1、 9.7 抛物线抛物线 最新考纲 考情考向分析 1.了解抛物线的实际背景， 了解抛物线在刻画 现实世界和解决实际问题中的作用. 2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及 简单几何性质. 抛物线的方程、几何性质及与抛物线相关的 综合问题是命题的热点题型既有小巧灵活 的选择、填空题，又有综合性较强的解答题. 1抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线 2抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) p 的几何意义
2、：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点坐标 O(0,0) 对称轴 x 轴 y 轴 焦点坐标 F p 2，0 F p 2，0 F 0，p 2 F 0，p 2 离心率 e1 准线方程 xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 知识拓展 1抛物线 y22px(p0)上一点 P(x0，y0)到焦点 F p 2，0 的距离|PF|x0 p 2，也称为抛物线的 焦半径 2y2ax(a0)的焦点坐标为 a 4，0 ，准线方程为 x a 4. 3设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦， 若 A(x1，y1
3、)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2p 2 4，y1y2p 2. (2)弦长|AB|x1x2p 2p sin2( 为弦 AB 的倾斜角) (3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切 (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2p，通径是过焦点最短的弦 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( ) (2)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 a 4，0 ，准线方 程是 xa 4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形( ) (4)AB
4、为抛物线 y22px(p0)的过焦点 F p 2，0 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 p2 4 ， y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.( ) (5)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切( ) (6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么 抛物线 x22ay(a0)的通径长为 2a.( ) 题组二 教材改编 2P72T4过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1 x26，则|PQ|等于( ) A9 B8 C7 D6 答案 B 解析 抛物线 y24x 的焦
5、点为 F(1,0)，准线方程为 x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF| x11x21x1x228. 3P72T1已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点 P(2，4)，则该抛物 线的标准方程为_ 答案 y28x 或 x2y 解析 设抛物线方程为 y22px(p0)或 x22py(p0) 将 P(2，4)代入，分别得方程为 y28x 或 x2y. 题组三 易错自纠 4设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是( ) A4 B6 C8 D12 答案 B 解析 如图所示， 抛物线的准线 l 的方程为 x2，F 是抛物线的焦点，过点 P 作 P
6、Ay 轴，垂足是 A，延长 PA 交直线 l 于点 B，则|AB|2.由于点 P 到 y 轴的距离为 4，则点 P 到 准线 l 的距离|PB|426，所以点 P 到焦点的距离|PF|PB|6.故选 B. 5 已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点， 且顶点在原点， 则抛物线C的方程是( ) Ay2 2 2x By2 2x Cy2 4x Dy2 4 2x 答案 D 解析 由已知可知双曲线的焦点为( 2，0)，( 2，0)设抛物线方程为 y2 2px(p0)，则 p 2 2，所以 p2 2，所以抛物线方程为 y 2 4 2x.故选 D. 6设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过
7、点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是_ 答案 1,1 解析 Q(2,0)，当直线 l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线 l 的方程为 yk(x2)， 代入抛物线方程，消去 y 整理得 k2x2(4k28)x4k20， 由 (4k28)24k2 4k264(1k2)0， 解得1k1. 题型一题型一 抛物线的定义及应用抛物线的定义及应用 典例 设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，若 B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_ 答案 4 解析 如图，过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1， 则|P1Q|P1F|. 则有|PB|PF|P1B|
8、P1Q|BQ|4， 即|PB|PF|的最小值为 4. 引申探究 1若将本例中的 B 点坐标改为(3,4)，试求|PB|PF|的最小值 解 由题意可知点 B(3,4)在抛物线的外部 |PB|PF|的最小值即为 B，F 两点间的距离，F(1,0)， |PB|PF|BF|42222 5， 即|PB|PF|的最小值为 2 5. 2若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为 y24x，直线 l 的方程为 xy50，在抛物 线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1，到直线 l 的距离为 d2，求 d1d2的最小值 解 由题意知，抛物线的焦点为 F(1,0) 点 P 到 y 轴的距离 d1|PF|1， 所以
