1、 3.2 导数的应用导数的应用 最新考纲 考情考向分析 1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研 究函数的单调性， 会求函数的单调区间(其中多项 式函数一般不超过三次) 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条 件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项 式函数一般不超过三次)； 会求闭区间上函数的最 大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化 问题). 考查函数的单调性、 极值、 最值， 利用函数的性质求参数范围；与 方程、 不等式等知识相结合命题， 强化函数与方程思想、转化与化 归思想、分类讨论思想的应用意 识；题型以解答题为主，一
2、般难 度较大. 1函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增；如果 f(x)0，右侧 f(x)0(f(x)0.( ) (2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f(x)0，则 f(x)在此区间内没有单调性( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大( ) (4)对可导函数 f(x)，f(x0)0 是 x0点为极值点的充要条件( ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值( ) 题组二 教材改编 2P32A 组 T4如图是函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象，则下面判断正确的是( ) A在区间(2,1)上 f(x)
3、是增函数 B在区间(1,3)上 f(x)是减函数 C在区间(4,5)上 f(x)是增函数 D当 x2 时，f(x)取到极小值 答案 C 解析 在(4,5)上 f(x)0 恒成立， f(x)是增函数 3P28 例 4设函数 f(x)2 xln x，则( ) Ax1 2为 f(x)的极大值点 Bx1 2为 f(x)的极小值点 Cx2 为 f(x)的极大值点 Dx2 为 f(x)的极小值点 答案 D 解析 f(x) 2 x2 1 x x2 x2 (x0)， 当 00， x2 为 f(x)的极小值点 4P24 例 2函数 f(x)x36x2的单调递减区间为_ 答案 (0,4) 解析 f(x)3x212
4、x3x(x4)， 由 f(x)0 时，ex0，解得 x 1 2， 函数 y4x21 x的单调增区间为 1 2， .故选 B. 2已知函数 f(x)xln x，则 f(x)( ) A在(0，)上单调递增 B在(0，)上单调递减 C在 0，1 e 上单调递增 D在 0，1 e 上单调递减 答案 D 解析 因为函数 f(x)xln x 的定义域为(0，)， 所以 f(x)ln x1(x0)， 当 f(x)0 时，解得 x1 e， 即函数的单调递增区间为 1 e， ； 当 f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间 (4)解不等式 f(x)0)，讨论函数 yf(x)的单调区间 解 f(x) ex
5、ex1a1 1 ex1a. 当 a1 时，f(x)1， 即 ex1 1 1a，解得 xln a 1a， 由 f(x)0)， 令 f(x)0，解得 x10，x222a a . 当 0f(1) C. 2f 6 f 3 3 2 ， 3f 4 2f 3 . (2)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(2)0，当 x0 时，有xfxfx x2 0 的解集是_ 答案 (，2)(0,2) 解析 当 x0 时， fx x 0. 又 f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数 故 x2f(x)0 的解集为(，2)(0,2) 命题点 2 根据函数单调性求参数 典例 (2018 石家庄质检)已知函数 f(
6、x)ln x，g(x)1 2ax 22x(a0) (1)若函数 h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求 a 的取值范围； (2)若函数 h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求 a 的取值范围 解 (1)h(x)ln x1 2ax 22x，x(0，)， 所以 h(x)1 xax2，由于 h(x)在(0，)上存在单调递减区间， 所以当 x(0，)时，1 xax2 1 x2 2 x有解 设 G(x)1 x2 2 x，所以只要 aG(x)min即可 而 G(x) 1 x1 21，所以 G(x) min1. 所以 a1. 又因为 a0，所以 a 的取值范围为(1,0)(0，) (2)因为
7、h(x)在1,4上单调递减， 所以当 x1,4时，h(x)1 xax20 恒成立， 即 a 1 x2 2 x恒成立 由(1)知 G(x)1 x2 2 x， 所以 aG(x)max，而 G(x) 1 x1 21， 因为 x1,4，所以1 x 1 4，1 ， 所以 G(x)max 7 16(此时 x4)， 所以 a 7 16，又因为 a0， 所以 a 的取值范围是 7 16，0 (0，) 引申探究 1本例(2)中，若函数 h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递增，求 a 的取值范围 解 因为 h(x)在1,4上单调递增， 所以当 x1,4时，h(x)0 恒成立， 所以当 x1,4时，a 1 x2
8、 2 x恒成立， 又当 x1,4时， 1 x2 2 x min1(此时 x1)， 所以 a1，即 a 的取值范围是(，1 2本例(2)中，若 h(x)在1,4上存在单调递减区间，求 a 的取值范围 解 h(x)在1,4上存在单调递减区间， 则 h(x) 1 x2 2 x有解， 又当 x1,4时， 1 x2 2 x min1， 所以 a1，又因为 a0， 所以 a 的取值范围是(1,0)(0，) 思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理： yf(x)在(a， b)上单调， 则区间(a， b)是相应单调区间的子集 (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x(a，
9、b)都有 f(x)0 且在(a，b)内的任一非空子区 间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解 (3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题 跟踪训练 已知函数 f(x)3x a 2x2ln x 在区间1,2上为单调函数，求 a 的取值范围 解 f(x)3 a4x 1 x，若函数 f(x)在区间1,2上为单调函数，即在1,2上，f(x) 3 a4x 1 x0 或 f(x) 3 a4x 1 x0， 即3 a4x 1 x0 或 3 a4x 1 x0 在1,2上恒成立， 即3 a4x 1 x或 3 a4x 1 x. 令 h(x)4x1 x，因为函数 h(x)在1,2上单调递增， 所以3 ah(2)或 3 ah(1)，即 3 a 15 2 或3 a3， 解得 a0 时，令 g(x)0，得 x1 或 x 1 2a，6 分 若 1 2a 1 2， 由 g(x)0，得 x1 或 0 1 2a或 0x1， 由 g(x)0，得 1x 1 2a， 若 1 2a1，即 a 1 2，在(0，)上恒有 g(x)0.10 分 综上可得：当 a0 时，函数 g(x)在(0,1)上单调递增， 在(1，)上单调递减； 当 0a1 2时，函数 g(x)在 0， 1 2a 上单调递增， 在 1 2a，1 上单调递减，在(1，)上单调递增12 分