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高考数学一轮复习学案:9.2 两条直线的位置关系(含答案)

1、 9.2 两条直线的位置关系两条直线的位置关系 最新考纲 考情考向分析 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直 线平行或垂直 2.能用解方程组的方法求两条相交直线 的交点坐标 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的 距离公式, 会求两条平行直线间的距离. 以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、 点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主, 有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇 考查题型主要以选择、填空题为主,要求 相对较低,但内容很重要,特别是距离公式, 是高考考查的重点. 1两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 两条直线平行: ()对于两条不重合的直线 l1,l2,若其斜率分别为 k1,

2、k2,则有 l1l2k1k2. ()当直线 l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1l2. 两条直线垂直: ()如果两条直线 l1,l2的斜率存在,设为 k1,k2,则有 l1l2k1 k21. ()当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为 0 时,l1l2. (2)两条直线的交点 直线 l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,则 l1与 l2的交点坐标就是方程组 A1xB1yC10, A2xB2yC20 的解 2几种距离 (1)两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 |P1P2|x2x12y2y12. (2)点 P0(x0,y0)到直线 l:AxByC0 的距离

3、 d|Ax0By0C| A2B2 . (3)两条平行线 AxByC10 与 AxByC20(其中 C1C2)间的距离 d |C1C2| A2B2 . 知识拓展 1直线系方程 (1)与直线 AxByC0 平行的直线系方程是 AxBym0(mR 且 mC) (2)与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是 BxAyn0(nR) 2两直线平行或重合的充要条件 直线 l1:A1xB1yC10 与直线 l2:A2xB2yC20 平行或重合的充要条件是 A1B2A2B1 0. 3两直线垂直的充要条件 直线 l1:A1xB1yC10 与直线 l2:A2xB2yC20 垂直的充要条件是 A1A2B1B20. 4

4、过直线 l1:A1xB1yC10 与 l2:A2xB2yC20 的交点的直线系方程为 A1xB1yC1 (A2xB2yC2)0(R),但不包括 l2. 5点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式 (2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且 x,y 的系数对应相等 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)当直线 l1和 l2斜率都存在时,一定有 k1k2l1l2.( ) (2)如果两条直线 l1与 l2垂直,则它们的斜率之积一定为1.( ) (3)已知直线 l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC

5、20(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数), 若直线 l1l2,则 A1A2B1B20.( ) (4)点 P(x0,y0)到直线 ykxb 的距离为|kx0b| 1k2.( ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离( ) (6)若点 A,B 关于直线 l:ykxb(k0)对称,则直线 AB 的斜率等于1 k,且线段 AB 的中 点在直线 l 上( ) 题组二 教材改编 2P110B 组 T2已知点(a,2)(a0)到直线 l:xy30 的距离为 1,则 a 等于( ) A. 2 B2 2 C. 21 D. 21 答案 C 解析 由题意得|a23| 11 1. 解得

6、 a1 2或 a1 2.a0,a1 2. 3 P101A组T10已知P(2, m), Q(m,4), 且直线PQ垂直于直线xy10, 则m_. 答案 1 解析 由题意知 m4 2m1,所以 m42m, 所以 m1. 题组三 易错自纠 4(2017 郑州调研)直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行,则 m 等于( ) A2 B3 C2 或3 D2 或3 答案 C 解析 直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行,则有2 m m1 3 4 2,故 m2 或3.故选 C. 5直线 2x2y10,xy20 之间的距离是_ 答案 3 2 4 解析 先将 2x2y10 化为 xy1

7、 20, 则两平行线间的距离为 d 21 2 2 3 2 4 . 6若直线(3a2)x(14a)y80 与(5a2)x(a4)y70 垂直,则 a_. 答案 0 或 1 解析 由两直线垂直的充要条件,得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0,解得 a0 或 a1. 题型一题型一 两条直线的位置关系两条直线的位置关系 典例 (2018 青岛模拟)已知两条直线 l1:axby40 和 l2:(a1)xyb0,求满足下列 条件的 a,b 的值 (1)l1l2,且 l1过点(3,1); (2)l1l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等 解 (1)由已知可得 l2的斜率存在,且 k21a. 若 k20

