1、第第 2 课时课时 直线与椭圆直线与椭圆 题型一题型一 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系 1若直线 ykx1 与椭圆x 2 5 y2 m1 总有公共点，则 m 的取值范围是( ) Am1 Bm0 C00，即3 2b0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆 E 于 A，B 两 点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为( ) A.x 2 45 y2 361 B.x 2 36 y2 271 C.x 2 27 y2 181 D.x 2 18 y2 91 答案 D 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以 x21 a2 y21 b21， x22 a2 y22
2、b21 运用点差法， 所以直线 AB 的斜率为 kb 2 a2， 设直线方程为 yb 2 a2(x3)， 联立直线与椭圆的方程得 (a2b2)x26b2x9b2a40， 所以 x1x2 6b2 a2b22， 又因为 a2b29，解得 b29，a218. 命题点 3 椭圆与向量等知识的综合 典例 (2017 沈阳质检)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)，e 1 2，其中 F 是椭圆的右焦点，焦距 为 2，直线 l 与椭圆 C 交于点 A，B，线段 AB 的中点横坐标为1 4，且AF FB(其中 1) (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)求实数 的值 解 (1)由椭圆的焦距为 2
3、，知 c1，又 e1 2，a2， 故 b2a2c23， 椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y2 31. (2)由AF FB，可知 A，B，F 三点共线，设点 A(x 1，y1)，点 B(x2，y2) 若直线 ABx 轴，则 x1x21，不符合题意； 当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时， 设 l 的方程为 yk(x1) 由 ykx1， x2 4 y2 31， 消去 y 得 (34k2)x28k2x4k2120. 的判别式 64k44(4k23)(4k212) 144(k21)0. x1x2 8k2 4k23， x1x24k 212 4k23 ， x1x2 8k2 4k232 1 4 1
4、2，k 21 4. 将 k21 4代入方程，得 4x 22x110， 解得 x1 3 5 4 . 又AF (1x 1，y1)，FB (x 21，y2)，AF FB， 即 1x1(x21)，1x1 x21，又 1， 3 5 2 . 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方 程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往 往会更简单 (2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| 1k2x1x224x1x2 11 k2 y1y224y1y2(k 为直线斜率) (3)利用公式计算直线被椭圆截得
5、的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式 跟踪训练 (2018 长春调研)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个顶点为 B(0，4)，离心率 e 5 5 ， 直线 l 交椭圆于 M，N 两点 (1)若直线 l 的方程为 yx4，求弦 MN 的长； (2)如果BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 l 方程的一般式 解 (1)由已知得 b4，且c a 5 5 ， 即c 2 a2 1 5， a2b2 a2 1 5， 解得 a220，椭圆方程为x 2 20 y2 161. 将 4x25y280 与 yx4 联立， 消去 y 得 9x240x0，x10，x240 9 ， 所求
6、弦长|MN| 112|x2x1|40 2 9 . (2)椭圆右焦点 F 的坐标为(2,0)， 设线段 MN 的中点为 Q(x0，y0)， 由三角形重心的性质知 BF 2FQ ， 又 B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)， 即 22x02， 42y0， 故得 x03，y02， 即 Q 的坐标为(3，2) 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1x26，y1y24， 且x 2 1 20 y21 161， x22 20 y22 161， 以上两式相减得 x1x2x1x2 20 y1y2y1y2 16 0， kMNy1y2 x1x2 4 5 x1x2 y1y2 4 5 6 4 6 5，
7、 故直线 MN 的方程为 y26 5(x3)， 即 6x5y280. 高考中求椭圆的离心率问题 考点分析 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有 两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范 围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于 a，b，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要 把其中的 b 用 a，c 表示，转化为关于离心率 e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难 点的根本方法 典例 1 已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x 4y0 交椭圆 E 于 A
8、，B 两点若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于4 5，则椭圆 E 的离心率的取值范围是( ) A. 0， 3 2 B. 0，3 4 C. 3 2 ，1 D. 3 4，1 解析 设左焦点为 F0，连接 F0A，F0B，则四边形 AFBF0为平行四边形 |AF|BF|4， |AF|AF0|4， a2. 设 M(0，b)，则 M 到直线 l 的距离 d4b 5 4 5， 1b2. 离心率 ec a c2 a2 a2b2 a2 4b2 4 0， 3 2 ， 故选 A. 答案 A 典例 2 (12 分)(2016 浙江)如图，设椭圆方程为x 2 a2y 21(a1) (1)求直线 ykx
9、1 被椭圆截得的线段长(用 a，k 表示)； (2)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围 规范解答 解 (1)设直线 ykx1 被椭圆截得的线段为 AM， 由 ykx1， x2 a2y 21， 得(1a2k2)x22a2kx0，2 分 故 x10，x2 2a2k 1a2k2， 因此|AM|1k2|x1x2| 2a2|k| 1a2k2 1k 2.4 分 (2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P，Q， 满足|AP|AQ|. 记直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2， 且 k10，k20，k1k2.5
10、 分 由(1)知|AP|2a 2|k 1| 1k 2 1 1a2k21 ， |AQ|2a 2|k 2| 1k22 1a2k22 ， 故2a 2|k 1| 1k 2 1 1a2k21 2a 2|k 2| 1k 2 2 1a2k22 ， 所以(k21k22)1k21k22a2(2a2)k21k220.7 分 由 k1k2，k10，k20 得 1k21k22a2(2a2)k21k220， 因此 1 k211 1 k221 1a 2(a22)， 因为式关于 k1，k2的方程有解的充要条件是 1a2(a22)1，所以 a 2. 因此，任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1a 2，10 分 由 ec a a21 a2 1 1 a2，得 0e 2 2 . 所以离心率的取值范围是 0， 2 2 .12 分