1、 9.2 两条直线的位置关系两条直线的位置关系 最新考纲 考情考向分析 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直 线平行或垂直 2.能用解方程组的方法求两条相交直线 的交点坐标 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的 距离公式， 会求两条平行直线间的距离. 以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、 点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主， 有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇 考查题型主要以选择、填空题为主，要求 相对较低，但内容很重要，特别是距离公式， 是高考考查的重点. 1两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 两条直线平行： ()对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为 k1，
2、k2，则有 l1l2k1k2. ()当直线 l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2. 两条直线垂直： ()如果两条直线 l1，l2的斜率存在，设为 k1，k2，则有 l1l2k1 k21. ()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为 0 时，l1l2. (2)两条直线的交点 直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则 l1与 l2的交点坐标就是方程组 A1xB1yC10， A2xB2yC20 的解 2几种距离 (1)两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|x2x12y2y12. (2)点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离
3、 d|Ax0By0C| A2B2 . (3)两条平行线 AxByC10 与 AxByC20(其中 C1C2)间的距离 d |C1C2| A2B2 . 知识拓展 1直线系方程 (1)与直线 AxByC0 平行的直线系方程是 AxBym0(mR 且 mC) (2)与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是 BxAyn0(nR) 2两直线平行或重合的充要条件 直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20 平行或重合的充要条件是 A1B2A2B1 0. 3两直线垂直的充要条件 直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20 垂直的充要条件是 A1A2B1B20. 4
4、过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为 A1xB1yC1 (A2xB2yC2)0(R)，但不包括 l2. 5点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式 (2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且 x，y 的系数对应相等 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)当直线 l1和 l2斜率都存在时，一定有 k1k2l1l2.( ) (2)如果两条直线 l1与 l2垂直，则它们的斜率之积一定为1.( ) (3)已知直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC
5、20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 若直线 l1l2，则 A1A2B1B20.( ) (4)点 P(x0，y0)到直线 ykxb 的距离为|kx0b| 1k2.( ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离( ) (6)若点 A，B 关于直线 l：ykxb(k0)对称，则直线 AB 的斜率等于1 k，且线段 AB 的中 点在直线 l 上( ) 题组二 教材改编 2P110B 组 T2已知点(a,2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a 等于( ) A. 2 B2 2 C. 21 D. 21 答案 C 解析 由题意得|a23| 11 1. 解得
