1、 7.1 不等关系与不等式不等关系与不等式 最新考纲 考情考向分析 1.了解现实世界和日常生活中存在着 大量的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景. 以理解不等式的性质为主， 本节在高考中主要以 客观题形式考查不等式的性质； 以主观题形式考 查不等式与其他知识的综合. 1两个实数比较大小的方法 (1)作差法 ab0ab ab0ab abb a b1ab a bbbb，bcac 可加性 abacbc 可乘性 ab c0 acbc 注意 c 的符号 ab cd acbd 同向同正可乘性 ab0 cd0 acbd 可乘方性 ab0anbn(nN，n1) a，b 同为正数 可开方性 ab0nan
2、b(nN，n2) 3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ab，ab01 a 1 b. a0,00，m0，则 b a bm am(bm0) a b am bm； a b0) 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)两个实数 a，b 之间，有且只有 ab，ab，a1，则 ab.( ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变( ) (4)ab0，cd0a d b c.( ) (5)若 ab0，则 ab1 a0”是“a2b20”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 a b0 a b
3、 aba2b2， 但由 a2b20 a b0. 3P75B 组 T1若 01 2， a2b2b(1b)2b2b(2b1)(b1)， 又 2b10，b10，c0，bd cd ac cd，即 b c a d. 5设 a，bR，则“a2 且 b1”是“ab3 且 ab2”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若 a2 且 b1，则由不等式的同向可加性可得 ab213，由不等式的同向同正可 乘性可得 ab212.即“a2 且 b1”是“ab3 且 ab2”的充分条件； 反之， 若“ab3 且 ab2”，则“a2 且 b1”不一定成立，如 a6
4、，b1 2.所以“a2 且 b1”是“ab3 且 ab2”的充分不必要条件故选 A. 6若 2cb Ccba Dacb 答案 A 解析 cb44aa2(a2)20，cb. 又 bc64a3a2，2b22a2，ba21， baa2a1 a1 2 23 40， ba，cba. 2若 aln 3 3 ，bln 4 4 ，cln 5 5 ，则( ) Aa1， 所以 bc.即 cf(5)， 即 cc，得 abac 一定成立 (2)设 ab1，c c b；a cloga(bc) 其中所有正确结论的序号是( ) A B C D 答案 D 解析 由不等式性质及 ab1，知1 a 1 b， 又 c c b，正确
5、； 构造函数 yxc， cb1，acb1，cbc1， logb(ac)loga(ac)loga(bc)，正确 思维升华 解决此类问题常用两种方法： 一是直接使用不等式的性质逐个验证； 二是利用特殊 值法排除错误答案利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件 跟踪训练 若1 a 1 bb 1 b；ln a 2ln b2. 其中正确的不等式是( ) A B C D 答案 C 解析 方法一 因为1 a 1 b0.故b|a|， 即|a|b0， 所以 a1 ab 1 b，故正确； 中，因为 b0， 而 yln x 在定义域(0， )上为增函数，所以 ln b2ln a2，故错误由以上分析，知
6、正确 题型三 不等式性质的应用 命题点 1 应用性质判断不等式是否成立 典例 已知 ab0，给出下列四个不等式： a2b2；2a2b 1； ab a b； a3b32a2b. 其中一定成立的不等式为( ) A B C D 答案 A 解析 方法一 由 ab0 可得 a2b2，成立； 由 ab0 可得 ab1，而函数 f(x)2x在 R 上是增函数， f(a)f(b1)，即 2a2b 1，成立； ab0， a b， ( ab)2( a b)2 2 ab2b2 b( a b)0， ab a b，成立； 若 a3，b2，则 a3b335,2a2b36， a3b3b2，2a2b 1， ab a b均成立
7、，而a3b32a2b 不成立，故选 A. 命题点 2 求代数式的取值范围 典例 已知1x4,2y3，则 xy 的取值范围是_，3x2y 的取值范围是_ 答案 (4,2) (1,18) 解析 1x4,2y3，3y2， 4xy2. 由1x4,2y3，得33x12,42y6， 13x2y18. 思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法 判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明 在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性 质进行判断 (2)求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关 系的运算求得整体
8、范围，是避免错误的有效途径 跟踪训练 (1)若 ab 1 b Ba2ab C.|b| |a|bn 答案 C 解析 (特值法)取 a2，b1，逐个检验，可知 A，B，D 项均不正确； C 项，|b| |a| |b|1 |a|1|b|(|a|1)|a|(|b|1) |a|b|b|a|b|a|b|a|， ab0，|b|a|成立，故选 C. (2)已知1xy3，则 xy 的取值范围是_ 答案 (4,0) 解析 1x3，1y3， 3y1，4xy4. 又xy，xy0，4xy0， 故 xy 的取值范围为(4,0) 利用不等式变形求范围 典例 设 f(x)ax2bx，若 1f(1)2,2f(1)4，则 f(2
9、)的取值范围是_ 错解展示： 由 1f12， 2f14， 得 1ab2， 2ab4. 得3 2a3，得 1 2b1. 由此得 4f(2)4a2b11. 所以 f(2)的取值范围是4,11 错误答案 4,11 现场纠错 解析 方法一 设 f(2)mf(1)nf(1)(m，n 为待定系数)，则 4a2bm(ab)n(ab)， 即 4a2b(mn)a(nm)b. 于是得 mn4， nm2， 解得 m3， n1. f(2)3f(1)f(1) 又1f(1)2,2f(1)4. 53f(1)f(1)10， 故 5f(2)10. 方法二 由 f1ab， f1ab， 得 a1 2f1f1， b1 2f1f1， f(2)4a2b3f(1)f(1) 又1f(1)2,2f(1)4， 53f(1)f(1)10，故 5f(2)10. 方法三 由 1ab2， 2ab4 确定的平面区域如图阴影部分所示， 当 f(2)4a2b 过点 A 3 2， 1 2 时， 取得最小值 43 22 1 25， 当 f(2)4a2b 过点 B(3,1)时， 取得最大值 432110， 5f(2)10. 答案 5,10 纠错心得 在求式子的范围时， 如果多次使用不等式的可加性， 式子中的等号不能同时取到， 会导致范围扩大