1、 6.1 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 最新考纲 考情考向分析 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法 (列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊 函数. 以考查 Sn与 an的关系为主，简单的递推关系也 是考查的热点 本节内容在高考中以选择、 填空 的形式进行考查，难度属于低档. 1数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项 2数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间 的大小关系 分类 递增数列 an1_an 其中 nN* 递减数列 an1_an， 即(n1
2、)2(n1)n2n， 整理， 得 2n10，即 (2n1)(*) 因为 n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需 3. 5数列an中，ann211n(nN*)，则此数列最大项的值是_ 答案 30 解析 ann211n n11 2 2121 4 ， nN*，当 n5 或 n6 时，an取最大值 30. 6已知数列an的前 n 项和 Snn21，则 an_. 答案 2，n1， 2n1，n2，nN* 解析 当 n1 时，a1S12，当 n2 时， anSnSn1n21(n1)212n1， 故 an 2，n1， 2n1，n2，nN*. 题型一题型一 由数列的前几项求数列的通项公式由数列的前
3、几项求数列的通项公式 1数列 0，2 3， 4 5， 6 7，的一个通项公式为( ) Aann1 n2(nN *) Ban n1 2n1(nN *) Can2n1 2n1 (nN*) Dan 2n 2n1(nN *) 答案 C 解析 注意到分子 0,2,4,6 都是偶数，对照选项排除即可 2数列 1 12， 1 23， 1 34， 1 45，的一个通项公式 an_. 答案 (1)n 1 nn1 解析 这个数列前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项 为正，所以它的一个通项公式为 an(1)n 1 nn1. 思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (
4、1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联 想常见的数列)等方法 (2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项 的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻 找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k 1，kN*处理 (3)如果是选择题，可采用代入验证的方法 题型二题型二 由由 an与与 Sn的关系求通项公式的关系求通项公式 典 例 (1) 已 知 数 列 an 的 前 n 项 和 Sn 3n2 2n 1(nN*) ， 则 其 通 项 公 式 为 _
5、答案 an 2，n1， 6n5，n2，nN* 解析 当 n1 时，a1S13122112； 当 n2 时， anSnSn13n22n13(n1)22(n1)1 6n5，显然当 n1 时，不满足上式 故数列的通项公式为 an 2，n1， 6n5，n2，nN*. (2)若数列an的前 n 项和 Sn2 3an 1 3(nN *)，则a n的通项公式 an_. 答案 (2)n 1 解析 由 Sn2 3an 1 3，得当 n2 时，Sn1 2 3an1 1 3，两式相减，整理得 an2an1，又当 n1 时，S1a12 3a1 1 3，a11，an是首项为 1，公比为2 的等比数列，故 an( 2)n
6、 1. 思维升华 已知 Sn，求 an的步骤 (1)当 n1 时，a1S1. (2)当 n2 时，anSnSn1. (3)对 n1 时的情况进行检验， 若适合 n2 的通项则可以合并； 若不适合则写成分段函数形式 跟踪训练 (1)(2017 河南八校一联)在数列an中，Sn是其前 n 项和，且 Sn2an1，则数列的 通项公式 an_. 答案 2n 1 解析 由题意得 Sn12an11，Sn2an1， 两式相减得 Sn1Sn2an12an， 即 an12an，又 S12a11a1， 因此 a11，所以数列an是以 a11 为首项、2 为公比的等比数列，所以 an2n 1. (2)已知数列an的
7、前 n 项和 Sn3n1，则数列的通项公式 an_. 答案 4，n1， 2 3n 1，n2 解析 当 n1 时，a1S1314， 当 n2 时，anSnSn13n13n 112 3n1. 显然当 n1 时，不满足上式 an 4，n1， 2 3n 1，n2. 题型三题型三 由数列的递推关系求通项公式由数列的递推关系求通项公式 典例 根据下列条件，确定数列an的通项公式 (1)a12，an1anln 11 n ； (2)a11，an12nan； (3)a11，an13an2. 解 (1)an1anln 11 n ， anan1ln 1 1 n1 ln n n1(n2)， an(anan1)(an1
