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高考数学一轮复习学案:9.5 椭圆 第2课时 直线与椭圆(含答案)

1、第第 2 课时课时 直线与椭圆直线与椭圆 题型一题型一 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系 1若直线 ykx1 与椭圆x 2 5 y2 m1 总有公共点,则 m 的取值范围是( ) Am1 Bm0 C00,即3 2b0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆 E 于 A,B 两 点若 AB 的中点坐标为(1,1),则 E 的方程为( ) A.x 2 45 y2 361 B.x 2 36 y2 271 C.x 2 27 y2 181 D.x 2 18 y2 91 答案 D 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 所以 x21 a2 y21 b21, x22 a2 y22

2、b21 运用点差法, 所以直线 AB 的斜率为 kb 2 a2, 设直线方程为 yb 2 a2(x3), 联立直线与椭圆的方程得 (a2b2)x26b2x9b2a40, 所以 x1x2 6b2 a2b22, 又因为 a2b29,解得 b29,a218. 命题点 3 椭圆与向量等知识的综合 典例 (2017 沈阳质检)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0),e 1 2,其中 F 是椭圆的右焦点,焦距 为 2,直线 l 与椭圆 C 交于点 A,B,线段 AB 的中点横坐标为1 4,且AF FB(其中 1) (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求实数 的值 解 (1)由椭圆的焦距为 2

3、,知 c1,又 e1 2,a2, 故 b2a2c23, 椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y2 31. (2)由AF FB,可知 A,B,F 三点共线,设点 A(x 1,y1),点 B(x2,y2) 若直线 ABx 轴,则 x1x21,不符合题意; 当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时, 设 l 的方程为 yk(x1) 由 ykx1, x2 4 y2 31, 消去 y 得 (34k2)x28k2x4k2120. 的判别式 64k44(4k23)(4k212) 144(k21)0. x1x2 8k2 4k23, x1x24k 212 4k23 , x1x2 8k2 4k232 1 4 1

4、2,k 21 4. 将 k21 4代入方程,得 4x 22x110, 解得 x1 3 5 4 . 又AF (1x 1,y1),FB (x 21,y2),AF FB, 即 1x1(x21),1x1 x21,又 1, 3 5 2 . 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方 程联立,应用根与系数的关系,解决相关问题涉及弦中点的问题时用“点差法”解决,往 往会更简单 (2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB| 1k2x1x224x1x2 11 k2 y1y224y1y2(k 为直线斜率) (3)利用公式计算直线被椭圆截得

5、的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式 跟踪训练 (2018 长春调研)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个顶点为 B(0,4),离心率 e 5 5 , 直线 l 交椭圆于 M,N 两点 (1)若直线 l 的方程为 yx4,求弦 MN 的长; (2)如果BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F,求直线 l 方程的一般式 解 (1)由已知得 b4,且c a 5 5 , 即c 2 a2 1 5, a2b2 a2 1 5, 解得 a220,椭圆方程为x 2 20 y2 161. 将 4x25y280 与 yx4 联立, 消去 y 得 9x240x0,x10,x240 9 , 所求

6、弦长|MN| 112|x2x1|40 2 9 . (2)椭圆右焦点 F 的坐标为(2,0), 设线段 MN 的中点为 Q(x0,y0), 由三角形重心的性质知 BF 2FQ , 又 B(0,4),(2,4)2(x02,y0), 即 22x02, 42y0, 故得 x03,y02, 即 Q 的坐标为(3,2) 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x1x26,y1y24, 且x 2 1 20 y21 161, x22 20 y22 161, 以上两式相减得 x1x2x1x2 20 y1y2y1y2 16 0, kMNy1y2 x1x2 4 5 x1x2 y1y2 4 5 6 4 6 5,

7、 故直线 MN 的方程为 y26 5(x3), 即 6x5y280. 高考中求椭圆的离心率问题 考点分析 离心率是椭圆的重要几何性质,是高考重点考查的一个知识点,这类问题一般有 两类:一类是根据一定的条件求椭圆的离心率;另一类是根据一定的条件求离心率的取值范 围,无论是哪类问题,其难点都是建立关于 a,b,c 的关系式(等式或不等式),并且最后要 把其中的 b 用 a,c 表示,转化为关于离心率 e 的关系式,这是化解有关椭圆的离心率问题难 点的根本方法 典例 1 已知椭圆 E:x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x 4y0 交椭圆 E 于 A

8、,B 两点若|AF|BF|4,点 M 到直线 l 的距离不小于4 5,则椭圆 E 的离心率的取值范围是( ) A. 0, 3 2 B. 0,3 4 C. 3 2 ,1 D. 3 4,1 解析 设左焦点为 F0,连接 F0A,F0B,则四边形 AFBF0为平行四边形 |AF|BF|4, |AF|AF0|4, a2. 设 M(0,b),则 M 到直线 l 的距离 d4b 5 4 5, 1b2. 离心率 ec a c2 a2 a2b2 a2 4b2 4 0, 3 2 , 故选 A. 答案 A 典例 2 (12 分)(2016 浙江)如图,设椭圆方程为x 2 a2y 21(a1) (1)求直线 ykx

9、1 被椭圆截得的线段长(用 a,k 表示); (2)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点,求椭圆离心率的取值范围 规范解答 解 (1)设直线 ykx1 被椭圆截得的线段为 AM, 由 ykx1, x2 a2y 21, 得(1a2k2)x22a2kx0,2 分 故 x10,x2 2a2k 1a2k2, 因此|AM|1k2|x1x2| 2a2|k| 1a2k2 1k 2.4 分 (2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个,由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P,Q, 满足|AP|AQ|. 记直线 AP,AQ 的斜率分别为 k1,k2, 且 k10,k20,k1k2.5

10、 分 由(1)知|AP|2a 2|k 1| 1k 2 1 1a2k21 , |AQ|2a 2|k 2| 1k22 1a2k22 , 故2a 2|k 1| 1k 2 1 1a2k21 2a 2|k 2| 1k 2 2 1a2k22 , 所以(k21k22)1k21k22a2(2a2)k21k220.7 分 由 k1k2,k10,k20 得 1k21k22a2(2a2)k21k220, 因此 1 k211 1 k221 1a 2(a22), 因为式关于 k1,k2的方程有解的充要条件是 1a2(a22)1,所以 a 2. 因此,任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1a 2,10 分 由 ec a a21 a2 1 1 a2,得 0e 2 2 . 所以离心率的取值范围是 0, 2 2 .12 分