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高考数学一轮复习学案:空间点、直线、平面之间的位置关系(含答案)

1、 8.3 空间点空间点、直线直线、平面之间的位置关系平面之间的位置关系 最新考纲 考情考向分析 1.理解空间直线、平面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、 定理和已获得的结论证明一 些空间图形的位置关系的简单命题. 主要考查与点、线、面位置关系有关的命题 真假判断和求解异面直线所成的角,题型主 要以选择题和填空题的形式出现,解题要求 有较强的空间想象能力和逻辑推理能力. 1四个公理 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且

2、只有一条过该点的公共直线 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 2直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 共面直线 平行直线 相交直线 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点 (2)异面直线所成的角 定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 aa,bb,把 a与 b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) 范围: 0, 2 . 3直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况 4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况 5等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 知识拓展 1唯

3、一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 2异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两个不重合的平面, 有一条公共直线a, 就说平面, 相交, 并记作a.( ) (2)两个平面 , 有一个公共点 A,就说 , 相交于过 A 点的任意一条直线( ) (3)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC.( ) (4)

4、经过两条相交直线,有且只有一个平面( ) (5)没有公共点的两条直线是异面直线( ) (6)若 a,b 是两条直线, 是两个平面,且 a,b,则 a,b 是异面直线( ) 题组二 教材改编 2P52B 组 T1(2)如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分别是 AB,AD 的中点, 则异面直线 B1C 与 EF 所成角的大小为( ) A30 B45 C60 D90 答案 C 解析 连接 B1D1,D1C,则 B1D1EF,故D1B1C 即为所求的角又 B1D1B1CD1C, B1D1C 为等边三角形,D1B1C60 . 3P45 例2如图,在三棱锥ABCD 中,E,F,G,H

5、 分别是棱AB,BC,CD,DA 的中点,则 (1)当 AC,BD 满足条件_时,四边形 EFGH 为菱形; (2)当 AC,BD 满足条件_时,四边形 EFGH 为正方形 答案 (1)ACBD (2)ACBD 且 ACBD 解析 (1)四边形 EFGH 为菱形, EFEH,故 ACBD. (2)四边形 EFGH 为正方形,EFEH 且 EFEH, EF 綊1 2AC,EH 綊 1 2BD,ACBD 且 ACBD. 题组三 易错自纠 4(2017 湖南省湘中名校联考)已知 l,m,n 为不同的直线, 为不同的平面,则下列 判断正确的是( ) A若 m,n,则 mn B若 m,n,则 mn C若

6、 l,m,m,则 ml D若 m,n,lm,ln,则 l 答案 C 解析 A 中,m,n 可能的位置关系为平行、相交、异面,故 A 错误;B 中,m 与 n 也有可 能平行,B 错误;C 中,根据线面平行的性质可知 C 正确;D 中,若 mn,根据线面垂直的 判定可知 D 错误,故选 C. 5(2017 湖北七市联考)设直线 m 与平面 相交但不垂直,则下列说法中正确的是( ) A在平面 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B过直线 m 有且只有一个平面与平面 垂直 C与直线 m 垂直的直线不可能与平面 平行 D与直线 m 平行的平面不可能与平面 垂直 答案 B 解析 对于 A, 在平面 内有

7、且只有一条直线与直线 m 垂直, 过交点与直线 m 垂直的直线只 有一条,在平面内与此直线平行的直线都与 m 垂直,不正确;对于 B,过直线 m 有且只有一 个平面与平面 垂直,在直线 m 上取一点作平面 的垂线,两条直线确定一个平面与平面 垂直,正确;对于 C,与直线 m 垂直的直线不可能与平面 平行,不正确;对于 D,与直线 m 平行的平面不可能与平面 垂直,不正确 6.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段 AB,CD,EF,GH 在原正方体中互 为异面的对数为_ 答案 3 解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则 AB,CD,EF 和 GH 在原正方体 中,显然 A

8、B 与 CD,EF 与 GH,AB 与 GH 都是异面直线,而 AB 与 EF 相交,CD 与 GH 相 交,CD 与 EF 平行故互为异面的直线有且只有 3 对 题型一 平面基本性质的应用 典例 如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分别是 AB 和 AA1的中点求证: (1)E,C,D1,F 四点共面; (2)CE,D1F,DA 三线共点 证明 (1)如图,连接 EF,CD1,A1B. E,F 分别是 AB,AA1的中点,EFBA1. 又 A1BD1C,EFCD1, E,C,D1,F 四点共面 (2)EFCD1,EFCD1, CE 与 D1F 必相交, 设交点为 P,如图

9、所示 则由 PCE,CE平面 ABCD,得 P平面 ABCD. 同理 P平面 ADD1A1. 又平面 ABCD平面 ADD1A1DA, P直线 DA,CE,D1F,DA 三线共点 思维升华 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法:首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然 后再证其余的线(或点)在这个平面内;将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证 两平面重合 (2)证明点共线问题的两种方法:先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上; 直接证明这些点都在同一条特定直线上 (3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点

