1、 4.7 解三角形的综合应用解三角形的综合应用 最新考纲 考情考向分析 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法 解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、 角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、 三角函数的性质结合考查，加强数学知识的 应用性题型主要为选择题和填空题，中档 难度. 实际测量中的常见问题 求 AB 图形 需要测量的元素 解法 求 竖 直 高 度 底部 可达 ACB， BCa 解直角三角形 ABatan 底部不 可达 ACB， ADB， CDa 解两个直角三角形 AB atan tan tan tan 求 水 平 距 离 山两侧 ACB， A
2、Cb， BCa 用余弦定理 AB a2b22abcos 河两岸 ACB， ABC， CBa 用正弦定理 AB asin sin 河对岸 ADC， BDC， BCD， ACD， CDa 在ADC 中，AC asin sin； 在BDC 中，BC asin sin； 在ABC 中，应用 余弦定理求 AB 知识拓展 实际问题中的常用术语 1仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角， 目标视线在水平视线上方叫仰角， 目标视线在水平视线下方叫俯角(如图) 2方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东 30 ，北偏西 45 等 3方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B
3、 点的方位角为 (如图) 4坡度(又称坡比) 坡面的垂直高度与水平长度之比 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)从 A 处望 B 处的仰角为 ， 从 B 处望 A 处的俯角为 ， 则 ， 的关系为 180 .( ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 0， 2 .( ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系( ) (4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是 0， 2 .( ) 题组二 教材改编 2.P11 例 1如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出
4、 AC 的距离为 50 m，ACB45 ，CAB105 后，就可以计算出 A，B 两点的距 离为_ m. 答案 50 2 解析 由正弦定理得 AB sinACB AC sin B， 又B30 ， ABACsinACB sin B 50 2 2 1 2 50 2(m) 3P13 例 3如图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 30 ，沿倾斜角为 15 的斜坡向上走 a 米到 B，在 B 处测得山顶 P 的仰角为 60 ，则山高 h_米 答案 2 2 a 解析 由题图可得PAQ30 ， BAQ15 ，PAB 中，PAB15 ， 又PBC60 ， BPA()90 ()90 30 ， a sin 30
5、 PB sin 15 ，PB 6 2 2 a， PQPCCQPB sin asin 6 2 2 asin 60 asin 15 2 2 a. 题组三 易错自纠 4在某次测量中，在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60 ，C 点的俯角是 70 ，则 BAC 等于( ) A10 B50 C120 D130 答案 D 5.如图所示，D，C，B 三点在地面的同一条直线上，DCa，从 C，D 两点测得 A 点的仰角 分别为 60 ，30 ，则 A 点离地面的高度 AB_. 答案 3 2 a 解析 由已知得DAC30 ，ADC 为等腰三角形，AD 3a，所以在 RtADB 中，AB 1 2AD
6、 3 2 a. 6在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中 漂行，此时，风向是北偏东 30 ，风速是 20 km/h；水的流向是正东，流速是 20 km/h，若 不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东_，速度的大小为_ km/h. 答案 60 20 3 解析 如图， AOB60 ， 由余弦定理知OC2202202800cos 120 1 200， 故 OC20 3， COy30 30 60 . 题型一题型一 求距离、高度问题求距离、高度问题 1(2018 吉林长春检测)江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平 面上，由炮台
7、顶部测得俯角分别为 45 和 60 ，而且两条船与炮台底部连线成 30 角，则两条 船相距_m. 答案 10 3 解析 如图， OMAOtan 45 30(m)， ONAOtan 30 3 3 30 10 3(m)， 在MON 中，由余弦定理得， MN 90030023010 3 3 2 30010 3 (m) 2.(2017 郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 ，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为 .已知铁塔 BC 部分的高为 h，则山高 CD_. 答案 hcos sin sin 解析 由已知得，BCA90 ，ABC90 ，BAC，CAD. 在ABC 中
8、，由正弦定理得 AC sinABC BC sinBAC， 即 AC sin90 BC sin， AC BCcos sin hcos sin. 在 RtACD 中，CDACsinCADACsin hcos sin sin . 故山高 CD 为hcos sin sin . 3(2018 日照模拟)一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏 东 60 的方向上，行驶 4 h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15 的方向上，这时船与 灯塔的距离为_ km. 答案 30 2 解析 如图，由题意知，BAC30 ，ACB105 ， B45 ，AC60，由正弦定理
