1、 12.6 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差、正态分布正态分布 最新考纲 考情考向分析 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、 方差的概念 2.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点 及曲线所表示的意义 3.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并 能解决一些简单问题. 以理解均值与方差的概念为主，经常以频率 分布直方图为载体，考查二项分布、正态分 布的均值与方差掌握均值与方差、正态分 布的性质和求法是解题关键高考中常以解 答题形式考查、难度为中等偏上. 1离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi
2、 pn (1)均值 称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望它反映了离散型 随机变量取值的平均水平 (2)方差 称 D(X) n i1(xiE(X) 2p i为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏 离程度，并称其算术平方根 DX为随机变量 X 的标准差 2均值与方差的性质 (1)E(aXb)aE(X)b. (2)D(aXb)a2D(X)(a，b 为常数) 3两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量 X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X)p(1p) (2)若 XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np(1p)
3、4正态分布 (1)正态曲线： 函数 ，(x) 2 2 () 2 1 e 2 x ， x(， )， 其中实数 和 为参数(0， R)我们称函数 ，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线 (2)正态曲线的特点 曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线 x 对称； 曲线在 x 处达到峰值 1 2； 曲线与 x 轴之间的面积为 1； 当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示； 当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示 (3)正态分布的定义及表
4、示 一般地，如果对于任何实数 a，b(a120)p30.1，由此得 Y 的分布列如下： Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台 思维升华 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平， 方差反映了随机变量稳定于均值 的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依 据一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定 跟踪训练 (2017 贵州调研)某投资公司在 2018 年年初准备将 1 000 万元投资
5、到“低碳”项目 上，现有两个项目供选择： 项目一： 新能源汽车 据市场调研， 投资到该项目上， 到年底可能获利 30%， 也可能亏损 15%， 且这两种情况发生的概率分别为7 9和 2 9； 项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%， 也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为3 5， 1 3和 1 15. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由 解 若按“项目一”投资，设获利为 X1万元，则 X1的分布列为 X1 300 150 P 7 9 2 9 E(X1)3007 9(150) 2 9200. 若按“项目二”投资，
6、设获利为 X2万元，则 X2的分布列为 X2 500 300 0 P 3 5 1 3 1 15 E(X2)5003 5(300) 1 30 1 15200. D(X1)(300200)27 9(150200) 22 935 000， D(X2)(500200)23 5(300200) 21 3(0200) 21 15140 000. E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资 题型三题型三 正态分布的应用正态分布的应用 典例 (2017 全国)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程， 检验员每天从该生产
7、线上随 机抽取 16 个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常 状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N(，2) (1)假设生产状态正常， 记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3， 3)之外的零 件数，求 P(X1)及 X 的均值； (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生产线在 这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 ()试说明上述监控生产过程方法的合理性； ()下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 995 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.
