1、 11.1 随机抽样随机抽样 最新考纲 考情考向分析 1.理解随机抽样的必要性和重要性 2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本； 了解分层抽样和系统抽样的方法. 在抽样方法的考查中，系统抽样，分层抽样 是考查的重点，题型主要以选择题和填空题 为主，属于中低档题. 1简单随机抽样 (1)定义： 一般地， 设一个总体含有N 个个体， 从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(nN)， 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样 (2)最常用的简单随机抽样方法有两种抽签法和随机数法 (3)应用范围：总体个体数较少 2系统抽样的步骤 一般地，假设要从容量为 N
2、的总体中抽取容量为 n 的样本 (1)先将总体的 N 个个体编号； (2)确定分段间隔 k，对编号进行分段当N n(n 是样本容量)是整数时，取 k N n； (3)在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l (lk)； (4)按照一定的规则抽取样本通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号(lk)，再加 k 得到 第 3 个个体编号(l2k)，依次进行下去，直到获取整个样本 3分层抽样 (1)定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立 地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽 样 (2)分层抽样的应用范
3、围： 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)简单随机抽样是一种不放回抽样( ) (2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关( ) (3)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大( ) (4)系统抽样在第 1 段抽样时采用简单随机抽样( ) (5)要从 1 002 个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本， 需要剔除 2 个学生， 这 样对被剔除者不公平( ) (6)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关( ) 题组二 教材改编 2P100A 组 T1在“世界读书日”前夕
4、，为了了解某地 5 000 名居民某天的阅读时间，从中 抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析 在这个问题中， 5 000 名居民的阅读时间的全体 是( ) A总体 B个体 C样本的容量 D从总体中抽取的一个样本 答案 A 解析 由题目条件知， 5 000 名居民的阅读时间的全体是总体； 其中 1 名居民的阅读时间是个 体；从 5 000 名居民某天的阅读时间中抽取的 200 名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个 样本，样本容量是 200. 3P100A 组 T2某公司有员工 500 人，其中不到 35 岁的有 125 人，3549 岁的有 280 人， 50 岁以上的有 95 人，为了
5、调查员工的身体健康状况，从中抽取 100 名员工，则应在这三个 年龄段分别抽取人数为( ) A33,34,33 B25,56,19 C20,40,30 D30,50,20 答案 B 解析 因为 12528095255619， 所以抽取人数分别为 25,56,19. 4P59T2某班共有 52 人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样 本，已知 3 号，29 号，42 号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是( ) A10 B11 C12 D16 答案 D 解析 从被抽中的 3 名学生的学号中可以看出学号间距为 13， 所以样本中还有一个学生的学 号是 16，故选
6、D. 题组三 易错自纠 5从编号为 150 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验，若 采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取 5 枚导弹的编号可能是( ) A5,10,15,20,25 B3,13,23,33,43 C1,2,3,4,5 D2,4,6,16,32 答案 B 解析 间隔距离为 10，故可能的编号是 3,13,23,33,43. 6甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4 800 件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测若样本中有 50 件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 _件 答案 1 800 解析 分
7、层抽样中各层的抽样比相同 样本中甲设备生产的产品有 50 件， 则乙设备生产的产 品有 30 件在 4 800 件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为 53，所以乙设备生产的产 品的总数为 1 800 件. 题型一题型一 简单随机抽样简单随机抽样 1某班级有男生 20 人，女生 30 人，从中抽取 10 人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到 了 4 名男生，6 名女生，则下列命题正确的是( ) A这次抽样中可能采用的是简单随机抽样 B这次抽样一定没有采用系统抽样 C这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率 D这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率 答案 A 解析
8、利用排除法求解这次抽样可能采用的是简单随机抽样，A 正确；这次抽样可能采用 系统抽样，男生编号为 120，女生编号为 2150，间隔为 5，依次抽取 1 号，6 号，46 号便可，B 错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，C 和 D 均 错误. 2总体由编号为 01,02，19,20 的 20 个个体组成利用下面的随机数表选取 5 个个体， 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选 出来的第 5 个个体的编号为( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4
9、935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B07 C02 D01 答案 D 解析 由题意知前 5 个个体的编号为 08,02,14,07,01. 3利用简单随机抽样，从 n 个个体中抽取一个容量为 10 的样本若第二次抽取时，余下的 每个个体被抽到的概率为1 3，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( ) A.1 4 B.1 3 C. 5 14 D.10 27 答案 C 解析 由题意知 9 n1 1 3，得 n28，所以整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为 10 28 5 14， 故选 C. 思维升华 应用简单随机抽样应注意的问题 (1)一个抽样试验能否用抽签法
10、，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀一 般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法 (2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起， 每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去 题型二题型二 系统抽样系统抽样 典例 (1)在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示： 若将运动员按成绩由好到差编为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在 区间139,151上的运动员人数是( ) A3 B4 C5 D6 答案 B 解析 由题意知，将 135 号分成 7 组，每
