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高考数学一轮复习学案:导数与函数的单调性(含答案)

1、 3.2 导数的应用导数的应用 最新考纲 考情考向分析 1.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研 究函数的单调性, 会求函数的单调区间(其中多项 式函数一般不超过三次) 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条 件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项 式函数一般不超过三次); 会求闭区间上函数的最 大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化 问题). 考查函数的单调性、 极值、 最值, 利用函数的性质求参数范围;与 方程、 不等式等知识相结合命题, 强化函数与方程思想、转化与化 归思想、分类讨论思想的应用意 识;题型以解答题为主,一

2、般难 度较大. 1函数的单调性 在某个区间(a,b)内,如果 f(x)0,那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增;如果 f(x)0,右侧 f(x)0(f(x)0.( ) (2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f(x)0,则 f(x)在此区间内没有单调性( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大( ) (4)对可导函数 f(x),f(x0)0 是 x0点为极值点的充要条件( ) (5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值( ) 题组二 教材改编 2P32A 组 T4如图是函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象,则下面判断正确的是( ) A在区间(2,1)上 f(x)

3、是增函数 B在区间(1,3)上 f(x)是减函数 C在区间(4,5)上 f(x)是增函数 D当 x2 时,f(x)取到极小值 答案 C 解析 在(4,5)上 f(x)0 恒成立, f(x)是增函数 3P28 例 4设函数 f(x)2 xln x,则( ) Ax1 2为 f(x)的极大值点 Bx1 2为 f(x)的极小值点 Cx2 为 f(x)的极大值点 Dx2 为 f(x)的极小值点 答案 D 解析 f(x) 2 x2 1 x x2 x2 (x0), 当 00, x2 为 f(x)的极小值点 4P24 例 2函数 f(x)x36x2的单调递减区间为_ 答案 (0,4) 解析 f(x)3x212

4、x3x(x4), 由 f(x)0 时,ex0,解得 x 1 2, 函数 y4x21 x的单调增区间为 1 2, .故选 B. 2已知函数 f(x)xln x,则 f(x)( ) A在(0,)上单调递增 B在(0,)上单调递减 C在 0,1 e 上单调递增 D在 0,1 e 上单调递减 答案 D 解析 因为函数 f(x)xln x 的定义域为(0,), 所以 f(x)ln x1(x0), 当 f(x)0 时,解得 x1 e, 即函数的单调递增区间为 1 e, ; 当 f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间 (4)解不等式 f(x)0),讨论函数 yf(x)的单调区间 解 f(x) ex

5、ex1a1 1 ex1a. 当 a1 时,f(x)1, 即 ex1 1 1a,解得 xln a 1a, 由 f(x)0), 令 f(x)0,解得 x10,x222a a . 当 0f(1) C. 2f 6 f 3 3 2 , 3f 4 2f 3 . (2)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(2)0,当 x0 时,有xfxfx x2 0 的解集是_ 答案 (,2)(0,2) 解析 当 x0 时, fx x 0. 又 f(x)为奇函数,h(x)x2f(x)也为奇函数 故 x2f(x)0 的解集为(,2)(0,2) 命题点 2 根据函数单调性求参数 典例 (2018 石家庄质检)已知函数 f(

6、x)ln x,g(x)1 2ax 22x(a0) (1)若函数 h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (2)若函数 h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减,求 a 的取值范围 解 (1)h(x)ln x1 2ax 22x,x(0,), 所以 h(x)1 xax2,由于 h(x)在(0,)上存在单调递减区间, 所以当 x(0,)时,1 xax2 1 x2 2 x有解 设 G(x)1 x2 2 x,所以只要 aG(x)min即可 而 G(x) 1 x1 21,所以 G(x) min1. 所以 a1. 又因为 a0,所以 a 的取值范围为(1,0)(0,) (2)因为

7、h(x)在1,4上单调递减, 所以当 x1,4时,h(x)1 xax20 恒成立, 即 a 1 x2 2 x恒成立 由(1)知 G(x)1 x2 2 x, 所以 aG(x)max,而 G(x) 1 x1 21, 因为 x1,4,所以1 x 1 4,1 , 所以 G(x)max 7 16(此时 x4), 所以 a 7 16,又因为 a0, 所以 a 的取值范围是 7 16,0 (0,) 引申探究 1本例(2)中,若函数 h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递增,求 a 的取值范围 解 因为 h(x)在1,4上单调递增, 所以当 x1,4时,h(x)0 恒成立, 所以当 x1,4时,a 1 x2

8、 2 x恒成立, 又当 x1,4时, 1 x2 2 x min1(此时 x1), 所以 a1,即 a 的取值范围是(,1 2本例(2)中,若 h(x)在1,4上存在单调递减区间,求 a 的取值范围 解 h(x)在1,4上存在单调递减区间, 则 h(x) 1 x2 2 x有解, 又当 x1,4时, 1 x2 2 x min1, 所以 a1,又因为 a0, 所以 a 的取值范围是(1,0)(0,) 思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理: yf(x)在(a, b)上单调, 则区间(a, b)是相应单调区间的子集 (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x(a,

9、b)都有 f(x)0 且在(a,b)内的任一非空子区 间上,f(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解 (3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题 跟踪训练 已知函数 f(x)3x a 2x2ln x 在区间1,2上为单调函数,求 a 的取值范围 解 f(x)3 a4x 1 x,若函数 f(x)在区间1,2上为单调函数,即在1,2上,f(x) 3 a4x 1 x0 或 f(x) 3 a4x 1 x0, 即3 a4x 1 x0 或 3 a4x 1 x0 在1,2上恒成立, 即3 a4x 1 x或 3 a4x 1 x. 令 h(x)4x1 x,因为函数 h(x)在1,2上单调递增, 所以3 ah(2)或 3 ah(1),即 3 a 15 2 或3 a3, 解得 a0 时,令 g(x)0,得 x1 或 x 1 2a,6 分 若 1 2a 1 2, 由 g(x)0,得 x1 或 0 1 2a或 0x1, 由 g(x)0,得 1x 1 2a, 若 1 2a1,即 a 1 2,在(0,)上恒有 g(x)0.10 分 综上可得:当 a0 时,函数 g(x)在(0,1)上单调递增, 在(1,)上单调递减; 当 0a1 2时,函数 g(x)在 0, 1 2a 上单调递增, 在 1 2a,1 上单调递减,在(1,)上单调递增12 分