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高考数学一轮复习学案:导数与函数的综合问题(含答案)

1、第第 3 课时课时 导数与函数的综合问题导数与函数的综合问题 题型一题型一 导数与不等式导数与不等式 命题点 1 证明不等式 典例 (2017 贵阳模拟)已知函数 f(x)1x1 ex ,g(x)xln x. (1)证明:g(x)1; (2)证明:(xln x)f(x)1 1 e2. 证明 (1)由题意得 g(x)x1 x (x0), 当 00, 即 g(x)在(0,1)上为减函数,在(1,)上为增函数 所以 g(x)g(1)1,得证 (2)由 f(x)1x1 ex ,得 f(x)x2 ex , 所以当 00, 即 f(x)在(0,2)上为减函数,在(2,)上为增函数, 所以 f(x)f(2)

2、11 e2(当且仅当 x2 时取等号) 又由(1)知 xln x1(当且仅当 x1 时取等号), 且等号不同时取得, 所以(xln x)f(x)1 1 e2. 命题点 2 不等式恒成立或有解问题 典例 (2018 大同模拟)已知函数 f(x)1ln x x . (1)若函数 f(x)在区间 a,a1 2 上存在极值,求正实数 a 的取值范围; (2)如果当 x1 时,不等式 f(x) k x1恒成立,求实数 k 的取值范围 解 (1)函数的定义域为(0,), f(x)11ln x x2 ln x x2 , 令 f(x)0,得 x1. 当 x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增; 当 x(

3、1,)时,f(x)0,h(x)是增函数, 当 00)的最小值为 f 1 e 1 e, 设 (x) x ex 2 e(x0),则 (x) 1x ex , 当 x(0,1)时,(x)0,(x)单调递增; 当 x(1,)时,(x) x ex 2 e恒成立, 即 F(x)0 恒成立,函数 F(x)无零点 思维升华 利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略 研究方程的根或曲线的交点个数问题,可构造函数,转化为研究函数的零点个数问题可利 用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等,从而画出函数的大致图象,然后根据 图象判断函数的零点个数 跟踪训练 (1)(2017 贵阳联考)已知函数 f(x)的定义域

4、为1,4,部分对应值如下表: x 1 0 2 3 4 f(x) 1 2 0 2 0 f(x)的导函数 yf(x)的图象如图所示当 10,由三次函数图象知 f(x)有负数零点,不合题意,故 a0 知,f 2 a 0, 即 a 2 a 33 2 a 210,化简得 a240, 又 a0. 所以当 x40 时,y 有最小值 一审条件挖隐含 典例 (12 分)设 f(x)a xxln x,g(x)x 3x23. (1)如果存在 x1,x20,2使得 g(x1)g(x2)M 成立,求满足上述条件的最大整数 M; (2)如果对于任意的 s,t 1 2,2 ,都有 f(s)g(t)成立,求实数 a 的取值范

5、围 (1)存在 x1,x20,2使得 g(x1)g(x2)M (正确理解“存在”的含义) g(x1)g(x2)maxM 挖掘g(x1)g(x2)max的隐含实质 g(x)maxg(x)minM 求得 M 的最大整数值 (2)对任意 s,t 1 2,2 都有 f(s)g(t) (理解“任意”的含义) f(x)ming(x)max 求得 g(x)max1 a xxln x1 恒成立 分离参数 a axx2ln x 恒成立 求 h(x)xx2ln x 的最大值 ah(x)maxh(1)1 a1 规范解答 解 (1)存在 x1,x20,2使得 g(x1)g(x2)M 成立,等价于g(x1)g(x2)m

6、axM.2 分 由 g(x)x3x23,得 g(x)3x22x3x x2 3 . 令 g(x)0,得 x2 3, 又 x0,2,所以 g(x)在区间 0,2 3 上单调递减,在区间 2 3,2 上单调递增,所以 g(x)min g 2 3 85 27, g(x)maxg(2)1. 故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)min112 27 M, 则满足条件的最大整数 M4.5 分 (2)对于任意的 s,t 1 2,2 ,都有 f(s)g(t)成立,等价于在区间 1 2,2 上,函数 f(x)ming(x)max.7 分 由(1)可知在区间 1 2,2 上,g(x)的最大值为 g(2)1. 在区间 1 2,2 上,f(x) a xxln x1 恒成立等价于 axx 2ln x 恒成立 设 h(x)xx2ln x,h(x)12xln xx,可知 h(x)在区间 1 2,2 上是减函数,又 h(1) 0, 所以当 1x2 时,h(x)0;当1 2x0.10 分 即函数 h(x)xx2ln x 在区间 1 2,1 上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,所以 h(x)maxh(1) 1, 所以 a1,即实数 a 的取值范围是1,)12 分