10、跟踪训练 (2018 沈阳质检)如图,在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,G, H 分别在 BC,CD 上,且 BGGCDHHC12. (1)求证:E,F,G,H 四点共面; (2)设 EG 与 FH 交于点 P,求证:P,A,C 三点共线 证明 (1)E,F 分别为 AB,AD 的中点, EFBD. 在BCD 中,BG GC DH HC 1 2, GHBD,EFGH. E,F,G,H 四点共面 (2)EGFHP,PEG,EG平面 ABC, P平面 ABC.同理 P平面 ADC. P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点 又平面 ABC平面 ADCAC, PAC

11、,P,A,C 三点共线 题型二 判断空间两直线的位置关系 典例 (1)若直线 l1和 l2是异面直线,l1在平面 内,l2在平面 内,l 是平面 与平面 的交 线,则下列命题正确的是( ) Al 与 l1,l2都不相交 Bl 与 l1,l2都相交 Cl 至多与 l1,l2中的一条相交 Dl 至少与 l1,l2中的一条相交 答案 D 解析 方法一 由于 l 与直线 l1,l2分别共面,故直线 l 与 l1,l2要么都不相交,要么至少与 l1,l2中的一条相交若 ll1,ll2,则 l1l2,这与 l1,l2是异面直线矛盾故 l 至少与 l1, l2中的一条相交 方法二 如图 1,l1与 l2是异

12、面直线,l1与 l 平行,l2与 l 相交,故 A,B 不正确;如图 2,l1 与 l2是异面直线,l1,l2都与 l 相交,故 C 不正确 (2)(2017 唐山一中月考)如图,G,H,M,N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示 直线 GH,MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号) 答案 解析 在图中,直线 GHMN; 在图中,G,H,N 三点共面,但 M平面 GHN,NGH, 因此直线 GH 与 MN 异面; 在图中,连接 GM,GMHN,因此 GH 与 MN 共面; 在图中,G,M,N 共面,但 H平面 GMN,GMN, 因此 GH 与 MN 异面 所以在图中 GH

13、与 MN 异面 思维升华 空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定对于异面直线, 可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面 平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决 跟踪训练 (1)(2016 山东)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 , 内,则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若直线 a 和直线 b 相交,则平面 和平面 相交; 若平面 和平面 相交,那么直线 a 和直线

14、b 可能平行或异面或相交,故选 A. (2)已知 a,b,c 为三条不重合的直线,已知下列结论: 若 ab,ac,则 bc;若 ab,ac,则 bc;若 ab,bc,则 ac. 其中正确的个数为( ) A0 B1 C2 D3 答案 B 解析 在空间中,若 ab,ac,则 b,c 可能平行,也可能相交,还可能异面,所以 错,显然成立 题型三 求异面直线所成的角 典例 (2018 南宁模拟)如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,AA12AB2,则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为( ) A.1 5 B.2 5 C.3 5 D.4 5 答案 D 解析

15、连接 BC1, 易证 BC1AD1, 则A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成 的角连接 A1C1,由 AB1,AA12,易得 A1C1 2,A1BBC1 5,故 cosA1BC1 552 2 5 5 4 5,即异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为 4 5. 引申探究 将上例条件“AA12AB2”改为“AB1, 若异面直线A1B 与AD1所成角的余弦值为 9 10”, 试求AA1 AB的值 解 设AA1 ABt,则 AA1tAB. AB1,AA1t. A1C1 2,A1B t21BC1, cosA1BC1 t21t212 2 t21 t21 9 10. t3,即AA1 AB3.

16、 思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角; (2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角; (3)三求:解三角形,求出所作的角如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果 求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角 跟踪训练 (2017 佛山模拟)如图所示, 在正三棱柱 ABCA1B1C1中, D 是 AC 的中点, AA1AB 21,则异面直线 AB1与 BD 所成的角为_ 答案 60 解析 取 A1C1的中点 E,连接 B1E,ED,AE, 在 RtAB1E 中,AB1E 为异面直线 AB1与 BD 所成的角 设 AB1,则 A1A

17、2,AB1 3, B1E 3 2 , 故AB1E60 . 构造模型判断空间线面位置关系 典例 已知 m,n 是两条不同的直线, 为两个不同的平面,有下列四个命题: 若 m,n,mn,则 ; 若 m,n,mn,则 ; 若 m,n,mn,则 ; 若 m,n,则 mn. 其中所有正确的命题是_(填序号) 思想方法指导 本题可通过构造模型法完成, 构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模 型,然后利用模型直观地对问题作出判断,这样减少了抽象性,避免了因考虑不全面而导致 解题错误对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定,可构造长方体或正方体化抽象为 直观去判断 解析 借助于长方体模型来解决本题,对于,可以得到平面 , 互相垂直,如图(1)所示, 故正确;对于,平面 , 可能垂直,如图(2)所示,故不正确;对于,平面 , 可 能垂直,如图(3)所示,故不正确;对于,由 m, 可得 m,因为 n,所以 过 n 作平面 ,且 g,如图(4)所示,所以 n 与交线 g 平行,因为 mg,所以 mn,故 正确 答案