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高考数学一轮复习学案:9.5 椭圆 第1课时 椭圆及其性质(含答案)

1、 9.5 椭椭 圆圆 最新考纲 考情考向分析 1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画 现实世界和解决实际问题中的作用 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程 及简单几何性质. 椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小 题形式考查,直线与椭圆的位置关系主要出 现在解答题中题型主要以选择、填空题为 主,一般为中档题,椭圆方程的求解经常出 现在解答题的第一问. 1椭圆的概念 平面内与两个定点 F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点 叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 集合 PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中 a0,c0,且 a,c 为常数

2、: (1)若 ac,则集合 P 为椭圆; (2)若 ac,则集合 P 为线段; (3)若 ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 图形 性 质 范围 axa byb aya bxb 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点坐标 A1(a,0),A2(a,0) B1(0,b),B2(0,b) A1(0,a),A2(0,a) B1(b,0),B2(b,0) 轴 长轴 A1A2的长为 2a;短轴 B1B2的长为 2b 焦距 |F1F2|2c 离心率 ec a(0,1) a,b,c 的关系 a2b2c2 知识拓展 点 P(x0,y0)和椭圆的位置关系 (1)点 P(x0,y0)在椭圆内x 2

3、 0 a2 y20 b21. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与两个定点 F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆( ) (2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1,F2构成PF1F2的周长为 2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴长,c 为椭圆的半焦距)( ) (3)椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆( ) (4)方程 mx2ny21(m0,n0,mn)表示的曲线是椭圆( ) (5)y 2 a2 x2 b21(ab)表示焦点在 y 轴上的椭圆( ) (6)x 2 a2 y2 b21(ab0)与 y2 a2 x2 b21(ab0)的焦距相等( ) 题组

4、二 教材改编 2P80A 组 T3(1)椭圆 x2 10m y2 m21 的焦距为 4,则 m 等于( ) A4 B8 C4 或 8 D12 答案 C 解析 当焦点在 x 轴上时,10mm20, 10m(m2)4,m4. 当焦点在 y 轴上时,m210m0,m2(10m)4,m8. m4 或 8. 3P49A 组 T5过点 A(3,2)且与椭圆x 2 9 y2 41 有相同焦点的椭圆的方程为( ) A.x 2 15 y2 101 B.x 2 25 y2 201 C.x 2 10 y2 151 D.x 2 20 y2 151 答案 A 解析 由题意知 c25,可设椭圆方程为 x2 5 y2 1(

5、0),则 9 5 4 1,解得 10 或 2(舍去), 所求椭圆的方程为x 2 15 y2 101. 4P49A 组 T6已知点 P 是椭圆x 2 5 y2 41 上 y 轴右侧的一点,且以点 P 及焦点 F1,F2为顶 点的三角形的面积等于 1,则点 P 的坐标为_ 答案 15 2 ,1 或 15 2 ,1 解析 设 P(x,y),由题意知 c2a2b2541, 所以 c1,则 F1(1,0),F2(1,0)由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1,所以 y 1,把 y 1 代入x 2 5 y2 41,得 x 15 2 ,又 x0,所以 x 15 2 , 所以 P 点坐标为 15 2 ,1

6、或 15 2 ,1 . 题组三 易错自纠 5若方程 x2 5m y2 m31 表示椭圆,则 m 的取值范围是( ) A(3,5) B(5,3) C(3,1)(1,5) D(5,1)(1,3) 答案 C 解析 由方程表示椭圆知 5m0, m30, 5mm3, 解得30)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 3 3 ,过 F2的直线 l 交 C 于 A,B 两点,若AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为( ) A.x 2 3 y2 21 B.x 2 3y 21 C.x 2 12 y2 81 D.x 2 12 y2 41 答案 A 解析 AF1B 的周长为 4 3,4a4 3, a 3,离

7、心率为 3 3 ,c1, b a2c2 2,椭圆 C 的方程为x 2 3 y2 21. 故选 A. 第第 1 课时课时 椭圆及其性质椭圆及其性质 题型一题型一 椭圆的定义及应用椭圆的定义及应用 1.如图所示,一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一定点,M 是圆周上一动点,把纸片折叠使 M 与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 交于点 P,则点 P 的轨迹是( ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 答案 A 解析 由条件知|PM|PF|, |PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|. P 点的轨迹是以 O,F 为焦点的椭圆 2过椭圆 4x2y21 的一个焦点 F1的直线与椭