9、d1d2d2|PF|1. 易知 d2|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离， 故 d2|PF|的最小值为 |15| 12123 2， 所以 d1d2的最小值为 3 21. 思维升华 与抛物线有关的最值问题， 一般情况下都与抛物线的定义有关 “看到准线想焦点， 看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径 跟踪训练 设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，则点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到直线 x 1 的距离之和的最小值为_ 答案 5 解析 如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线是 x1， 由抛物线的定义知点 P 到直线 x1 的距离等于点 P 到 F
10、 的距离 于是，问题转化为在抛物线上求一点 P， 使点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小， 显然，连接 AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为 112012 5. 题型二题型二 抛物线的标准方程和几何性质抛物线的标准方程和几何性质 命题点 1 求抛物线的标准方程 典例 (2017 深圳模拟)如图所示， 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A， B， 交其准线 l 于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为( ) Ay23 2x By29x Cy29 2x Dy23x 答案 D 解析 分别过点 A，
11、B 作 AA1l，BB1l，且垂足分别为 A1，B1，由已知条件|BC|2|BF|， 得|BC|2|BB1|， 所以BCB130 .又|AA1|AF|3， 所以|AC|2|AA1|6， 所以|CF|AC|AF|633， 所以 F 为线段 AC 的中点 故点 F 到准线的距离为 p1 2|AA1| 3 2， 故抛物线的方程为 y23x. 命题点 2 抛物线的几何性质 典例 已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过 F 的直线与抛物线的两 个交点，求证： (1)y1y2p2，x1x2p 2 4 ； (2) 1 |AF| 1 |BF|为定值； (3)以 AB
12、 为直径的圆与抛物线的准线相切 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为 p 2，0 . 由题意可设直线方程为 xmyp 2，代入 y 22px， 得 y22p myp 2 ，即 y22pmyp20.(*) 因为 p 2，0 在抛物线内部， 所以直线与抛物线必有两交点 则 y1，y2是方程(*)的两个实数根， 所以 y1y2p2. 因为 y212px1，y222px2，所以 y21y224p2x1x2， 所以 x1x2y 2 1y 2 2 4p2 p4 4p2 p2 4 . (2) 1 |AF| 1 |BF| 1 x1p 2 1 x2p 2 x1x2p x1x2p 2x1x2 p2 4 . 因为
13、x1x2p 2 4 ，x1x2|AB|p，代入上式， 得 1 |AF| 1 |BF| |AB| p2 4 p 2|AB|p p2 4 2 p(定值) (3)设 AB 的中点为 M(x0，y0)，如图所示，分别过 A，B 作准线 l 的垂线，垂足为 C，D，过 M 作准线 l 的垂线，垂足为 N， 则|MN|1 2(|AC|BD|) 1 2(|AF|BF|) 1 2|AB|. 所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方 向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 (2)在解决与抛物
14、线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题， 特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此 跟踪训练 (1)(2017 广西三市调研)若抛物线 y22px(p0)上的点 A(x0， 2)到其焦点的距离是 A 到 y 轴距离的 3 倍，则 p 等于( ) A.1 2 B1 C. 3 2 D2 答案 D 解析 由题意得 3x0x0p 2，即 x0 p 4， 即 A p 4， 2 ，代入抛物线方程，得 p2 2 2， p0，p2.故选 D. (2)(2017 郑州二模)过点 P(2,0)的直线与抛物线 C： y24x 相交于 A， B 两点， 且|PA|1 2|AB|， 则点 A
15、到抛物线 C 的焦点的距离为( ) A.5 3 B.7 5 C.9 7 D2 答案 A 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 分别过点 A， B 作直线 x2 的垂线， 垂足分别为点 D， E.|PA| 1 2|AB|， 3x12x22， 3y1y2， 又 y214x1， y224x2， 得 x12 3， 则点 A 到抛物线 C 的焦点的距离为 12 3 5 3. 题型三题型三 直线与抛物线的综合问题直线与抛物线的综合问题 命题点 1 直线与抛物线的交点问题 典例 已知抛物线 C：y28x 与点 M(2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两 点若MA
16、 MB 0，则 k_. 答案 2 解析 抛物线 C 的焦点为 F(2,0)，则直线方程为 yk(x2)，与抛物线方程联立，消去 y 化 简得 k2x2(4k28)x4k20，则抛物线 C 与直线必有两个交点设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x248 k2，x1x24. 所以 y1y2k(x1x2)4k8 k， y1y2k2x1x22(x1x2)416. 因为MA MB (x12，y12) (x22，y22) (x12)(x22)(y12)(y22) x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80， 将上面各个量代入，化简得 k24k40，所以 k2. 命题点 2 与抛物线弦
