1、 12.4 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 最新考纲 考情考向分析 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分 布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象 的重要性，会求某些取有限个值的离散型随 机变量的分布列. 2.了解超几何分布，并能进行简单的应用. 以理解离散型随机变量及其分布列的概念为 主，经常以频率分布直方图为载体，结合频 率与概率，考查离散型随机变量、离散型随 机变量分布列的求法在高考中以解答题的 形式进行考查，难度多为中低档. 1离散型随机变量的分布列 (1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量所有取值可以一一列出的随机变量叫做离 散型随机变量 (2)一般地，若离
2、散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，xi，xn，X 取每一个值 xi(i1,2，n)的概率 P(Xxi)pi，则称表 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列，具有如下性质： pi0，i1,2，n； p1p2pipn1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和 2两点分布 如果随机变量 X 的分布列为 X 0 1 P 1p p 其中 0p1，则称离散型随机变量 X 服从两点分布 其中 pP(X1)称为成功概率 3超几何分布 一般地，设有 N 件产品，其中有 M(MN)件次品从中任
3、取 n(nN)件产品，用 X 表示取出 的 n 件产品中次品的件数，那么 P(Xk)C k MC nk NM CnN (k0,1,2，m)即 X 0 1 m P C0MCn 0 NM CnN C1MCn 1 NM CnN Cm MC nm NM CnN 其中 mminM，n，且 nN，MN，n，M，NN*. 如果一个随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量( ) (2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象( ) (3)某人射击
4、时命中的概率为 0.5，此人射击三次命中的次数 X 服从两点分布( ) (4)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 名，其中女演员的人数 X 服从超几何分布( ) (5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于 1.( ) (6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的( ) 题组二 教材改编 2P77T1设随机变量 X 的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P 1 12 1 6 1 3 1 6 p 则 p 为( ) A.1 6 B.1 3 C.1 4 D. 1 12 答案 C 解析 由分布列的性质知， 1 12 1 6 1 3 1 6p1， p13 4 1
5、 4. 3P49T1有一批产品共 12 件，其中次品 3 件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出 的次品数 X 的所有可能取值是_ 答案 0,1,2,3 解析 因为次品共有 3 件，所以在取到合格品之前取到次品数为 0,1,2,3. 4P49A 组 T5设随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 1 3 m 1 4 1 6 则 P(|X3|1)_. 答案 5 12 解析 由1 3m 1 4 1 61，解得 m 1 4， P(|X3|1)P(X2)P(X4) 1 4 1 6 5 12. 题组三 易错自纠 5袋中有 3 个白球、5 个黑球，从中任取 2 个，可以作为随机变量的是( )
6、A至少取到 1 个白球 B至多取到 1 个白球 C取到白球的个数 D取到的球的个数 答案 C 解析 选项 A，B 表述的都是随机事件；选项 D 是确定的值 2，并不随机；选项 C 是随机变 量，可能取值为 0,1,2. 6随机变量 X 等可能取值 1,2,3，n，如果 P(X4)0.3，则 n_. 答案 10 解析 由 P(X4)P(X1)P(X2)P(X3) 1 n 1 n 1 n 3 n0.3， 得 n10. 7一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的、3 个旧的，从盒中任取 3 个球来用，用完后装回 盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P(X4)的值为_ 答案 27 220
7、 解析 由题意知取出的 3 个球必为 2 个旧球、1 个新球， 故 P(X4)C 2 3C 1 9 C312 27 220. 题型一题型一 离散型随机变量的分布列的性质离散型随机变量的分布列的性质 1离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P(Xn) a nn1(n1,2,3,4)，其中 a 是常数，则 P 1 2X 5 2 的值为( ) A.2 3 B. 3 4 C. 4 5 D. 5 6 答案 D 解析 P(Xn) a nn1(n1,2,3,4)， a 2 a 6 a 12 a 201，a 5 4， P 1 2X 5 2 P(X1)P(X2) 5 4 1 2 5 4 1 6 5 6. 2设离