8、,则 1a0,a1. l1l2,直线 l1的斜率 k1必不存在,即 b0. 又l1过点(3,1), 3a40,即 a4 3(矛盾),此种情况不存在, k20,即 k1,k2都存在且不为 0. k21a,k1a b,l1l2, k1k21,即a b(1a)1.(*) 又l1过点(3,1),3ab40.(*) 由(*)(*)联立,解得 a2,b2. (2)l2的斜率存在,l1l2,直线 l1的斜率存在, k1k2,即a b1a, 又坐标原点到这两条直线的距离相等,且 l1l2, l1,l2在 y 轴上的截距互为相反数,即4 bb, 联立,解得 a2, b2 或 a2 3, b2. a2,b2 或

9、a2 3,b2. 思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑 到斜率不存在的特殊情况同时还要注意 x,y 的系数不能同时为零这一隐含条件 (2)在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论 跟踪训练 已知直线 l1:ax2y60 和直线 l2:x(a1)ya210. (1)试判断 l1与 l2是否平行; (2)当 l1l2时,求 a 的值 解 (1)方法一 当 a1 时,l1:x2y60, l2:x0,l1不平行于 l2; 当 a0 时,l1:y3, l2:xy10,l1不平行于 l2; 当 a1 且 a0 时,两直线可化为 l

10、1:ya 2x3, l2:y 1 1ax(a1), l1l2 a 2 1 1a, 3a1, 解得 a1, 综上可知,当 a1 时,l1l2. 方法二 由 A1B2A2B10, 得 a(a1)120, 由 A1C2A2C10, 得 a(a21)160, l1l2 aa1120, aa21160, a2a20, aa216, 可得 a1, 故当 a1 时,l1l2. (2)方法一 当 a1 时,l1:x2y60,l2:x0, l1与 l2不垂直,故 a1 不成立; 当 a0 时,l1:y3,l2:xy10,l1不垂直于 l2, 故 a0 不成立; 当 a1 且 a0 时, l1:ya 2x3,l2

11、:y 1 1ax(a1), 由 a 2 1 1a1,得 a 2 3. 方法二 由 A1A2B1B20,得 a2(a1)0, 可得 a2 3. 题型二题型二 两直线的交点与距离问题两直线的交点与距离问题 1已知直线 ykx2k1 与直线 y1 2x2 的交点位于第一象限,则实数 k 的取值范围是 _ 答案 1 6, 1 2 解析 方法一 由方程组 ykx2k1, y1 2x2, 解得 x24k 2k1, y6k1 2k1. (若 2k10,即 k1 2,则两直线平行) 交点坐标为 24k 2k1, 6k1 2k1 . 又交点位于第一象限, 24k 2k10, 6k1 2k10, 解得1 6k 1

12、 2. 方法二 如图,已知直线 y1 2x2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A(4,0),B(0,2) 而直线方程 ykx2k1 可变形为 y1k(x2),表示这是一条过定点 P(2,1),斜率为 k 的动直线 两直线的交点在第一象限, 两直线的交点必在线段 AB 上(不包括端点), 动直线的斜率 k 需满足 kPAkkPB. kPA1 6,kPB 1 2. 1 6k 1 2. 2若直线 l 过点 P(1,2)且到点 A(2,3)和点 B(4,5)的距离相等,则直线 l 的方程为 _ 答案 x3y50 或 x1 解析 方法一 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y2k(x1),即

13、kxyk2 0. 由题意知|2k3k2| k21 |4k5k2| k21 , 即|3k1|3k3|,k1 3. 直线 l 的方程为 y21 3(x1), 即 x3y50. 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x1,也符合题意 方法二 当 ABl 时,有 kkAB1 3, 直线 l 的方程为 y21 3(x1), 即 x3y50. 当 l 过 AB 的中点时,AB 的中点为(1,4) 直线 l 的方程为 x1. 故所求直线 l 的方程为 x3y50 或 x1. 思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法 先求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程 (2)利用距离公式应注意

