1、 9.1 直线的方程直线的方程 最新考纲 考情考向分析 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线 位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的 直线斜率的计算公式. 3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的 几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般 式)，了解斜截式与一次函数的关系. 以考查直线方程的求法为主，直线的 斜率、倾斜角也是考查的重点题型 主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知 识交汇出现，有时也会在选择、填空 题中出现. 1直线的倾斜角 (1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线
2、 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0 . (2)范围：直线 l 倾斜角的范围是0 ，180 ) 2斜率公式 (1)若直线 l 的倾斜角 90 ，则斜率 ktan_. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上且 x1x2，则 l 的斜率 ky2y1 x2x1. 3直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 yy0k(xx0) 不含直线 xx0 斜截式 ykxb 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 yy1 y2y1 xx1 x2x1 不含直线 xx1 (x1x2)和直线 yy1 (y1y2) 截距式 x a y b1 不含垂直于坐标轴和过原点
3、的直线 一般式 AxByC0(A2B20) 平面直角坐标系内的直线都适用 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大( ) (4)若直线的斜率为 tan ，则其倾斜角为 .( ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等( ) (6)经过任意两个不同的点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2 y1)表示( ) 题组二 教材改编 2P86T3若过点 M(2，m)，N
4、(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为( ) A1 B4 C1 或 3 D1 或 4 答案 A 解析 由题意得 m4 2m1，解得 m1. 3P100A 组 T9过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_ 答案 3x2y0 或 xy50 解析 当截距为 0 时，直线方程为 3x2y0； 当截距不为 0 时，设直线方程为x a y a1， 则2 a 3 a1，解得 a5.所以直线方程为 xy50. 题组三 易错自纠 4(2018 石家庄模拟)直线 x(a21)y10 的倾斜角的取值范围是( ) A. 0， 4 B. 3 4 ， C. 0， 4 2， D. 4， 2 3 4 ，
5、 答案 B 解析 由直线方程可得该直线的斜率为 1 a21， 又1 1 a210，故直线 经过第一、二、四象限，不经过第三象限 6过直线 l：yx 上的点 P(2,2)作直线 m，若直线 l，m 与 x 轴围成的三角形的面积为 2，则 直线 m 的方程为_ 答案 x2y20 或 x2 解析 若直线 m 的斜率不存在，则直线 m 的方程为 x2，直线 m，直线 l 和 x 轴围成的三 角形的面积为 2，符合题意； 若直线 m 的斜率 k0，则直线 m 与 x 轴没有交点，不符合题意； 若直线 m 的斜率 k0， 设其方程为 y2k(x2)， 令 y0， 得 x22 k， 依题意有 1 2 22
6、k 22，即 11 k 1，解得 k1 2，所以直线 m 的方程为 y2 1 2(x2)，即 x2y20. 综上可知，直线 m 的方程为 x2y20 或 x2. 题型一题型一 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 典例 (1)直线 2xcos y30 6， 3 的倾斜角的取值范围是 ( ) A. 6， 3 B. 4， 3 C. 4， 2 D. 4， 2 3 答案 B 解析 直线 2xcos y30 的斜率 k2cos ， 因为 6， 3 ，所以1 2cos 3 2 ， 因此 k2cos 1， 3 设直线的倾斜角为 ，则有 tan 1， 3 又 0，)，所以 4， 3 ， 即倾斜角的取值范围是
7、4， 3 . (2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值 范围为_ 答案 (， 31，) 解析 如图， kAP10 211， kBP 30 01 3， k(， 3 1，) 引申探究 1若将本例(2)中 P(1,0)改为 P(1,0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围 解 P(1,0)，A(2,1)，B(0， 3)， kAP 10 21 1 3， kBP 30 01 3. 如图可知，直线 l 斜率的取值范围为 1 3， 3 . 2若将本例(2)中的 B 点坐标改为(2，1)，其他条件不变，求直线 l 倾斜角的取值范
8、围 解 如图， 直线 PA 的倾斜角为 45 ， 直线 PB 的倾斜角为 135 ， 由图象知 l 的倾斜角的范围为0，45135 ，180 ) 思维升华 直线倾斜角的范围是0，)，根据斜率求倾斜角的范围时，要分 0， 2 与 2， 两 种情况讨论 跟踪训练 已知过定点 P(2,0)的直线 l 与曲线 y 2x2相交于 A，B 两点，O 为坐标原点， 当AOB 的面积取到最大值时，直线 l 的倾斜角为( ) A150 B135 C120 D不存在 答案 A 解析 由 y 2x2，得 x2y22(y0)，它表示以原点 O 为圆心，以 2为半径的圆的一部 分，其图象如图所示 显然直线 l 的斜率存