8、散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求 2X1 的分布列 解 由分布列的性质知， 020.10.10.3m1，得 m0.3. 列表为 X 0 1 2 3 4 2X1 1 3 5 7 9 从而 2X1 的分布列为 2X1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 引申探究 1若题 2 中条件不变，求随机变量 |X1|的分布列 解 由题 2 知 m0.3，列表为 X 0 1 2 3 4 |X1| 1 0 1 2 3 P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3， P(0)P(X1)0.1，P(2)P(X3)0.3，
9、P(3)P(X4)0.3. 故 |X1|的分布列为 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 2.若题 2 中条件不变，求随机变量 X2的分布列 解 依题意知 的值为 0,1,4,9,16. 列表为 X 0 1 2 3 4 X2 0 1 4 9 16 从而 X2的分布列为 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 思维升华 (1)利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概 率值均为非负数 (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相 加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式 题型二题型二 离散
10、型随机变量的分布列的求法离散型随机变量的分布列的求法 命题点 1 与排列、组合有关的分布列的求法 典例 (2017 山东改编)在心理学研究中， 常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响， 具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙 种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用现 有 6 名男志愿者 A1，A2，A3，A4，A5，A6和 4 名女志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示 (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的概率； (2)用 X
11、 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列 解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的事件为 M， 则 P(M) C48 C510 5 18. (2)由题意知，X 可取的值为 0,1,2,3,4，则 P(X0) C56 C510 1 42， P(X1)C 4 6C 1 4 C510 5 21， P(X2)C 3 6C 2 4 C510 10 21， P(X3)C 2 6C 3 4 C510 5 21， P(X4)C 1 6C 4 4 C510 1 42. 因此 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 命题
12、点 2 与互斥事件有关的分布列的求法 典例 已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起， 现需要通过检测将其区分， 每次随机检测一件产 品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束 (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元， 设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品 时所需要的检测费用(单位：元)，求 X 的分布列 解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A， 则 P(A)A 1 2A 1 3 A25 3 10. (2)X 的可能取值为 200,300,400.
13、P(X200)A 2 2 A25 1 10， P(X300)A 3 3C 1 2C 1 3A 2 2 A35 3 10， P(X400)1P(X200)P(X300) 1 1 10 3 10 3 5. 故 X 的分布列为 X 200 300 400 P 1 10 3 10 3 5 命题点 3 与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法 典例 设某人有 5 发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为2 3.若他连续两发 命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完 (1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数 X 的分布列 解 记“第 k 发子弹命中目标”为事件
14、 Ak，则 A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且 P(Ak)2 3， P( Ak)1 3，k1,2,3,4,5. (1)方法一 他前两发子弹只命中一发的概率为 P(A1A2)P( A1A2)P(A1)P( A2)P( A1)P(A2) 2 3 1 3 1 3 2 3 4 9. 方法二 由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为 PC122 3 1 3 4 9. (2)X 的所有可能值为 2,3,4,5. P(X2)P(A1A2)P( A1 A2) 2 3 2 3 1 3 1 3 5 9， P(X3)P(A1A2 A3)P( A1A2A3) 2 3 1 3 21 3 2