14、:点 P(x0,y0)到直线 xa 的距离 d|x0a|,到直线 yb 的距离 d |y0b|;两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x,y 的系数化为相等 题型三题型三 对称问题对称问题 命题点 1 点关于点中心对称 典例 过点 P(0,1)作直线 l,使它被直线 l1:2xy80 和 l2:x3y100 截得的线段被点 P 平分,则直线 l 的方程为_ 答案 x4y40 解析 设 l1与 l 的交点为 A(a,82a),则由题意知,点 A 关于点 P 的对称点 B(a,2a6)在 l2上,代入 l2的方程得a3(2a6)100,解得 a4,即点 A(4,0)在直线 l 上,所以直线 l 的

15、方程为 x4y40. 命题点 2 点关于直线对称 典例 如图, 已知 A(4,0), B(0,4), 从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上, 最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是( ) A3 3 B6 C2 10 D2 5 答案 C 解析 直线 AB 的方程为 xy4,点 P(2,0)关于直线 AB 的对称点为 D(4,2),关于 y 轴的对 称点为 C(2,0),则光线经过的路程为|CD| 62222 10. 命题点 3 直线关于直线的对称问题 典例 已知直线 l:2x3y10,求直线 m:3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方

16、 程 解 在直线 m 上任取一点,如 M(2,0),则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M必在直线 m上 设对称点 M(a,b),则 2 a2 2 3 b0 2 10, b0 a2 2 31, 解得 a 6 13, b30 13, M 6 13, 30 13 . 设直线 m 与直线 l 的交点为 N,则 由 2x3y10, 3x2y60, 得 N(4,3) 又直线 m经过点 N(4,3), 由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020. 思维升华 解决对称问题的方法 (1)中心对称 点 P(x,y)关于 Q(a,b)的对称点 P(x,y)满足 x2ax, y2by. 直线关于点的对称可转

17、化为点关于点的对称问题来解决 (2)轴对称 点A(a , b) 关 于 直 线Ax By C 0(B0) 的 对 称 点A(m , n) , 则 有 nb ma A B 1, A am 2 B bn 2 C0. 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决 跟踪训练 已知直线 l:3xy30,求: (1)点 P(4,5)关于 l 的对称点; (2)直线 xy20 关于直线 l 对称的直线方程; (3)直线 l 关于(1,2)的对称直线 解 (1)设 P(x, y)关于直线 l: 3xy30 的对称点为 P(x, y), kPP kl1, 即yy xx 31. 又 PP的中点在直线 3x

18、y30 上, 3xx 2 yy 2 30. 由得 x4x3y9 5 , y3x4y3 5 . 把 x4,y5 代入得 x2,y7, 点 P(4,5)关于直线 l 的对称点 P的坐标为(2,7) (2)用分别代换 xy20 中的 x,y, 得关于 l 对称的直线方程为 4x3y9 5 3x4y3 5 20, 化简得 7xy220. (3)在直线 l:3xy30 上取点 M(0,3), 关于(1,2)的对称点 M(x,y), x0 2 1,x2,y3 2 2,y1,M(2,1) l 关于(1,2)的对称直线平行于 l,k3, 对称直线方程为 y13(x2), 即 3xy50. 妙用直线系求直线方程

19、 一、平行直线系 由于两直线平行,它们的斜率相等或它们的斜率都不存在,因此两直线平行时,它们的一次 项系数与常数项有必然的联系 典例 1 求与直线 3x4y10 平行且过点(1,2)的直线 l 的方程 思想方法指导 因为所求直线与 3x4y10 平行,因此,可设该直线方程为 3x4yc 0(c1) 规范解答 解 由题意,设所求直线方程为 3x4yc0(c1), 又因为直线过点(1,2), 所以 3142c0,解得 c11. 因此,所求直线方程为 3x4y110. 二、垂直直线系 由于直线 A1xB1yC10 与 A2xB2yC20 垂直的充要条件为 A1A2B1B20.因此, 当两 直线垂直时

20、,它们的一次项系数有必然的联系可以考虑用直线系方程求解 典例 2 求经过 A(2,1),且与直线 2xy100 垂直的直线 l 的方程 思想方法指导 依据两直线垂直的特征设出方程,再由待定系数法求解 规范解答 解 因为所求直线与直线 2xy100 垂直,所以设该直线方程为 x2yC10,又直线 过点 A(2,1), 所以有 221C10,解得 C10, 即所求直线方程为 x2y0. 三、过直线交点的直线系 典例 3 (2017 湖南东部十校联考)经过两条直线 2x3y10 和 x3y40 的交点,并且 垂直于直线 3x4y70 的直线方程为_ 思想方法指导 可分别求出直线 l1与 l2的交点及