8、04 1026 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 x 1 16 i1 16 xi9.97，s 1 16 i1 16 xi x 2 1 16 i1 16 x2i16 x 20.212，其中 x i为 抽取的第 i 个零件的尺寸，i1,2，16. 用样本平均数 x 作为 的估计值 ，用样本标准差 s 作为 的估计值 ，利用估计值判断是 否需对当天的生产过程进行检查？剔除( 3 ， 3 )之外的数据， 用剩下的数据估计 和 (精确到 0.01) 附： 若随机变量 Z 服从正态分布 N(， 2)， 则 P(3Z3)0.997 4,0.997 416
9、0.959 2， 0.0080.09. 解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(3，3)之内的概率为 0.997 4，从而零件的尺寸在( 3，3)之外的概率为 0.002 6，故 XB(16,0.002 6) 因此 P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8. E(X)160.002 60.041 6. (2)()如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3，3)之外的概率只有 0.002 6，一天内 抽取的 16 个零件中，出现尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有 0.040 8，发生的概率 很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异 常情况，需对当天的
10、生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的 ()由 x 9.97，s0.212，得 的估计值为 9.97， 的估计值为 0.212，由样本数据 可以看出有一个零件的尺寸在( 3 ， 3 )之外， 因此需对当天的生产过程进行检查 剔除( 3 ， 3 )之外的数据 9.22，剩下数据的平均数为 1 15(169.979.22)10.02. 因此 的估计值为 10.02. i1 16 x2i160.2122169.9721 591.134. 剔除( 3 ， 3 )之外的数据 9.22，剩下数据的样本方差为 1 15(1 591.1349.22 2 1510.022)0.008， 因此 的估
11、计值为 0.0080.09. 思维升华 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴 x；(2)标准差 ；(3)分布区间利 用对称性可求指定范围内的概率值；由 ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为 3 特殊区间，从而求出所求概率注意只有在标准正态分布下对称轴才为 x0. 跟踪训练 从某企业生产的某种产品中抽取 500 件， 测量这些产品的一项质量指标值， 由测量 结果得如下频率分布直方图： (1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2(同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表)； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(，2)，其中 近
12、似为样本 平均数 x ，2近似为样本方差 s2. 利用该正态分布，求 P(187.8Z212.2)； 某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间 (187.8,212.2)的产品件数，利用的结果，求 E(X) 附： 15012.2. 若 ZN(，2)，则 P(Z)0.682 6， P(2Z2)0.954 4. 解 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2分别为 x 1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02 200， s2(30)20.02(20)20.09(10)20
13、.2200.331020.242020.08 3020.02150. (2)由(1)知，ZN(200,150)，即 ZN(200,12.22) 从而 P(187.8Z212.2) P(20012.2Z20012.2)0.682 6. 由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为 0.682 6， 依题意知 XB(100,0.682 6)， 所以 E(X)1000.682 668.26. 离散型随机变量的均值与方差问题 典例 (12 分)为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励，规定：每 位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出
14、 2 个球，球上所标的面值之和为 该顾客所获的奖励额 (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求： 顾客所获的奖励额为 60 元的概率； 顾客所获的奖励额的分布列及均值； (2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元， 并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的 两种球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符 合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的 设计，并说明理由 规范解答 解 (1)设顾客所获的奖励额为 X. 依题意，得 P(X60
15、)C 1 1C 1 3 C24 1 2， 即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为1 2.2 分 依题意，得 X 的所有可能取值为 20,60. P(X60)1 2，P(X20) C23 C24 1 2， 故 X 的分布列为 X 20 60 P 1 2 1 2 4 分 所以顾客所获的奖励额的均值为 E(X)201 260 1 240.5 分 (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为 60 元， 所以，先寻找均值为 60 的可能方案 对于面值由 10 元和 50 元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案， 因为 60 元是面值之和的最大值， 所以均值不可能为 60 元； 如果选择
16、(50,50,50,10)的方案， 因为 60 元是面值之和的最小值， 所以均值也不可能为 60 元； 因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案 1. 对于面值由 20 元和 40 元组成的情况， 同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案， 所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案 2. 以下是对两个方案的分析 对于方案 1，即方案(10,10,50,50)， 设顾客所获的奖励额为 X1， 则 X1的分布列为 X1 20 60 100 P 1 6 2 3 1 6 7 分 X1的均值为 E(X1)201 660 2 3100 1 660， X
17、1的方差为 D(X1)(2060)21 6(6060) 22 3(10060) 21 6 1 600 3 .9 分 对于方案 2，即方案(20,20,40,40)， 设顾客所获的奖励额为 X2， 则 X2的分布列为 X2 40 60 80 P 1 6 2 3 1 6 10 分 X2的均值为 E(X2)401 660 2 380 1 660， X2的方差为 D(X2)(4060)21 6(6060) 22 3(8060) 21 6 400 3 . 由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小，所以应该 选择方案 2.12 分 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能取值； 第二步：求每一个可能取值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差； 第五步：根据均值、方差进行判断，并得出结论(适用于均值、方差的应用问题)； 第六步：反思回顾查看关键点、易错点和答题规范性