15、3 22 9， P(X4)P(A1A2A3A4)P( A1A2A3 A4) 2 3 31 3 1 3 32 3 10 81， P(X5)P(A1A2A3A4)P( A1A2A3A4) 2 3 2 1 3 2 1 3 2 2 3 28 81. 故 X 的分布列为 X 2 3 4 5 P 5 9 2 9 10 81 8 81 思维升华 求离散型随机变量 X 的分布列的步骤 (1)理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值； (2)求 X 取每个值的概率； (3)写出 X 的分布列 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用 计数原理、古典概型等知识 跟踪训练
16、(2017 湖北部分重点中学联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子， 令第 i 次得到的点数为 ai，若存在正整数 k，使 a1a2ak6，则称 k 为你的幸运数字 (1)求你的幸运数字为 3 的概率； (2)若 k1，则你的得分为 6 分；若 k2，则你的得分为 4 分；若 k3，则你的得分为 2 分； 若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记 0 分，求得分 的分布列 解 (1)设“连续抛掷 3 次骰子，和为 6”为事件 A，则它包含事件 A1，A2，A3，其中 A1：三 次恰好均为 2；A2：三次中恰好为 1,2,3 各一次；A3：三次中有两次均为 1，一次为 4. A1，A2，A3为互斥事件，则
17、P(A)P(A1)P(A2)P(A3)C33 1 6 3C1 3 1 6 C 1 2 1 6 C 1 1 1 6C 2 3 1 6 2 1 6 5 108. (2)由已知得 的可能取值为 6,4,2,0， P(6)1 6，P(4) 1 6 22C1 21 6 1 6 5 36， P(2) 5 108，P(0)1 1 6 5 36 5 108 35 54. 故 的分布列为 6 4 2 0 P 1 6 5 36 5 108 35 54 题型三题型三 超几何分布超几何分布 典例 (2018 济南模拟)某外语学校的一个社团中有 7 名同学，其中 2 人只会法语，2 人只会英 语，3 人既会法语又会英语
18、，现选派 3 人到法国的学校交流访问求： (1)在选派的 3 人中恰有 2 人会法语的概率； (2)在选派的 3 人中既会法语又会英语的人数 X 的分布列 解 (1)设事件 A：选派的 3 人中恰有 2 人会法语， 则 P(A)C 2 5C 1 2 C37 4 7. (2)依题意知，X 服从超几何分布，X 的可能取值为 0,1,2,3， P(X0)C 3 4 C37 4 35， P(X1)C 2 4C 1 3 C37 18 35， P(X2)C 1 4C 2 3 C37 12 35， P(X3)C 3 3 C37 1 35， X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 4 35 18 35 12
19、35 1 35 思维升华 (1)超几何分布的两个特点 超几何分布是不放回抽样问题； 随机变量为抽到的某类个体的个数 (2)超几何分布的应用条件 两类不同的物品(或人、事)； 已知各类对象的个数； 从中抽取若干个个体 跟踪训练 PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒 物 根据现行国家标准GB30952012， PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级； 在 35 微克/立方米75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量 为超标 从某自然保护区 2017 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机地抽取 10 天的数据作
20、为样本，监 测值频数如下表所示： PM2.5 日均值 (微克/立方米) 25,35) 35,45) 45,55) 55,65) 65,75) 75,85 频数 3 1 1 1 1 3 (1)从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3 天，求恰有一天空气质量达到一级的 概率； (2)从这 10 天的数据中任取 3 天数据，记 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数，求 的分 布列 解 (1)记“从 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3 天，恰有一天空气质量达到一 级”为事件 A， 则 P(A)C 1 3C 2 7 C310 21 40. (2)依据条件知，
21、服从超几何分布，其中 N10，M3，n3，且随机变量 的可能取值为 0,1,2,3. P(k)C k 3 C 3k 7 C310 (k0,1,2,3) P(0)C 0 3C 3 7 C310 7 24， P(1)C 1 3C 2 7 C310 21 40， P(2)C 2 3C 1 7 C310 7 40， P(3)C 3 3C 0 7 C310 1 120. 故 的分布列为 0 1 2 3 P 7 24 21 40 7 40 1 120 离散型随机变量的分布列 典例 某射手有 5 发子弹，射击一次命中的概率为 0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹 用尽，求耗用子弹数 的分布列 错解展示： 现场纠错 解 由题意知 的取值为 1,2,3,4,5， P(1)0.9， P(2)0.10.90.09， P(3)0.10.10.90.009， P(4)0.130.90.000 9， P(5)0.140.000 1. 的分布列为 1 2 3 4 5 P 0.9 0.09 0.009 0.000 9 0.000 1 纠错心得 (1)随机变量的分布列，要弄清变量的取值，还要清楚变量的每个取值对应的事件 及其概率 (2)验证随机变量的概率和是否为 1.