6、 a1 2或 a1 2.a0，a1 2. 3 P101A组T10已知P(2， m)， Q(m,4)， 且直线PQ垂直于直线xy10， 则m_. 答案 1 解析 由题意知 m4 2m1，所以 m42m， 所以 m1. 题组三 易错自纠 4(2017 郑州调研)直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行，则 m 等于( ) A2 B3 C2 或3 D2 或3 答案 C 解析 直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行，则有2 m m1 3 4 2，故 m2 或3.故选 C. 5直线 2x2y10，xy20 之间的距离是_ 答案 3 2 4 解析 先将 2x2y10 化为 xy1
7、 20， 则两平行线间的距离为 d 21 2 2 3 2 4 . 6若直线(3a2)x(14a)y80 与(5a2)x(a4)y70 垂直，则 a_. 答案 0 或 1 解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得 a0 或 a1. 题型一题型一 两条直线的位置关系两条直线的位置关系 典例 (2018 青岛模拟)已知两条直线 l1：axby40 和 l2：(a1)xyb0，求满足下列 条件的 a，b 的值 (1)l1l2，且 l1过点(3，1)； (2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等 解 (1)由已知可得 l2的斜率存在，且 k21a. 若 k20
8、，则 1a0，a1. l1l2，直线 l1的斜率 k1必不存在，即 b0. 又l1过点(3，1)， 3a40，即 a4 3(矛盾)，此种情况不存在， k20，即 k1，k2都存在且不为 0. k21a，k1a b，l1l2， k1k21，即a b(1a)1.(*) 又l1过点(3，1)，3ab40.(*) 由(*)(*)联立，解得 a2，b2. (2)l2的斜率存在，l1l2，直线 l1的斜率存在， k1k2，即a b1a， 又坐标原点到这两条直线的距离相等，且 l1l2， l1，l2在 y 轴上的截距互为相反数，即4 bb， 联立，解得 a2， b2 或 a2 3， b2. a2，b2 或
9、a2 3，b2. 思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑 到斜率不存在的特殊情况同时还要注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件 (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论 跟踪训练 已知直线 l1：ax2y60 和直线 l2：x(a1)ya210. (1)试判断 l1与 l2是否平行； (2)当 l1l2时，求 a 的值 解 (1)方法一 当 a1 时，l1：x2y60， l2：x0，l1不平行于 l2； 当 a0 时，l1：y3， l2：xy10，l1不平行于 l2； 当 a1 且 a0 时，两直线可化为 l
10、1：ya 2x3， l2：y 1 1ax(a1)， l1l2 a 2 1 1a， 3a1， 解得 a1， 综上可知，当 a1 时，l1l2. 方法二 由 A1B2A2B10， 得 a(a1)120， 由 A1C2A2C10， 得 a(a21)160， l1l2 aa1120， aa21160， a2a20， aa216， 可得 a1， 故当 a1 时，l1l2. (2)方法一 当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0， l1与 l2不垂直，故 a1 不成立； 当 a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于 l2， 故 a0 不成立； 当 a1 且 a0 时， l1：ya 2x3，l2
11、：y 1 1ax(a1)， 由 a 2 1 1a1，得 a 2 3. 方法二 由 A1A2B1B20，得 a2(a1)0， 可得 a2 3. 题型二题型二 两直线的交点与距离问题两直线的交点与距离问题 1已知直线 ykx2k1 与直线 y1 2x2 的交点位于第一象限，则实数 k 的取值范围是 _ 答案 1 6， 1 2 解析 方法一 由方程组 ykx2k1， y1 2x2， 解得 x24k 2k1， y6k1 2k1. (若 2k10，即 k1 2，则两直线平行) 交点坐标为 24k 2k1， 6k1 2k1 . 又交点位于第一象限， 24k 2k10， 6k1 2k10， 解得1 6k 1
12、 2. 方法二 如图，已知直线 y1 2x2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A(4,0)，B(0,2) 而直线方程 ykx2k1 可变形为 y1k(x2)，表示这是一条过定点 P(2,1)，斜率为 k 的动直线 两直线的交点在第一象限， 两直线的交点必在线段 AB 上(不包括端点)， 动直线的斜率 k 需满足 kPAkkPB. kPA1 6，kPB 1 2. 1 6k 1 2. 2若直线 l 过点 P(1,2)且到点 A(2,3)和点 B(4,5)的距离相等，则直线 l 的方程为 _ 答案 x3y50 或 x1 解析 方法一 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y2k(x1)，即