17、的中点有关的问题 典例 (2016 全国)已知抛物线 C：y22x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点 (1)若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明：ARFQ； (2)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程 (1)证明 由题意知，F 1 2，0 ，设 l1：ya，l2：yb，则 ab0， 且 A a2 2，a ，B b2 2，b ，P 1 2，a ，Q 1 2，b ， R 1 2， ab 2 . 记过 A，B 两点的直线为 l，则 l 的方程为 2x(ab)yab0. 由于 F
18、在线段 AB 上，故 1ab0. 记 AR 的斜率为 k1，FQ 的斜率为 k2， 则 k1 ab 1a2 ab a2ab 1 a ab a b b0 1 2 1 2 k2. 所以 ARFQ. (2)解 设过 AB 的直线为 l， 设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0)， 则 SABF1 2|ba|FD| 1 2|ba| x11 2 ， SPQF|ab| 2 . 由题意可得|ba| x11 2 |ab| 2 ， 所以 x11，x10(舍去) 设满足条件的 AB 的中点为 E(x，y) 当 AB 与 x 轴不垂直时， 由 kABkDE可得 2 ab y x1(x1) 而ab 2 y，所以 y
19、2x1(x1) 当 AB 与 x 轴垂直时，E 与 D 重合， 此时 E 点坐标为(1,0)，满足方程 y2x1. 所以所求轨迹方程为 y2x1. 思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到 根与系数的关系 (2)有关直线与抛物线的弦长问题， 要注意直线是否过抛物线的焦点 若过抛物线的焦点(设焦 点在 x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公 式 (3)涉及抛物线的弦长、 中点、 距离等相关问题时， 一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、 “整体代入”等解法 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解
20、跟踪训练 (2018 届武汉调研)已知抛物线 C：x22py(p0)和定点 M(0,1)，设过点 M 的动直线 交抛物线 C 于 A，B 两点，抛物线 C 在 A，B 处的切线交点为 N. (1)若 N 在以 AB 为直径的圆上，求 p 的值； (2)若ABN 面积的最小值为 4，求抛物线 C 的方程 解 (1)可设 AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将 AB 的方程代入抛物线 C，得 x22pkx2p0，显然方程有两不等实根， 则 x1x22pk，x1x22p. 又 x22py 得 yx p， 则 A，B 处的切线斜率乘积为x1x2 p2 2 p1， 则有 p2. (2)
21、设切线 AN 为 yx1 pxb， 又切点 A 在抛物线 yx 2 2p上， y1x 2 1 2p，b x21 2p x21 p x21 2p， yANx1 px x21 2p. 同理 yBNx2 px x22 2p. 又N 在 yAN和 yBN上， yx1 px x21 2p， yx2 px x22 2p， 解得 N x1x2 2 ，x1x2 2p . N(pk，1) |AB| 1k2|x2x1| 1k24p2k28p， 点 N 到直线 AB 的距离 d|kxN1yN| 1k2 |pk 22| 1k2， SABN1 2 |AB| d ppk2232 2p， 2 2p4，p2， 故抛物线 C
22、的方程为 x24y. 直线与圆锥曲线问题的求解策略 典例 (12 分)已知抛物线 C：ymx2(m0)，焦点为 F，直线 2xy20 交抛物线 C 于 A，B 两点，P 是线段 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q. (1)求抛物线 C 的焦点坐标； (2)若抛物线 C 上有一点 R(xR，2)到焦点 F 的距离为 3，求此时 m 的值； (3)是否存在实数 m，使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出 m 的值；若 不存在，请说明理由 思维点拨 (3)中证明QA QB 0. 规范解答 解 (1)抛物线 C：x21 my，它的焦点 F 0， 1 4m .
23、2 分 (2)|RF|yR 1 4m，2 1 4m3，得 m 1 4.4 分 (3)存在，联立方程 ymx2， 2xy20， 消去 y 得 mx22x20， 依题意，有 (2)24m(2)0， 得 m1 2.6 分 设 A(x1，mx21)，B(x2，mx22)，则 x1x22 m， x1 x22 m. (*) P 是线段 AB 的中点，P x1x2 2 ，mx 2 1mx 2 2 2 ， 即 P 1 m，yP ，Q 1 m， 1 m ，8 分 得QA x11 m，mx 2 1 1 m ， QB x21 m，mx 2 21 m . 若存在实数 m，使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形，则
24、QA QB 0， 即 x11 m x21 m mx211 m mx221 m 0，10 分 结合(*)式化简得 4 m2 6 m40， 即 2m23m20，m2 或 m1 2， 而 2 1 2， ， 1 2 1 2， . 存在实数 m2，使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形12 分 解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于 x 或 y 的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出 0 时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于 x1x2，x1x2(或 y1y2，y1y2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况