9、在， 设过点 P(2,0)的直线 l 为 yk(x2)， 则圆心到此直线的距离 d |2k| 1k2， 弦长|AB|22 |2k| 1k2 22 22k2 1k2 ， 所以 SAOB1 2 |2k| 1k22 22k2 1k2 2k 222k2 21k2 1， 当且仅当(2k)222k2，即 k21 3时等号成立， 由图可得 k 3 3 k 3 3 舍去 ， 故直线 l 的倾斜角为 150 . 题型二题型二 求直线的方程求直线的方程 典例 (1)求过点 A(1,3)，斜率是直线 y4x 的斜率的1 3的直线方程； (2)求经过点 A(5,2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2
10、倍的直线方程 解 (1)设所求直线的斜率为 k， 依题意 k41 3 4 3. 又直线经过点 A(1,3)， 因此所求直线方程为 y34 3(x1)， 即 4x3y130. (2)当直线不过原点时，设所求直线方程为 x 2a y a1，将(5,2)代入所设方程，解得 a 1 2， 所以直线方程为 x2y10；当直线过原点时，设直线方程为 ykx，则5k2，解得 k 2 5，所以直线方程为 y 2 5x，即 2x5y0. 故所求直线方程为 2x5y0 或 x2y10. 思维升华 在求直线方程时， 应先选择适当的直线方程的形式， 并注意各种形式的适用条件 若 采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是
11、否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的 情况 跟踪训练 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为 10 10 ； (2)经过点 P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5,10)，到原点的距离为 5. 解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式 设倾斜角为 ，则 sin 10 10 (00， 直线 l 的方程为x a y b1，所以 2 a 1 b1. |MA | |MB |MA MB (a2，1) (2，b1) 2(a2)b12ab5 (2ab) 2 a 1 b 52b a 2a b 4， 当且仅当 ab3 时取等号，此时直线 l
12、 的方程为 xy30. 命题点 2 由直线方程解决参数问题 典例 已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a2 时，直线 l1，l2与两坐 标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数 a 的值 解 由题意知直线 l1，l2恒过定点 P(2,2)，直线 l1在 y 轴上的截距为 2a，直线 l2在 x 轴上 的截距为 a22，所以四边形的面积 S1 22(2a) 1 22(a 22)a2a4 a1 2 2 15 4 ， 当 a1 2时，四边形的面积最小 思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立目标函数，
13、再利用基本不等式求 解最值 (2)求直线方程弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程 (3)求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或 基本不等式求解 跟踪训练 已知直线 l 过点 P(3,2)， 且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A， B 两点， 如图所示， 求ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程 解 方法一 设直线方程为x a y b1(a0，b0)， 把点 P(3,2)代入得3 a 2 b12 6 ab，得 ab24， 从而 SAOB1 2ab12，当且仅当 3 a 2 b时等号成立，这时 k b a 2 3，从而所求直
14、线方程为 2x3y120. 方法二 由题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k0， 则直线 l 的方程为 y2k(x3)(k0)， 且有 A 32 k，0 ，B(0,23k)， SABO1 2(23k) 32 k 1 2 129k 4 k 1 2 122 9k 4 k 1 2(1212)12. 当且仅当9k 4 k，即 k 2 3时，等号成立 即ABO 的面积的最小值为 12. 故所求直线的方程为 2x3y120. 求与截距有关的直线方程 典例 设直线 l 的方程为(a1)xy2a0(aR) (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求直线 l 的方程； (2)若 l 在两坐标轴上的截距互为相反数，求 a. 错解展示： 现场纠错 解 (1)当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 0，a2，方程即为 3xy0. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为 0， 直线方程可写为 x a2 a1 y a21， a2 a1a2，即 a11. a0，方程即为 xy20. 综上，直线 l 的方程为 3xy0 或 xy20. (2)由a2 a1(a2)，得 a20 或 a11， a2 或 a2. 纠错心得 在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止 忽视截距为零的情形，导致产生漏解