21、直线 l 的斜率 k,直接写出方程;也可以根据 垂直关系设出所求方程,再把交点坐标代入求解;又可以利用过交点的直线系方程设直线方 程,再用待定系数法求解 解析 方法一 由方程组 2x3y10, x3y40, 解得 x5 3, y7 9, 即交点为 5 3, 7 9 , 所求直线与直线 3x4y70 垂直, 所求直线的斜率为 k4 3. 由点斜式得所求直线方程为 y7 9 4 3 x5 3 , 即 4x3y90. 方法二 由垂直关系可设所求直线方程为 4x3ym0, 由方程组 2x3y10, x3y40, 可解得交点为 5 3, 7 9 , 代入 4x3ym0,得 m9, 故所求直线方程为 4x

22、3y90. 方法三 由题意可设所求直线方程为 (2x3y1)(x3y4)0, 即(2)x(33)y140, 又所求直线与直线 3x4y70 垂直, 3(2)4(33)0, 2,代入式得所求直线方程为 4x3y90. 答案 4x3y90 1直线 2xym0 和 x2yn0 的位置关系是( ) A平行 B垂直 C相交但不垂直 D不能确定 答案 C 解析 直线 2xym0 的斜率 k12,直线 x2yn0 的斜率 k21 2,则 k1k2,且 k1k21. 故选 C. 2(2018 邢台模拟)“a1”是“直线 ax3y30 和直线 x(a2)y10 平行”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条

23、件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由题意得,直线 ax3y30 和直线 x(a2)y10 平行的充要条件是 aa231, a131, 解得 a1,故选 C. 3从点(2,3)射出的光线沿与向量 a(8,4)平行的直线射到 y 轴上,则反射光线所在的直线方 程为( ) Ax2y40 B2xy10 Cx6y160 D6xy80 答案 A 解析 由直线与向量 a(8,4)平行知,过点(2,3)的直线的斜率 k1 2,所以直线的方程为 y3 1 2(x2),其与 y 轴的交点坐标为(0,2),又点(2,3)关于 y 轴的对称点为(2,3),所以反射光 线过点(2,3)与(0,2)

24、,由两点式知 A 正确 4(2017 兰州一模)一只虫子从点 O(0,0)出发,先爬行到直线 l:xy10 上的 P 点,再从 P 点出发爬行到点 A(1,1),则虫子爬行的最短路程是( ) A. 2 B2 C3 D4 答案 B 解析 点O(0,0)关于直线xy10的对称点为O(1,1), 则虫子爬行的最短路程为|OA| 1121122.故选 B. 5若直线 l1:xay60 与 l2:(a2)x3y2a0 平行,则 l1与 l2之间的距离为( ) A.4 2 3 B4 2 C.8 2 3 D2 2 答案 C 解析 l1l2,a2 且 a0, 1 a2 a 3 6 2a,解得 a1, l1与

25、l2的方程分别为 l1:xy60,l2:xy2 30, l1与 l2的距离 d 62 3 2 8 2 3 . 6若直线 l1:yk(x4)与直线 l2关于点(2,1)对称,则直线 l2经过定点 ( ) A(0,4) B(0,2) C(2,4) D(4,2) 答案 B 解析 直线 l1:yk(x4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线 l1:yk(x 4)与直线 l2关于点(2,1)对称,故直线 l2经过定点(0,2) 7若三条直线 y2x,xy3,mx2y50 相交于同一点,则 m 的值为_ 答案 9 解析 由 y2x, xy3, 得 x1, y2. 点(1,2)

26、满足方程 mx2y50, 即 m12250,m9. 8将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则 mn _. 答案 34 5 解析 由题意可知,纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线 y2x3,它也是 点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线, 于是 3n 2 27m 2 3, n3 m7 1 2, 解得 m3 5, n31 5 , 故 mn34 5 . 9(2017 浙江嘉兴一中月考)已知直线 l1:axy60 与 l2:x(a2)ya10 相交于点 P,若 l1l2,则 a_,此时点 P 的坐标为_ 答案 1 (3,3)