8、an2)(a2a1)a1 ln n n1ln n1 n2ln 3 2ln 22 2ln n n1 n1 n2 3 2 2 2ln n(n2) 又 a12 适合上式，故 an2ln n(nN*) (2)an12nan， an an12 n1 (n2)， an an an1 an1 an2 a2 a1 a1 2n 1 2n2 2 12123(n1) (1) 2 2 n n . 又 a11 适合上式，故 an (1) 2 2 n n (nN*) (3)an13an2，an113(an1)， 又 a11，a112， 故数列an1是首项为 2，公比为 3 的等比数列， an12 3n 1，故 a n2
9、3 n11(nN*) 引申探究 在本例(2)中， 若 ann1 n an1(n2， 且 nN*)， 其他条件不变， 则 an_. 答案 1 n 解析 ann1 n an1 (n2)， an1n2 n1an 2，a21 2a1. 以上(n1)个式子相乘得 ana1 1 2 2 3 n1 n a1 n 1 n. 当 n1 时也满足此等式，an1 n. 思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现 anan1m 时，构造等差数列 (2)当出现 anxan1y 时，构造等比数列 (3)当出现 anan1f(n)时，用累加法求解 (4)当出现 an an1f(n)时，用累乘法求解 跟踪
10、训练 (1)已知数列an满足 a11，a24，an22an3an1(nN*)，则数列an的通项 公式 an_. 答案 32n 12 解析 由 an22an3an10， 得 an2an12(an1an)， 数列an1an是以 a2a13 为首项，2 为公比的等比数列，an1an32n 1， 当 n2 时，anan132n 2，a 3a232，a2a13， 将以上各式累加，得 ana132n 23233(2n11)， an32n 12(当 n1 时，也满足) (2)在数列an中，a13，an1an 1 nn1，则通项公式 an_. 答案 41 n 解析 原递推公式可化为 an1an1 n 1 n1
11、， 则 a2a11 1 1 2，a3a2 1 2 1 3， a4a31 3 1 4，an1an2 1 n2 1 n1，anan 1 1 n1 1 n，逐项相加得 ana11 1 n， 故 an41 n. 题型四题型四 数列的性质数列的性质 命题点 1 数列的单调性 典例 已知 ann1 n1，那么数列an是( ) A递减数列 B递增数列 C常数列 D摆动数列 答案 B 解析 an1 2 n1，将 an 看作关于 n 的函数，nN*，易知an是递增数列 命题点 2 数列的周期性 典例 数列an满足 an1 1 1an， a82， 则 a1_. 答案 1 2 解析 an1 1 1an， an1 1
12、 1an 1 1 1 1an1 1an1 1an11 1an 1 an1 1 1 an1 1 1 1 1an2 1(1an2)an2，n3， 周期 T(n1)(n2)3. a8a322a22. 而 a2 1 1a1，a1 1 2. 命题点 3 数列的最值 典例 数列an的通项 an n n290，则数列an中的最大项是( ) A3 10 B19 C. 1 19 D. 10 60 答案 C 解析 令 f(x)x90 x (x0)，运用基本不等式得 f(x)2 90，当且仅当 x3 10时等号成立 因为 an 1 n90 n ， 所以 1 n90 n 1 2 90， 由于 nN *， 不难发现当
13、n9 或 n10 时， a n 1 19最大 思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法 用作差比较法，根据 an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列 用作商比较法，根据an 1 an (an0 或 an0)与 1 的大小关系进行判断 结合相应函数的图象直观判断 (2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值 (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解 跟踪训练 (1)数列an满足 an1 2an，0an1 2， 2an1，1 2an1， a13 5，则数列的第 2 018 项为 _ 答案 1 5 解
14、析 由已知可得，a223 51 1 5， a321 5 2 5， a422 5 4 5， a524 51 3 5， an为周期数列且 T4， a2 018a50442a21 5. (2)(2017 安徽名校联考)已知数列an的首项为 2，且数列an满足 an1an1 an1，数列an的 前 n 项的和为 Sn，则 S2 016等于( ) A504 B588 C588 D504 答案 C 解析 a12，an1an1 an1，a2 1 3，a3 1 2，a43，a52，数列an的周期为 4，且 a1a2a3a47 6，2 016 4504，S2 016504 7 6 588，故选 C. 解决数列问题的函数思想 典例 (1)数列an的通项公式是 an(n1) 10 11 n，则此数列的最大项是第_项 (2)若 ann2kn4 且对于 nN*，都有 an1an成立，则实数 k 的取值范围是_ 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数； (2)数列的最值可以根据单调 性进行分析 解析 (1)an1an(n2) 10 11 n1(n1) 10 11 n 10 11 n9n 11 ， 当 n0，即 an1an； 当 n9 时，an1an0，即 an1an； 当 n9 时，an1ann2kn4， 即 k12n，又 nN*，k3. 答案 (1)9 或 10 (2)(3，)