1、 7.4 基本不等式及其应用基本不等式及其应用 最新考纲 考情考向分析 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的 最大(小)值问题. 理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最 值常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数 形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意 识作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式 的解答题中考查，难度中档. 1基本不等式： abab 2 (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号 2几个重要的不等式 (1)a2b22ab(a，bR) (2)b a a b2(a，b 同号) (3)ab
2、ab 2 2 (a，bR) (4)a 2b2 2 ab 2 2 (a，bR) 以上不等式等号成立的条件均为 ab. 3算术平均数与几何平均数 设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab 2 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4利用基本不等式求最值问题 已知 x0，y0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值 2 p.(简记：积定和最小) (2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值p 2 4.(简记：和定积最大) 知识拓展 不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题：
3、若 f(x)在区间 D 上存在最小值，则不等式 f(x)A 在区间 D 上恒成立 f(x)minA(xD)； 若 f(x)在区间 D 上存在最大值，则不等式 f(x)A(xD)； 若 f(x)在区间 D 上存在最小值，则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)A 的解集为 D； 不等式 f(x)0”是“x y y x2”的充要条件( ) (4)若 a0，则 a3 1 a2的最小值为 2 a.( ) (5)不等式 a2b22ab 与ab 2 ab有相同的成立条件( ) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项( ) 题组二 教材改编 2P99 例 1(2)设 x0，y0，且 xy18，
4、则 xy 的最大值为( ) A80 B77 C81 D82 答案 C 解析 x0，y0，xy 2 xy， 即 xy xy 2 281，当且仅当 xy9 时，(xy) max81. 3P100A 组 T2若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 _ m2. 答案 25 解析 设矩形的一边为 x m， 则另一边为1 2(202x)(10x)m， yx(10x) x10x 2 225， 当且仅当 x10x，即 x5 时，ymax25. 题组三 易错自纠 4“x0”是“x1 x2 成立”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案
5、C 解析 当 x0 时，x1 x2 x 1 x2. 因为 x， 1 x同号，所以若 x 1 x2，则 x0， 1 x0，所以“x0”是“x 1 x2 成立”的充要条件， 故选 C. 5设 x0，则函数 yx 2 2x1 3 2的最小值为( ) A0 B.1 2 C1 D.3 2 答案 A 解析 yx 2 2x1 3 2 x1 2 1 x1 2 2 2 x1 2 1 x1 2 20，当且仅当 x1 2 1 x1 2 ，即 x1 2时等号成立 函数的最小值为 0.故选 A. 6若正数 x，y 满足 3xy5xy，则 4x3y 的最小值是( ) A2 B3 C4 D5 答案 D 解析 由 3xy5x
6、y，得3xy xy 3 y 1 x5， 所以 4x3y(4x3y) 1 5 3 y 1 x 1 5 493y x 12x y 1 5(492 36)5， 当且仅当3y x 12x y ，即 y2x 时，“”成立， 故 4x3y 的最小值为 5.故选 D. 题型一 利用基本不等式求最值 命题点 1 通过配凑法利用基本不等式 典例 (1)已知 00，b0，lg alg blg(ab)，则 ab 的最小值为( ) A8 B6 C4 D2 答案 C 解析 由 lg alg blg(ab)，得 lg(ab)lg(ab)，即 abab，则有1 a 1 b1，所以 ab 1 a 1 b (ab)2b a a
7、 b22 b a a b4，当且仅当 ab2 时等号成立，所以 ab 的最 小值为 4，故选 C. 思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等” (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式， 然后再利用基本不等式 (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代 换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值 跟踪训练 (1)若对x1， 不等式 x 1 x11a 恒成立， 则实数 a 的取值范围是_ 答案 ，1 2 解析 因为函数 f(x)x1 x1 在1，)上单调递增，
8、所以函数 g(x)x1 1 x12 在0， )上单调递增，所以函数 g(x)在1，)上的最小值为 g(1)1 2，因此对x1，不等式 x 1 x11a 恒成立，所以 ag(x)min 1 2，故实数 a 的取值范围是 ，1 2 . (2)(2017 武汉模拟)已知正数 x，y 满足 x2yxy0，则 x2y 的最小值为_ 答案 8 解析 由 x2yxy0，得2 x 1 y1，且 x0，y0. x2y(x2y) 2 x 1 y 4y x x y4448， 当且仅当 x2y 时等号成立 题型二 基本不等式的实际应用 典例 (2017 淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元， 每生产
9、x 千件， 需另投入成 本为 C(x)， 当年产量不足 80 千件时， C(x)1 3x 210x(万元) 当年产量不小于 80 千件时， C(x) 51x10 000 x 1 450(万元)每件商品售价为 0.05 万元通过市场分析，该厂生产的商品能 全部售完 (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)因为每件商品售价为 0.05 万元，则 x 千件商品销售额为 0.051 000x 万元，依题意得 当 00， 所以4c b b c2 4c b b c4. 当且仅当4c b b c时等号
10、成立 由此可得 b2c，且 bc1， 即当 b2 3，c 1 3时， 4 b 1 c取得最小值 9. (2)设等差数列an的公差是 d，其前 n 项和是 Sn(nN*)，若 a1d1，则Sn8 an 的最小值是 _ 答案 9 2 解析 ana1(n1)dn，Snn1n 2 ， Sn8 an n1n 2 8 n 1 2 n16 n 1 1 2 2n 16 n 1 9 2， 当且仅当 n4 时取等号 Sn8 an 的最小值是9 2. 命题点 2 求参数值或取值范围 典例 (1)已知 a0，b0，若不等式3 a 1 b m a3b恒成立，则 m 的最大值为( ) A9 B12 C18 D24 答案
11、B 解析 由3 a 1 b m a3b， 得 m(a3b) 3 a 1 b 9b a a b6. 又9b a a b62 9612 当且仅当9b a a b，即a3b时等号成立 ， m12，m 的最大值为 12. (2)已知函数 f(x)x 2ax11 x1 (aR)，若对于任意的 xN*，f(x)3 恒成立，则 a 的取值范围 是_ 答案 8 3， 解析 对任意 xN*，f(x)3 恒成立， 即x 2ax11 x1 3 恒成立，即知 a x8 x 3. 设 g(x)x8 x，xN *，则 g(2)6，g(3)17 3 . g(2)g(3)，g(x)min17 3 ， x8 x 38 3， a
12、8 3，故 a 的取值范围是 8 3， . 思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基 本不等式求解 (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解 (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值 或范围 跟踪训练 (1)已知函数 f(x)xa x2 的值域为(，04，)，则 a 的值是( ) A.1 2 B. 3 2 C1 D2 答案 C 解析 由题意可得 a0， 当 x0 时，f(x)xa x22 a2，当且仅当 x a时取等号； 当 x0，y0，且1 x 2 y1，则 xy 的最小值
13、是_ (2)函数 y12x3 x(x0，y0，11 x 2 y2 2 xy， xy2 2，xy2 xy4 2， xy 的最小值为 4 2. (2)2x3 x2 6，y12x 3 x12 6. 函数 y12x3 x(x0，y0， xy(xy) 1 x 2 y 3y x 2x y 32 2(当且仅当 y 2x 时取等号)， 当 x 21，y2 2时，(xy)min32 2. (2)x0，y12x3 x1(2x) 3 x 12 2x3 x12 6，当且仅当 x 6 2 时取等号，故函数 y12x3 x(x0)的值域为12 6，) 答案 (1)32 2 (2)12 6，) 纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要 验证等号成立的条件