9、得 BC sin 30 AC sin 45 ， BC30 2(km) 思维升华 求距离、高度问题的注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解； 若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 题型二题型二 求角度问题求角度问题 典例 如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇 险， 在原地等待营救 信息中心立即把消息告知在其南偏西 30 、 相距 20 海里的 C 处的乙船， 现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，
10、则 cos 的值为_ 答案 21 14 解析 在ABC 中，AB40，AC20，BAC120 ， 由余弦定理得 BC2AB2AC22AB AC cos 120 2 800， 得 BC20 7. 由正弦定理，得 AB sinACB BC sinBAC， 即 sinACBAB BC sinBAC 21 7 . 由BAC120 ，知ACB 为锐角，则 cosACB2 7 7 . 由 ACB30 ，得 cos cos(ACB30 ) cosACBcos 30 sinACBsin 30 21 14 . 思维升华 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义； (2)分析题意，分清已知
11、与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用 跟踪训练 如图所示， 已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等， 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东40 的方向上， 灯塔B在观察站C的南偏东60 的方向上， 则灯塔A在灯塔B的_ 的方向上 答案 北偏西 10 解析 由已知ACB180 40 60 80 ， 又 ACBC，AABC50 ，60 50 10 ， 灯塔 A 位于灯塔 B 的北偏西 10 的方向上 题型三题型三 三角形与三角函数的综合问题三角形与三角函数的综合问题 典例 (20
12、18 石家庄模拟)在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，(2ac)cos Bbcos C0. (1)求角 B 的大小； (2)设函数f(x)2sin xcos xcos B 3 2 cos 2x， 求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值 解 (1)因为(2ac)cos Bbcos C0， 所以 2acos Bccos Bbcos C0， 由正弦定理得 2sin Acos Bsin Ccos Bcos Csin B0， 即 2sin Acos Bsin(CB)0， 又 CBA，所以 sin(CB)sin A. 所以 sin A(2cos B1)0. 在ABC 中，
13、sin A0， 所以 cos B1 2，又 B(0，)，所以 B 3. (2)因为 B 3， 所以 f(x)1 2sin 2x 3 2 cos 2xsin 2x 3 ， 令 2x 32k 2(kZ)，得 xk 5 12(kZ)， 即当 xk5 12(kZ)时，f(x)取得最大值 1. 思维升华 三角形与三角函数的综合问题， 要借助三角函数性质的整体代换思想， 数形结合思 想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题 跟踪训练 设 f(x)sin xcos xcos2 x 4 . (1)求 f(x)的单调区间； (2)在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若
14、 f A 2 0，a1，求ABC 面积的 最大值 解 (1)由题意知 f(x)sin 2x 2 1cos 2x 2 2 sin 2x 2 1sin 2x 2 sin 2x1 2. 由 22k2x 22k，kZ, 可得 4kx 4k，kZ； 由 22k2x 3 2 2k，kZ, 可得 4kx 3 4 k，kZ. 所以 f(x)的单调递增区间是 4k， 4k (kZ)； 单调递减区间是 4k， 3 4 k (kZ) (2)由 f A 2 sin A1 20，得 sin A 1 2， 由题意知 A 为锐角，所以 cos A 3 2 . 由余弦定理 a2b2c22bccos A， 可得 1 3bcb2
15、c22bc， 即 bc2 3，当且仅当 bc 时等号成立 因此1 2bcsin A 2 3 4 . 所以ABC 面积的最大值为2 3 4 . 函数思想在解三角形中的应用 典例 (12 分)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时， 轮船位于港口 O 北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的 A 处， 并正以 30 海里/小时的航行速度 沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时，
16、试设计航行方案(即确定航行方向和航行 速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由 思想方法指导 已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列 方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决 规范解答 解 (1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里，则1 分 S 900t24002 30t 20 cos90 30 900t2600t400900 t1 3 2300.3 分 故当 t1 3时，Smin10 3，v 10 3 1 3 30 3. 即小艇以 30 3海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小6 分 (2)设小艇与轮船在 B 处相遇 则 v2t2400900t22 20 30t cos(90 30 )，8 分 故 v2900600 t 400 t2 .0v30， 900600 t 400 t2 900，即2 t2 3 t0，解得 t 2 3. 又当 t2 3时，v30， 故当 v30 时，t 取得最小值，且最小值为2 3. 此时，在OAB 中，有 OAOBAB20.11 分 故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东 30 ，航行速度为 30 海里/小时12 分