27、解析 直线l1: axy60与l2: x(a2)ya10相交于点P, 且l1l2, a11(a 2)0, 即 a1,联立方程 xy60, xy0, 易得 x3,y3,P(3,3) 10 已知直线 l1: axy10, 直线 l2: xy30, 若直线 l1的倾斜角为 4, 则 a_; 若 l1l2,则 a_;若 l1l2,则两平行直线间的距离为_ 答案 1 1 2 2 解析 若直线 l1的倾斜角为 4,则aktan 41,故 a1;若 l1l2,则 a11( 1)0,故 a1;若 l1l2,则 a1,l1:xy10,两平行直线间的距离 d|13| 11 2 2. 11已知方程(2)x(1)y2

28、(32)0 与点 P(2,2) (1)证明:对任意的实数 ,该方程都表示直线,且这些直线都经过同一定点,并求出这一定 点的坐标; (2)证明:该方程表示的直线与点 P 的距离 d 小于 4 2. (1)解 显然 2 与(1)不可能同时为零,故对任意的实数 ,该方程都表示直线 方程可变形为 2xy6(xy4)0, 2xy60, xy40, 解得 x2, y2, 故直线经过的定点为 M(2,2) (2)证明 过 P 作直线的垂线段 PQ,由垂线段小于斜线段知|PQ|PM|,当且仅当 Q 与 M 重 合时,|PQ|PM|, 此时对应的直线方程是 y2x2,即 xy40. 但直线系方程唯独不能表示直线

29、 xy40, M 与 Q 不可能重合,而|PM|4 2,|PQ|0,c0)恒过点 P(1,m)且 Q(4,0)到动 直线 l 的最大距离为 3,则 1 2a 2 c的最小值为_ 答案 9 4 解析 因为动直线 l:axbyc20(a0,c0)恒过点 P(1,m),所以 abmc20, 又 Q(4,0)到动直线 l 的最大距离为 3, 所以 412m23,解得 m0. 所以 ac2,则 1 2a 2 c 1 2(ac) 1 2a 2 c 1 2 5 2 c 2a 2a c 1 2 5 22 c 2a 2a c 9 4, 当且仅当 c2a4 3时取等号 15.如图, 已知直线 l1l2, 点 A

30、是 l1,l2之间的定点, 点 A 到 l1,l2之间的距离分别为 3 和 2, 点B是l2上的一动点, 作ACAB, 且AC与l1交于点C, 则ABC的面积的最小值为_ 答案 6 解析 以 A 为坐标原点,平行于 l1的直线为 x 轴,建立如图所示的直角坐标系,设 B(a,2),C(b,3) ACAB,ab60,ab6,b6 a. RtABC 的面积 S1 2 a24 b29 1 2 a24 36 a29 1 2 729a2144 a2 1 2 72726(当且仅当 a24 时取等号) 16在平面直角坐标系 xOy 中,将直线 l 沿 x 轴正方向平移 3 个单位长度,沿 y 轴正方向平 移

31、 5 个单位长度,得到直线 l1.再将直线 l1沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度,沿 y 轴负方向平 移 2 个单位长度,又与直线 l 重合若直线 l 与直线 l1关于点(2,3)对称,则直线 l 的方程是 _ 答案 6x8y10 解析 由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 ykxb,将直线 l 沿 x 轴正方向平移 3 个单位长度,沿 y 轴正方向平移 5 个单位长度,得到直线 l1:yk(x3)5b,将直线 l1 沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度,沿 y 轴负方向平移 2 个单位长度,则平移后的直线方程为 yk(x31)b52,即 ykx34kb,b34kb,解得 k3 4,直线 l 的方程 为 y3 4xb,直线 l1为 y 3 4x 11 4 b,取直线 l 上的一点 P m,b3m 4 ,则点 P 关于点(2,3) 的对称点为 4m,6b3m 4 ,6b3m 4 3 4(4m)b 11 4 ,解得 b1 8. 直线 l 的方程是 y3 4x 1 8,即 6x8y10.