唐山一中月考)如图，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示 直线 GH，MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号) 答案 解析 在图中，直线 GHMN； 在图中，G，H，N 三点共面，但 M平面 GHN，NGH， 因此直线 GH 与 MN 异面； 在图中，连接 GM，GMHN，因此 GH 与 MN 共面； 在图中，G，M，N 共面，但 H平面 GMN，GMN， 因此 GH 与 MN 异面 所以在图中 GH
13、与 MN 异面 思维升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定对于异面直线， 可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面 平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决 跟踪训练 (1)(2016 山东)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若直线 a 和直线 b 相交，则平面 和平面 相交； 若平面 和平面 相交，那么直线 a 和直线
14、b 可能平行或异面或相交，故选 A. (2)已知 a，b，c 为三条不重合的直线，已知下列结论： 若 ab，ac，则 bc；若 ab，ac，则 bc；若 ab，bc，则 ac. 其中正确的个数为( ) A0 B1 C2 D3 答案 B 解析 在空间中，若 ab，ac，则 b，c 可能平行，也可能相交，还可能异面，所以 错，显然成立 题型三 求异面直线所成的角 典例 (2018 南宁模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA12AB2，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为( ) A.1 5 B.2 5 C.3 5 D.4 5 答案 D 解析
15、连接 BC1， 易证 BC1AD1， 则A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成 的角连接 A1C1，由 AB1，AA12，易得 A1C1 2，A1BBC1 5，故 cosA1BC1 552 2 5 5 4 5，即异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为 4 5. 引申探究 将上例条件“AA12AB2”改为“AB1， 若异面直线A1B 与AD1所成角的余弦值为 9 10”， 试求AA1 AB的值 解 设AA1 ABt，则 AA1tAB. AB1，AA1t. A1C1 2，A1B t21BC1， cosA1BC1 t21t212 2 t21 t21 9 10. t3，即AA1 AB3.
16、 思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出所作的角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果 求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角 跟踪训练 (2017 佛山模拟)如图所示， 在正三棱柱 ABCA1B1C1中， D 是 AC 的中点， AA1AB 21，则异面直线 AB1与 BD 所成的角为_ 答案 60 解析 取 A1C1的中点 E，连接 B1E，ED，AE， 在 RtAB1E 中，AB1E 为异面直线 AB1与 BD 所成的角 设 AB1，则 A1A
17、2，AB1 3， B1E 3 2 ， 故AB1E60 . 构造模型判断空间线面位置关系 典例 已知 m，n 是两条不同的直线， 为两个不同的平面，有下列四个命题： 若 m，n，mn，则 ； 若 m，n，mn，则 ； 若 m，n，mn，则 ； 若 m，n，则 mn. 其中所有正确的命题是_(填序号) 思想方法指导 本题可通过构造模型法完成， 构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模 型，然后利用模型直观地对问题作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致 解题错误对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为 直观去判断 解析 借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面 ， 互相垂直，如图(1)所示， 故正确；对于，平面 ， 可能垂直，如图(2)所示，故不正确；对于，平面 ， 可 能垂直，如图(3)所示，故不正确；对于，由 m， 可得 m，因为 n，所以 过 n 作平面 ，且 g，如图(4)所示，所以 n 与交线 g 平行，因为 mg，所以 mn，故 正确 答案