13、kxyk2 0. 由题意知|2k3k2| k21 |4k5k2| k21 ， 即|3k1|3k3|，k1 3. 直线 l 的方程为 y21 3(x1)， 即 x3y50. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，也符合题意 方法二 当 ABl 时，有 kkAB1 3， 直线 l 的方程为 y21 3(x1)， 即 x3y50. 当 l 过 AB 的中点时，AB 的中点为(1,4) 直线 l 的方程为 x1. 故所求直线 l 的方程为 x3y50 或 x1. 思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法 先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程 (2)利用距离公式应注意
14、：点 P(x0，y0)到直线 xa 的距离 d|x0a|，到直线 yb 的距离 d |y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，y 的系数化为相等 题型三题型三 对称问题对称问题 命题点 1 点关于点中心对称 典例 过点 P(0,1)作直线 l，使它被直线 l1：2xy80 和 l2：x3y100 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为_ 答案 x4y40 解析 设 l1与 l 的交点为 A(a,82a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(a,2a6)在 l2上，代入 l2的方程得a3(2a6)100，解得 a4，即点 A(4,0)在直线 l 上，所以直线 l 的
15、方程为 x4y40. 命题点 2 点关于直线对称 典例 如图， 已知 A(4,0)， B(0,4)， 从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上， 最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是( ) A3 3 B6 C2 10 D2 5 答案 C 解析 直线 AB 的方程为 xy4，点 P(2,0)关于直线 AB 的对称点为 D(4,2)，关于 y 轴的对 称点为 C(2,0)，则光线经过的路程为|CD| 62222 10. 命题点 3 直线关于直线的对称问题 典例 已知直线 l：2x3y10，求直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方
16、 程 解 在直线 m 上任取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M必在直线 m上 设对称点 M(a，b)，则 2 a2 2 3 b0 2 10， b0 a2 2 31， 解得 a 6 13， b30 13， M 6 13， 30 13 . 设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则 由 2x3y10， 3x2y60， 得 N(4,3) 又直线 m经过点 N(4,3)， 由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020. 思维升华 解决对称问题的方法 (1)中心对称 点 P(x，y)关于 Q(a，b)的对称点 P(x，y)满足 x2ax， y2by. 直线关于点的对称可转
17、化为点关于点的对称问题来解决 (2)轴对称 点A(a ， b) 关 于 直 线Ax By C 0(B0) 的 对 称 点A(m ， n) ， 则 有 nb ma A B 1， A am 2 B bn 2 C0. 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决 跟踪训练 已知直线 l：3xy30，求： (1)点 P(4,5)关于 l 的对称点； (2)直线 xy20 关于直线 l 对称的直线方程； (3)直线 l 关于(1,2)的对称直线 解 (1)设 P(x， y)关于直线 l： 3xy30 的对称点为 P(x， y)， kPP kl1， 即yy xx 31. 又 PP的中点在直线 3x
18、y30 上， 3xx 2 yy 2 30. 由得 x4x3y9 5 ， y3x4y3 5 . 把 x4，y5 代入得 x2，y7， 点 P(4,5)关于直线 l 的对称点 P的坐标为(2,7) (2)用分别代换 xy20 中的 x，y， 得关于 l 对称的直线方程为 4x3y9 5 3x4y3 5 20， 化简得 7xy220. (3)在直线 l：3xy30 上取点 M(0,3)， 关于(1,2)的对称点 M(x，y)， x0 2 1，x2，y3 2 2，y1，M(2,1) l 关于(1,2)的对称直线平行于 l，k3， 对称直线方程为 y13(x2)， 即 3xy50. 妙用直线系求直线方程