8、圆交于 A,B 两点,则 A 与 B 和椭圆的另一 个焦点 F2构成的ABF2的周长为( ) A2 B4 C8 D2 2 答案 B 解析 椭圆方程变形为y 2 1 x2 1 4 1, 椭圆长轴长 2a2,ABF2的周长为 4a4. 3(2017 承德模拟)椭圆x 2 4y 21 的左、右焦点分别为 F 1,F2,过 F1作垂直于 x 轴的直线与 椭圆相交,一个交点为 P,则|PF2|等于( ) A.7 2 B. 3 2 C. 3 D4 答案 A 解析 F1( 3,0),PF1x 轴, P 3, 1 2 ,|PF1 |1 2, |PF2 |41 2 7 2. 4(2017 呼和浩特模拟)已知 F

9、 是椭圆 5x29y245 的左焦点,P 是此椭圆上的动点,A(1,1) 是一定点,则|PA|PF|的最大值为_,最小值为_ 答案 6 2 6 2 解析 椭圆方程化为x 2 9 y2 51, 设 F1是椭圆的右焦点,则 F1(2,0), |AF1| 2,|PA|PF|PA|PF1|6, 又|AF1|PA|PF1|AF1|(当 P,A,F1共线时等号成立), |PA|PF|6 2,|PA|PF|6 2. 思维升华 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和 离心率等 (2)通常定义和余弦定理结合使用,求解关于焦点三角形的周长和面积问题

10、 题型二题型二 椭圆的标准方程椭圆的标准方程 命题点 1 利用定义法求椭圆的标准方程 典例 (1)(2018 济南调研)已知两圆 C1:(x4)2y2169,C2:(x4)2y29,动圆在圆 C1 内部且和圆 C1相内切,和圆 C2相外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为( ) A.x 2 64 y2 481 B.x 2 48 y2 641 C.x 2 48 y2 641 D.x 2 64 y2 481 答案 D 解析 设圆 M 的半径为 r, 则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|, 所以 M 的轨迹是以 C1,C2为焦点的椭圆, 且 2a16,2c8,故所求的轨迹方程为x 2

11、 64 y2 481. (2)在ABC 中,A(4,0),B(4,0),ABC 的周长是 18,则顶点 C 的轨迹方程是( ) A.x 2 25 y2 91(y0) B.y 2 25 x2 91(y0) C.x 2 16 y2 91(y0) D.y 2 16 x2 91(y0) 答案 A 解析 由|AC|BC|188108 知,顶点 C 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆(A,B,C 不 共线)设其方程为x 2 a2 y2 b21(ab0),则 a5,c4,从而 b3.由 A,B,C 不共线知 y0. 故顶点 C 的轨迹方程是x 2 25 y2 91(y0) 命题点 2 利用待定系数法求椭圆方程

12、 典例 (1)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 3 2, 5 2 ,( 3, 5),则 椭圆方程为_ 答案 y2 10 x2 61 解析 设椭圆方程为 mx2ny21(m,n0,mn) 由 3 2 2m 5 2 2n1, 3m5n1, 解得 m1 6,n 1 10. 椭圆方程为y 2 10 x2 61. (2)过点( 3, 5), 且与椭圆y 2 25 x2 91 有相同焦点的椭圆的标准方程为_ 答案 y2 20 x2 41 解析 方法一 椭圆y 2 25 x2 91 的焦点为(0,4),(0,4),即 c4. 由椭圆的定义知,2a 302 542 302 542, 解得 a

13、2 5. 由 c2a2b2可得 b24, 所求椭圆的标准方程为y 2 20 x2 41. 方法二 所求椭圆与椭圆y 2 25 x2 91 的焦点相同, 其焦点在 y 轴上,且 c225916. 设它的标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab0) c216,且 c2a2b2,故 a2b216. 又点( 3, 5)在所求椭圆上, 5 2 a2 3 2 b2 1, 即 5 a2 3 b21. 由得 b24,a220, 所求椭圆的标准方程为y 2 20 x2 41. 思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法 (2)利用定义法求椭圆方程,要注意条件 2a|F1F2|;利用待定系数法要先

14、定形(焦点位置),再 定量,也可把椭圆方程设为 mx2ny21(m0,n0,mn)的形式 跟踪训练 设 F1,F2分别是椭圆 E:x2y 2 b21(0c0,a 2b2c2)的左、右焦点分别为 F 1,F2,若 以 F2为圆心,bc 为半径作圆 F2,过椭圆上一点 P 作此圆的切线,切点为 T,且|PT|的最小 值不小于 3 2 (ac),则椭圆的离心率 e 的取值范围是_ 答案 3 5, 2 2 解析 因为|PT| |PF2|2bc2(bc), 而|PF2|的最小值为 ac, 所以|PT|的最小值为 ac2bc2. 依题意,有 ac2bc2 3 2 (ac), 所以(ac)24(bc)2,所以 ac2(bc), 所以 ac2b,所以(ac)24(a2c2), 所以 5c22ac3a20,所以 5e22e30. 又 bc,所以 b2c2,所以 a2c2c2, 所以 2e21. 联立,得3 5e 2 2 .