11、组 5 名运动员，成绩落在区间139,151内的运动 员共有 4 组，故由系统抽样法知，共抽取 4 名故选 B. (2)某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 1,2， 840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间481,720的人数为( ) A11 B12 C13 D14 答案 B 解析 由840 42 20，即每 20 人抽取 1 人，所以抽取编号落入区间481,720的人数为720480 20 240 20 12. 引申探究 1若本例(2)中条件不变，若号码“5”被抽到，那么号码“55”_被抽到(填“能” 或“不能”) 答案 不能
12、解析 若 55 被抽到，则 55520n，n2.5，n 不是整数故不能被抽到 2若本例(2)中条件不变，若在编号为481,720中抽取 8 人，则样本容量为_ 答案 28 解析 因为在编号481,720中共有 720480240 人，又在481,720中抽取 8 人， 所以抽样比应为 2408301，又因为单位职工共有 840 人，所以应抽取的样本容量为840 30 28. 思维升华 (1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大 (2)使用系统抽样时， 若总体容量不能被样本容量整除， 可以先从总体中随机地剔除几个个体， 从而确定分段间隔 (3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一
13、旦起始编号确定，其他编号便随之确定 跟踪训练 将参加夏令营的 600 名学生按 001,002，600 进行编号采用系统抽样的方法 抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分别住在三个营区，从 001 到 300 在第营区，从 301 到 495 在第营区，从 496 到 600 在第营区，则三个营区 被抽中的人数依次为( ) A26,16,8 B25,17,8 C25,16,9 D24,17,9 答案 B 解析 由题意及系统抽样的定义可知，将这 600 名学生按编号依次分成 50 组，每一组各有 12 名学生，第 k(kN*)组抽中的号码是 312(k1)
14、令 312(k1)300，得 k103 4 ，因 此第营区被抽中的人数是 25；令 300312(k1)495，得103 4 k42，因此第营区被 抽中的人数是 422517；第营区被抽中的人数为 5025178. 题型三题型三 分层抽样分层抽样 命题点 1 求总体或样本容量 典例 (1)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 120 件， 80 件， 60 件为 了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调 查，其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则 n 等于( ) A9 B10 C12 D13 答案 D 解析 3 60 n 120806
15、0，n13. (2)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为 357，现用分层抽样的方法 抽出容量为 n 的样本，其中甲种产品有 18 件，则样本容量 n 等于( ) A54 B90 C45 D126 答案 B 解析 依题意得 3 357n18，解得 n90，即样本容量为 90. 命题点 2 求某层入样的个体数 典例 (1)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状 况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本中的老年教师的人数为( ) 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1 800 青年教师 1 600 合计 4 300 A.90 B100
16、 C180 D300 答案 C 解析 由题意得抽样比为 320 1 600 1 5， 该样本中的老年教师的人数为 9001 5180. (2)(2017 重庆一诊)我国古代数学专著九章算术中有一衰分问题：今有北乡八千一百人， 西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣( ) A104 人 B108 人 C112 人 D120 人 答案 B 解 析 由 题 意 可 知 ， 这 是 一 个 分 层 抽 样 的 问 题 ， 其 中 北 乡 可 抽 取 的 人 数 为 300 8 100 8 1007 4886 912300 8 100 22 500108，故选 B. 思
17、维升华 分层抽样问题类型及解题思路 (1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算 (2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算 (3)确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况 跟踪训练 (1)(2017 南昌一模)某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 1 000 人，高二 1 200 人，高三 n 人中抽取 81 人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为 30， 那么 n 等于( ) A860 B720 C1 020 D1 040 答案 D 解析 分层抽样是按比例抽样的， 所以 81 1 200 1 0001 2
18、00n30， 解得 n1 040. (2)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图和图所示为了解该地区中小学生的近 视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视 人数分别为_ 答案 200,20 解析 该地区中小学生总人数为 3 5002 0004 50010 000， 则样本容量为 10 0002%200，其中抽取的高中生近视人数为 2 0002%50%20. 五审图表找规律 典例 (12 分)某单位有 2 000 名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产 各部门中，如下表所示： 人数 管理 技术开发 营销 生产 共计 老年 40 40
19、40 80 200 中年 80 120 160 240 600 青年 40 160 280 720 1 200 共计 160 320 480 1 040 2 000 (1)若要抽取 40 人调查身体状况，则应怎样抽样？ (2)若要开一个 25 人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？ (3)若要抽 20 人调查对天津全运会举办情况的了解，则应怎样抽样？ 抽取 40 人调查身体状况 (观察图表中的人数分类统计情况) 样本人群应受年龄影响 (表中老、中、青分类清楚，人数确定) 要以老、中、青分层，用分层抽样 要开一个 25 人的座谈会 (讨论单位发展与薪金调整) 样本人群应受管
20、理、技术开发、营销、生产方面的影响 (表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚，人数确定) 要以管理、技术开发、营销、生产人员分层，用分层抽样 要抽 20 人调查对天津全运会举办情况的了解 (可认为全运会是大众体育盛会，一个单位人员对情况了解相当) 将单位人员看作一个整体 (从表中数据看总人数为 2 000) 人员较多，可采用系统抽样 规范解答 解 (1)按老年、中年、青年分层用分层抽样法抽取，1 分 抽取比例为 40 2 000 1 50.2 分 故老年人、中年人、青年人各抽取 4 人，12 人，24 人4 分 (2)按管理、技术开发、营销、生产分层用分层抽样法抽取，5 分 抽取比例为 25 2 000 1 80，6 分 故管理、技术开发、营销、生产各部门分别抽取 2 人，4 人，6 人，13 人8 分 (3)用系统抽样， 对全部 2 000 人随机编号，号码从 00012000，每 100 号分为一组，从第一组中用简单随机 抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加 100,200，1 900，共 20 人组成一个样本 12 分