19、 一、平行直线系 由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次 项系数与常数项有必然的联系 典例 1 求与直线 3x4y10 平行且过点(1,2)的直线 l 的方程 思想方法指导 因为所求直线与 3x4y10 平行，因此，可设该直线方程为 3x4yc 0(c1) 规范解答 解 由题意，设所求直线方程为 3x4yc0(c1)， 又因为直线过点(1,2)， 所以 3142c0，解得 c11. 因此，所求直线方程为 3x4y110. 二、垂直直线系 由于直线 A1xB1yC10 与 A2xB2yC20 垂直的充要条件为 A1A2B1B20.因此， 当两 直线垂直时
20、，它们的一次项系数有必然的联系可以考虑用直线系方程求解 典例 2 求经过 A(2,1)，且与直线 2xy100 垂直的直线 l 的方程 思想方法指导 依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解 规范解答 解 因为所求直线与直线 2xy100 垂直，所以设该直线方程为 x2yC10，又直线 过点 A(2,1)， 所以有 221C10，解得 C10， 即所求直线方程为 x2y0. 三、过直线交点的直线系 典例 3 (2017 湖南东部十校联考)经过两条直线 2x3y10 和 x3y40 的交点，并且 垂直于直线 3x4y70 的直线方程为_ 思想方法指导 可分别求出直线 l1与 l2的交点及
21、直线 l 的斜率 k，直接写出方程；也可以根据 垂直关系设出所求方程，再把交点坐标代入求解；又可以利用过交点的直线系方程设直线方 程，再用待定系数法求解 解析 方法一 由方程组 2x3y10， x3y40， 解得 x5 3， y7 9， 即交点为 5 3， 7 9 ， 所求直线与直线 3x4y70 垂直， 所求直线的斜率为 k4 3. 由点斜式得所求直线方程为 y7 9 4 3 x5 3 ， 即 4x3y90. 方法二 由垂直关系可设所求直线方程为 4x3ym0， 由方程组 2x3y10， x3y40， 可解得交点为 5 3， 7 9 ， 代入 4x3ym0，得 m9， 故所求直线方程为 4x
22、3y90. 方法三 由题意可设所求直线方程为 (2x3y1)(x3y4)0， 即(2)x(33)y140， 又所求直线与直线 3x4y70 垂直， 3(2)4(33)0， 2，代入式得所求直线方程为 4x3y90. 答案 4x3y90 1直线 2xym0 和 x2yn0 的位置关系是( ) A平行 B垂直 C相交但不垂直 D不能确定 答案 C 解析 直线 2xym0 的斜率 k12，直线 x2yn0 的斜率 k21 2，则 k1k2，且 k1k21. 故选 C. 2(2018 邢台模拟)“a1”是“直线 ax3y30 和直线 x(a2)y10 平行”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条
23、件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由题意得，直线 ax3y30 和直线 x(a2)y10 平行的充要条件是 aa231， a131， 解得 a1，故选 C. 3从点(2,3)射出的光线沿与向量 a(8,4)平行的直线射到 y 轴上，则反射光线所在的直线方 程为( ) Ax2y40 B2xy10 Cx6y160 D6xy80 答案 A 解析 由直线与向量 a(8,4)平行知，过点(2,3)的直线的斜率 k1 2，所以直线的方程为 y3 1 2(x2)，其与 y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于 y 轴的对称点为(2,3)，所以反射光 线过点(2,3)与(0,2)
24、，由两点式知 A 正确 4(2017 兰州一模)一只虫子从点 O(0,0)出发，先爬行到直线 l：xy10 上的 P 点，再从 P 点出发爬行到点 A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是( ) A. 2 B2 C3 D4 答案 B 解析 点O(0,0)关于直线xy10的对称点为O(1,1)， 则虫子爬行的最短路程为|OA| 1121122.故选 B. 5若直线 l1：xay60 与 l2：(a2)x3y2a0 平行，则 l1与 l2之间的距离为( ) A.4 2 3 B4 2 C.8 2 3 D2 2 答案 C 解析 l1l2，a2 且 a0， 1 a2 a 3 6 2a，解得 a1， l1与
25、l2的方程分别为 l1：xy60，l2：xy2 30， l1与 l2的距离 d 62 3 2 8 2 3 . 6若直线 l1：yk(x4)与直线 l2关于点(2,1)对称，则直线 l2经过定点 ( ) A(0,4) B(0,2) C(2,4) D(4，2) 答案 B 解析 直线 l1：yk(x4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线 l1：yk(x 4)与直线 l2关于点(2,1)对称，故直线 l2经过定点(0,2) 7若三条直线 y2x，xy3，mx2y50 相交于同一点，则 m 的值为_ 答案 9 解析 由 y2x， xy3， 得 x1， y2. 点(1,2)
26、满足方程 mx2y50， 即 m12250，m9. 8将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则 mn _. 答案 34 5 解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线 y2x3，它也是 点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线， 于是 3n 2 27m 2 3， n3 m7 1 2， 解得 m3 5， n31 5 ， 故 mn34 5 . 9(2017 浙江嘉兴一中月考)已知直线 l1：axy60 与 l2：x(a2)ya10 相交于点 P，若 l1l2，则 a_，此时点 P 的坐标为_ 答案 1 (3,3)
27、解析 直线l1： axy60与l2： x(a2)ya10相交于点P， 且l1l2， a11(a 2)0， 即 a1，联立方程 xy60， xy0， 易得 x3，y3，P(3,3) 10 已知直线 l1： axy10， 直线 l2： xy30， 若直线 l1的倾斜角为 4， 则 a_； 若 l1l2，则 a_；若 l1l2，则两平行直线间的距离为_ 答案 1 1 2 2 解析 若直线 l1的倾斜角为 4，则aktan 41，故 a1；若 l1l2，则 a11( 1)0，故 a1；若 l1l2，则 a1，l1：xy10，两平行直线间的距离 d|13| 11 2 2. 11已知方程(2)x(1)y2
28、(32)0 与点 P(2,2) (1)证明：对任意的实数 ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定 点的坐标； (2)证明：该方程表示的直线与点 P 的距离 d 小于 4 2. (1)解 显然 2 与(1)不可能同时为零，故对任意的实数 ，该方程都表示直线 方程可变形为 2xy6(xy4)0， 2xy60， xy40， 解得 x2， y2， 故直线经过的定点为 M(2，2) (2)证明 过 P 作直线的垂线段 PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|PM|，当且仅当 Q 与 M 重 合时，|PQ|PM|， 此时对应的直线方程是 y2x2，即 xy40. 但直线系方程唯独不能表示直线
29、 xy40， M 与 Q 不可能重合，而|PM|4 2，|PQ|0，c0)恒过点 P(1，m)且 Q(4,0)到动 直线 l 的最大距离为 3，则 1 2a 2 c的最小值为_ 答案 9 4 解析 因为动直线 l：axbyc20(a0，c0)恒过点 P(1，m)，所以 abmc20， 又 Q(4,0)到动直线 l 的最大距离为 3， 所以 412m23，解得 m0. 所以 ac2，则 1 2a 2 c 1 2(ac) 1 2a 2 c 1 2 5 2 c 2a 2a c 1 2 5 22 c 2a 2a c 9 4， 当且仅当 c2a4 3时取等号 15.如图， 已知直线 l1l2， 点 A
30、是 l1，l2之间的定点， 点 A 到 l1，l2之间的距离分别为 3 和 2， 点B是l2上的一动点， 作ACAB， 且AC与l1交于点C， 则ABC的面积的最小值为_ 答案 6 解析 以 A 为坐标原点，平行于 l1的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设 B(a，2)，C(b,3) ACAB，ab60，ab6，b6 a. RtABC 的面积 S1 2 a24 b29 1 2 a24 36 a29 1 2 729a2144 a2 1 2 72726(当且仅当 a24 时取等号) 16在平面直角坐标系 xOy 中，将直线 l 沿 x 轴正方向平移 3 个单位长度，沿 y 轴正方向平 移
31、 5 个单位长度，得到直线 l1.再将直线 l1沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度，沿 y 轴负方向平 移 2 个单位长度，又与直线 l 重合若直线 l 与直线 l1关于点(2,3)对称，则直线 l 的方程是 _ 答案 6x8y10 解析 由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykxb，将直线 l 沿 x 轴正方向平移 3 个单位长度，沿 y 轴正方向平移 5 个单位长度，得到直线 l1：yk(x3)5b，将直线 l1 沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度，沿 y 轴负方向平移 2 个单位长度，则平移后的直线方程为 yk(x31)b52，即 ykx34kb，b34kb，解得 k3 4，直线 l 的方程 为 y3 4xb，直线 l1为 y 3 4x 11 4 b，取直线 l 上的一点 P m，b3m 4 ，则点 P 关于点(2,3) 的对称点为 4m，6b3m 4 ，6b3m 4 3 4(4m)b 11 4 ，解得 b1 8. 直线 l 的方程是 y3 4x 1 8，即 6x8y10.